提煉基本圖形，注重思想方法

楊帥

【摘要】數學思想方法是數學的靈魂，數學教學應通過數學知識的教學和適當的解題活動重點突出數學思想和方法。以“解直角三角形中有關測高測距專題”為例，將教材中部分教學內容進行重組變式，設計解直角三角形中有關測高測距的專題課，從而讓學生體會數學思想方法對解決問題的重要意義。

【關鍵詞】提煉基本圖形；數學思想方法

根據著名數學家波利亞的調查研究，數學思想方法比形式化的數學知識更具有普遍性，在學生未來的生活和工作中應用更加廣泛。“即使學生把所學的知識（概念、定理、法則和公式等）全忘了，銘刻在他心中的數學精神、思想和方法卻能使他終身受益。” 所以，數學教學應通過數學知識的教學和適當的解題活動重點突出數學思想和方法。為此，本文以“解直角三角形中有關測高測距專題”為例，進行了如下的教學設計。

一、教學內容解析

對于銳角三角比的教學內容，主要從定量方面研究直角三角形。直角三角形中邊角之間的數量關系，可以通過三角形內角和定理、勾股定理和銳角三角比進行表述。基于這些數學工具，就能解決實際生活中的許多問題，如測量物體的高、測量兩點間的距離等。本文的教學設計針對滬教版數學教材九年級第一學期第25章第4小節“解直角三角形的應用”進行例題講解。筆者認為，將這部分教學內容進行重新編排，將有關測量物體高度和測量兩點間距離這個專題問題在前兩個課時完成，其中，第1課時的教學內容可與教材的編寫內容一致，即完成俯角和仰角概念的介紹。對于第2課時，本文給出詳細的教學設計，具體以例3、例4和例5（教材中的例9）為依托，領會化歸思想、方程思想在幾何計算中的運用，從而讓學生體會數學思想方法對解決問題的重要意義。

二、教學目標及重難點設置

1．教學目標

（1）運用解直角三角形的相關知識，解決測量兩點間距離和物體高度（底部不能達到）的簡單實際問題。

（2）在解決實際問題時，進一步領會化歸思想、方程思想、從特殊到一般以及從一般到特殊的思想方法。

2．教學重點及難點

重點：領會化歸思想，運用解直角三角形的方法解決有關實際問題。難點：提煉基本圖形，利用方程思想解決有關實際問題。

三、學生學情分析

學生掌握銳角三角比的基本概念之后，可以利用銳角三角比以及勾股定理，對直角三角形進行定量分析。在初中，解直角三角形是解決任意三角形中計算問題的基礎，求解任意三角形中的元素都可以通過先構造合適的直角三角形，然后再解直角三角形。這些已掌握的知識為實際應用背景下解直角三角形的問題奠定了基礎，但是當圖形中有一條公共直角邊的兩個直角三角形時，每個直角三角形的已知條件都不完備，不可直接求解，那么此時該如何解決問題呢？這是本節課要解決的問題。

四、教學過程

1.復習回顧

教師出示PPT，呈現上節課測量旗桿（例題1）和樓房高度（例題2）的問題，一步一步引導學生回憶解決步驟，思考解決方法，為接下來的進一步學習作鋪墊。

2.例題講解

今天我們繼續研究其他距離和高度的問題。

例3：如圖1，在港口A的南偏東52°方向有一座小島B，一艘船以每小時24千米的速度從港口A出發，沿正東方向行駛。

問題（1），若20分鐘后，這艘船在C處且測得小島B在船的正南方向，小島B與港口A相距多少千米（精確到0.1千米）？

設計意圖：

（1）把教材中的例3以問題（1）的形式進行闡述是為了引出問題（2），問題（2）作為本節課的課后思考題（見下文“5.課后思考”），檢測學生是否掌握本節課的重點，能否在解決實際問題時進行拓展和變通。

（2）這個實際問題的解決過程涉及到兩個轉化：一是將實際問題轉化為數學模型；二是將數學模型轉化為解直角三角形的問題。通過這兩個轉化，可運用解直角三角形的相關知識，解決例3問題（1）中的幾何計算問題，為例4的難度提升作準備。

例4：如圖2，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點，對岸岸邊有一塊石頭A，在△ABC中，測得∠B=49°，∠C=62°，BC=33.5米，求河寬（精確到0.1米）。

變式1：當條件改為∠B=α，∠C=β，BC=m米，你能用含α，β，m的表達式表示河寬嗎？

設計意圖：

（1）從圖2到圖3，將實際問題轉化為數學問題。求解這個三角形的高，需通過添加輔助線構造直角三角形；但圖中的兩個直角三角形的已知條件都不完備，不可直接求解，如何解決呢？可將公共的直角邊AD設為x，利用BC的長度作為等量關系式，采用方程思想求解。

（2）從例4到“變式1”讓學生體會在數學中研究問題時從特殊到一般的思想方法。

變式2：當人位于點B處，只能朝左邊走m米到達點C處，如圖5所示，你能用含α，β，m的表達式表示河寬嗎？

設計意圖：

（1）為了幫助學生理解此問題，筆者借助于“幾何畫板”，錄制了一個7秒鐘的小視頻（如圖6）。該視頻展示了當點B從線段CD的延長線上運動到線段CD上時，整個圖形的運動變化過程，再比較圖4和圖5的異同。圖4中有一個銳角三角形和兩個直角三角形，圖5中有一個鈍角三角形和兩個直角三角形，相同點是兩個直角三角形都有一條公共的直角邊，引導學生提煉出這個基本圖形“有一條公共直角邊的兩個直角三角形”。

（2）“變式2”相對于“變式1”而言，圖形有所不同，但解決問題的方法是相同的，依然是利用方程思想。此外，可為解答初三數學綜合題所涉及的相應問題作準備，即由于點的位置不同，從而引起圖形發生變化，但解決問題的方法是類似的。

例5（教材中例9）：如圖7，小明想測量塔CD的高度。塔在圍墻內，小明只能在圍墻外測量，這時無法測得觀察點到塔的底部的距離，于是小明在A處仰望塔頂，測得仰角為29°25′，再往塔的方向前進50米至B處，測得塔頂的仰角為61°42′，（點A、B、C在一直線上），若小明的身高忽略不計，你能求出塔的高度嗎？（結果精確到0.1米）

設計意圖：

（1）從“變式2”到例5再次體會在數學中研究問題時從一般到特殊的思想方法，只要把相關數據代入到“變式2”的一般性結論即可解答此題（圖7即為圖5的特殊情況）。

（2）從知識體系的完整性看，把教材中后面的例9作為本節課中例5更為合適，這個基本圖形“有一條公共直角邊的兩個直角三角形”也可用于解決底部不能到達的物體測高問題。

3．問題探究

同學們，如果你們站在黃浦江邊的外灘觀景大道處，利用皮尺、計算器和測角儀：

（1）通過平面示意圖，你們能通過測量估算出黃浦江寬度嗎？

（2）通過三維立體圖，你們能通過測量估算出東方明珠的高度嗎？

（3）通過三維立體圖，你們能通過測量估算出東方明珠下面兩個球之間的距離嗎？

設計意圖：在完成了測高測距專題的教學之后，學生能否解決身邊的測高、測距這些實際問題呢？比如估測黃浦江的寬度可以利用“圖4”，估測東方明珠的高度可以利用“圖5”……讓學生暢所欲言，體會數學學科的實用性。

4.歸納小結

通過這節課的學習，同學們有哪些收獲？整堂課用到了哪些數學思想方法？

5.課后思考

例3：如圖8，在港口A的南偏東52°方向有一座小島B，一艘船以每小時24千米的速度從港口A出發，沿正東方向行駛。

問題（2），若10分鐘后，這艘船到達小島B的北偏西25°的D處時，收到消息：“小島B處四周6海里范圍內有暗礁！”請你判斷一下，若這艘船繼續向正東方向行駛，是否有觸礁的危險。

設計意圖：

應用本節課的知識，思考例3中的問題（2），對解直角三角形中有關測高測距的專題問題進行鞏固和提高。

五、評析

數學是一門系統性很強的學科。在教學過程中，既可以參照教材的內容，將一章的若干節直接作為一個單元進行講授，也可以適當重組部分內容，構成一個單元中的專題。在本文中，筆者將教材中部分教學內容進行重組，設計解直角三角形中有關測高測距的專題課。在“測河寬”的問題情境上深入研究問題，加以變式，提煉并分析圖4和圖5這兩個基本圖形，找出圖形的共同特點“有一條公共直角邊的兩個直角三角形”。

從思維的角度看，現代信息技術是人類頭腦的延伸，除了計算、作圖、統計、推理及證明，還可以模擬實驗，拓展想象，促進理解。本節課筆者借助“幾何畫板”，展示了當點B的位置發生變化時，圖4和圖5兩幅圖的動態生成情況，幫助學生從靜態和動態、局部和整體、理論和應用的各個方面去研究和探索數學問題。因此，數學課堂應盡可能使用現代教育技術，因為現代教育技術具有的卓越性能，更有利于學生成為真正的學習主體。

數學思想方法也是數學知識的本質，它為分析、處理和解決數學問題提供了指導方針和解題策略。本節課講授的測高測距專題體現了類比、化歸等思想方法，從本質上講，解直角三角形的實際應用問題均可以轉化為解直角三角形或一般三角形的問題。在任意三角形中，知道兩邊及夾角，兩角及夾邊，兩角及對邊，三邊，都可通過構造合適的直角三角形，將解一般三角形問題轉化為解直角三角形問題，為高中數學解任意三角形做準備。

六、結束語

數學教育的功能應該包括啟發學生好奇心，激發他們的求知欲。為達到這樣的目標，數學教師必須對教材加以分析和研究，以具體的數學知識為載體，不僅要幫助學生總結歸納基本圖形和解題技巧，更要把其中蘊含的數學思想方法化有形于無形，這樣才能使學生擁有數學的眼睛和翅膀，看得更遠，飛得更高。

【參考文獻】

[1]涂榮豹，王光明，寧連華．新編數學教學論[M]．上海：華東師范大學出版社，2006.

[2]劉小蕾．基于單元視角的知識脈絡進行課時設計優化的基本方法[J]．上海中學數學，2021（12）.