2022年新高考Ⅰ卷第21題解法探究及教學啟示

鄧入文 羅毅

[摘? 要] 文章探究2022年新高考Ⅰ卷第21題的四種解法，挖掘題目的知識背景，剖析高考熱點，探索解法蘊含的數學思想，尋求其對解析幾何教學以及學生數學學科核心素養發展的價值.

[關鍵詞] 新高考;解法探究;教學啟示

教學啟示

以上是筆者獨立探究、合作交流得到的四種解法，供廣大讀者參考. 然而，筆者認為僅僅獲得一個高考題目的多種解法是不夠的，更應通過解題方法探究題目對高考備考、課堂教學甚至對學生數學能力發展的意義和價值. 所以，筆者通過對上文四種解法的再研究，結合新課標的要求以及新高考試題的特點，得到如下啟示.

1. 解析幾何的試題研究要關注知識背景、把握高考熱點

解析幾何中的很多問題本身具有深刻的幾何背景，在方程的處理過程中，又產生了具有多元多項式體系背景的方程形態.

在本題中，點A，P，Q均在雙曲線上，△PAQ是雙曲線C的內接三角形，其兩邊AP，AQ所在直線的斜率之和為定值0，得到另一條邊PQ所在直線的斜率為定值-1. 這一結論源于圓錐曲線的一個性質：

過圓錐曲線上一定點P任作兩條動弦PA，PB. 當這兩弦的斜率之積、斜率之和或者傾斜角之和三者中有一個為定值時，動弦AB所在直線過定點或有定向[1].

2020年新高考Ⅰ卷第22題，2021年普通高校招生全國統一考試適應性測試（即八省聯考）第7題，分別以橢圓和拋物線為載體對上述結論進行了考查.

在本題第（1）問的解法三中，可以看到了一個方程=·，它體現的又是一個性質：

在雙曲線E的內接△ABC中，若直線AB與AC的斜率之和為0，則E在點A處的切線斜率與直線BC斜率之和也為0[2].

可見，高考命題人對圓錐曲線試題的命制，往往會以圓錐曲線的某些研究結論為基礎，借助不同的圖形為載體來實施. 因此，在教學中，特別是在復習備考的教學中，教師不僅要研究高考試題的解法，更應把握高考命題的熱點和趨勢，挖掘試題的知識背景，抓住問題的“根”.

2. 解析幾何的思維引領要滲透學科思想、發展學科素養

在解決解析幾何問題的基本過程中，重要環節是“用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題;根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路;運用代數方法得到結論;給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題”[3]. 函數與方程方法是解決解析幾何問題的基本代數工具，函數與方程思想是基本的數學思想，其中函數思想是“利用運動變化的觀點分析具體問題中變量間的關系，并通過函數的形式表示出來，加以研究，從而使問題獲解”[4]的數學思想，方程思想是“從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程，然后通過研究方程使問題獲解”[4]的數學思想.

在前面的解法探究中，第（1）問的解法二就蘊含了函數思想：建立直線PQ的斜率與直線AP的斜率的函數關系，通過對其表達式的運算探究，得到直線PQ的斜率為定值-1. 第（2）問的解法二則蘊含了方程思想：當tan∠PAQ=2時，△PAQ的形狀和大小唯一確定（這里還蘊含了數形結合思想），要探求△PAQ的面積，只需將tan∠PAQ=2轉化為與△PAQ面積相關的條件即可. 解法一中的P，Q的坐標，解法二中的直線AP的斜率，解法四中的參數λ和m，其實都是所建立的方程中的變量，求解這些變量的值，是求解△PAQ面積的最關鍵的環節.

可以看到，邏輯推理與數學運算兩個數學學科核心素養在解析幾何問題的求解過程中發揮著顯著作用. 邏輯推理體現在：需要在問題設問情境中捕捉圖形的“動”與“靜”，從而建構函數或方程，將幾何信息轉化為代數表達. 數學運算作為演繹推理的一種形式，其貫穿解題始終. 所以解析幾何問題是發展學生邏輯推理與數學運算素養的有效土壤.

3. 解析幾何的解法指導要遵循通性通法，適度形成技巧

通性通法是在學科素養導向下產生的、在學科思想引領下的解決問題的一般方法. 通過作圖，直觀感知圖形情境中的“動態”與“靜態”，“變化”與“不變”;通過建構變量與變量之間的關系，形成函數;通過建構方程獲解，實現求值，都是求解解析幾何問題的一般方法. 強化通性通法，有利于學生形成底層思維、夯實思維基礎，有利于學生尋找解決問題的入門口，層層遞進，推動問題的解決.解法一和解法二都是基于通性通法的解題路徑.

然而，通性通法解題也有其弊端，在綜合問題情境中，它可能產生較大的思維量和運算量，降低解題效率. 所以，對于學有余力的學生，有必要適度培養其解決問題的技巧，這有利于學生解題能力的提升. 第（1）問的解法三采用結構處理技巧，通過平移變換，削除方程中的常數項，簡化了方程，使問題易于獲解;解法四通過巧妙構造曲線系方程和函數計算·，也顯著降低了運算難度.

結語

高考對高中教學具有強烈的導向作用，研究高考試題是高中教師的基本工作之一. 不僅要研究高考試題的各種解法，還應深入挖掘它的知識背景、考查方向、學科思想、學科素養等，從解法探索上升到考法研究、教法優化以及學法指導，讓試題發揮其多維度的教育教學價值，真正發展學生的理性思維.

參考文獻：

[1] 李昌. 圓錐曲線動弦的“保值性”[J]. 中學數學，2012（03）：9.

[2] 羅毅，曾文軍. 仿射圓錐曲線中一對直線斜率積（商）不變性探究[J]. 數學教學通訊，2022（06）：87-88.

[3] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4] 教育部考試中心. 2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明·理科[M]. 北京：高等教育出版社，2018.