關于微積分中多元函數極值教學的幾點思考

馬明華 李明 孫寧

摘?要：本文通過等值線和梯度分析了微積分中多元函數無條件極值點的特點和條件極值中拉格朗日乘數法的構造原理。此外，將二元函數的極值問題與一元函數相聯系，將不同極值問題歸結為求駐點問題。分析具體例題，利用極坐標和不等式放大將二元函數的最值問題轉化為一元函數的最值問題。

關鍵詞：微積分；多元函數；極值

Some?Thoughts?on?the?Teaching?of?Extreme?Values

of?Multivariate?Function?in?Calculus

Ma?Minghua?Li?Ming?Sun?Ning

College?of?Mathematical?Sciences，Harbin?Engineering?University?HeilongjiangHarbin?150000

Abstract：In?this?paper，isolines?and?gradients?are?used?to?discuss?the?characteristics?of?extreme?value?points?of?unconditional?extreme?values?and?the?principle?of?Lagrange?multiplier?method?in?conditional?extreme?values?of?multivariate?functions.In?addition，the?extreme?value?problem?of?binary?functions?is?linked?to?that?functions?of?one?variable，and?different?extreme?value?problems?are?reduced?to?the?problem?of?finding?stationary?points.by?analyzing?specific?examples，use?polar?coordinate?and?inequality?amplification?to?transform?the?maximum?value?problem?of?a?binary?function?into?the?extreme?value?problem?of?a?function?of?one?variable.

Keywords：Calculus;multivariate?function；extreme?values

多元函數的極值問題是微積分的重要內容，包括無條件極值與條件極值問題，其中拉格朗日乘數法是解決條件極值問題的重要方法。這部分的教學內容較為抽象，在實際的課堂教學中，很多學生機械地掌握定理的內容然后去做題，缺乏對微積分本質和內涵的理解。

教材“Calculus”（James?Stewart著）［3］中指出微積分的教學應該從幾何、數值、代數三方面進行，稱為“三原則”。本文通過等值線和梯度對多元函數的極值問題進行了分析，讓學生了解到，微積分不僅有抽象嚴謹的邏輯推導，也有形象直觀的圖形解釋，提高了學生的學習興趣。此外，通過函數變量的“升維”和“降維”將二元函數的極值問題與一元函數的極值問題相關聯，建立知識模塊的內在聯系。

1?二元函數極值問題的幾何刻畫

1.1?利用等值線對無條件極值問題的刻畫

以二元函數z=f（x，y）為例，求出駐點以后，通過求二階導，進一步判別該駐點是否為極值點。

定理（充分條件）［4］：設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，則f（x，y）在點（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1）AC-B2＞0時具有極值，且當A＜0時有極大值，當A＞0時有極小值；

（2）AC-B2＜0時沒有極值；

（3）AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。

該定理的證明用到了二元函數的泰勒公式，在傳統的課堂教學中一般不給出證明，也不要求學生掌握該定理的證明。學生在學完此定理內容后，做題并不存在困難，但是學生還是往往存在疑惑：為什么滿足該定理對應條件的點就是極值點或不是極值點。接下來，對具體習題，應用完定理求出極值點后，再通過等值線進行解釋，形象具體，更利于學生接受。

例1：求f（x，y）=x4+y4-4xy+1的極值。

解?fy（x，y）=4y3-4x=0解得駐點為（0，0），（1，1），（-1，-1）fxx=12x2，fxy=-4，fyy=12y2。

根據定理1，可以判別對（1，1）點和（-1，-1）點取得極小值，而在（0，0）點不能取得極值。

現對幾點處的等值線進行分析，由圖1所示，在（1，1）點和（-1，-1）點附近，等值線呈現橢圓形，逐步靠近這兩點時，函數值越來越小，因此這兩點為極小值點。而（0，0）點附近等值線呈雙曲線，逐漸靠近原點時，有的等值線對應的函數值越來越大（如第一象限的等值線），有的等值線對應的函數值則越來越小（如第四象限的等值線），根據極值點定義，得到（0，0）點不是函數的極值點。

圖1?f（x，y）=x4+y4-4xy+1等值線

1.2?利用梯度和等值線對拉格朗日乘數法的幾何解釋

在條件極值拉格朗日乘數法的教學中，學生經常會有這樣的問題：（1）為什么要這樣構造拉格朗日函數？（2）拉格朗日乘數法求得的結果難道就是極值點或最值點了嗎？

利用梯度向量和等值線進行分析，如圖所示，若P點為極值點，那么它有什么性質，從極值點出發，推得的條件自然為極值點的必要條件，這就解決了第二個問題，即拉格朗日乘數法求得的滿足條件的點為極值點的必要條件。在實際問題中，往往通過比較或問題的實際意義直接判別該點為極（最）大值點還是極（最）小值點。

圖2?利用等值線和梯度對拉格朗日乘數法的解釋

以求函數z=f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0下的條件極值為例，如圖2所示，若P點為極值點，等值線f（x，y）=9與約束條件φ（x，y）=0表示的曲線在點P處相切，即兩條曲線在點P處具有相同的切向量和法向量。接下來從法向量的角度進行討論。

（1）利用“升維”的思想，將一元函數求法向量的問題轉化為求二元函數梯度向量的問題。約束條件φ（x，y）=0可以看作是z=φ（x，y）對應的等值線，利用梯度向量與等值線的關系，法向量n1→=φ（x，y）={φx，φy}。

（2）同樣利用“升維”的思想，等值線f（x，y）=9，利用梯度向量與等值線的關系，該等值線在點P處的法向量為梯度向量，函數為z=f（x，y），因此法向量：

n2→=f（x，y）={fx，fy}

則：

n1→//n2→

則：

f（x0，y0）=λg（x0，y0）

再加上約束條件，因此該點為極值點的必要條件為

f（x0，y0）=λg（x0，y0）g（x0，y0）=0（1）

（1）為從幾何圖形推得的取得條件極值的必要條件，表示為向量形式。現在將以上形式繼續轉化，將其中的梯度向量用分量的形式表示，即：

fx（x0，y0），fy（x0，y0）}=λ{gx（x0，y0），gy（x0，y0）g（x0，y0）=0

得到：

fx（x0，y0）-λgx（x0，y0）=0

fy（x0，y0）-λgy（x0，y0）=0

g（x0，y0）=0（2）

（2）為取得條件極值必要條件的數量形式。

2?問題的歸一與轉化

2.1?極值問題歸結為駐點問題

微積分教學中，各部分之間的內容不是相互獨立的，而是相互聯系的，在教學中善于總結各部分內容之間的聯系，將不同問題歸結為同一問題，利于學生更深刻地理解微積分的內涵及本質。

在拉格朗日乘數法中，如何將數量形式（2）的結果表示成易于表示和記憶的形式？回憶一元函數的極值問題和多元函數的無條件極值問題可知，求極值都是先求駐點，再根據不同的判別方法進一步判別該駐點是否為極值點，因此考慮也將拉格朗日乘數法描述成求某一函數駐點的問題。因此構造拉格朗日函數F（x，y，z）=f（x0，y0）-λg（x0，y0）。

結果（2）即為求拉格朗日函數F（x，y，z）的駐點，如下表所示，一元函數的極值問題、多元函數的無條件極值問題和多元函數的條件極值問題的拉格朗日乘數法都可以歸結為求駐點問題。

在公式中更習慣用加法表述該公式，因此將λ換為-λ，無論用λ還是-λ，表示的都是兩個法向量即梯度向量的平行關系（即坐標成比例），因此對該問題的本質沒有影響，這樣原拉格朗日函數變為：

F（x，y，z）=f（x0，y0）+λg（x0，y0）

這樣就解決了問題（1），得到拉格朗日函數的構造形式。以上分析從等值線、梯度向量入手分析，得到以向量形式（梯度向量）表示的條件極值問題的必要條件，進而再得到數量形式表示的條件極值的必要條件，層層遞進，從直觀到抽象，從簡單到復雜，易于學生接受。

2.2?二元函數極值問題轉化為一元函數極值問題

在前面條件極值拉格朗日乘數法的討論中，通過“升維”將求法向量的問題轉化為求二元函數的梯度向量。同樣，通過“降維”思想，即減少自變量的個數，將多元函數的極值或最值問題轉化為一元函數的極值或最值問題。接下來，以2021年考研數學一的一道題為例進行分析。

例2：設x0，y0，x2+y2kex+y恒成立，則k的最小值為（??）。

解：該不等式可轉化為（x2+y2）e-（x+y）k，設f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y），該問題轉化為求f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y）在x0，y0的最大值問題。

方法1：

（1）在區域內部，即x＞0，y＞0，

fx（x，y）=2xe-（x+y）-（x2+y2）e-（x+y）=0

fy（x，y）=2ye-（x+y）-（x2+y2）e-（x+y）=0

解得x=y=0或x=y=1，其中（0，0）點在邊界上，因此先求f（1，1）=2e-2。

（2）在區域邊界，x=0，g（y）=f（0，y）=y2e-y，y0，該問題轉化為一元函數的最值問題，y＞0時，g′（y）=0，得y=2，f（0，2）=4e-2，y=0，f（0，0）=0。

同理，在邊界y=0，也轉化為一元函數的最值問題，可求得區間內部駐點為x=2，f（2，0）=4e-2，端點處的值為g（0）=f（0，0）=0。

綜合以上討論，從f（1，1）=2e-2，f（0，2）=4e-2，f（2，0）=4e-2，f（0，0）=0值中找到最大值4e-2，4e-2即為k的最小值。

f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y），注意到函數表達式中包含x2+y2，因此利用極坐標進行變量替換。

方法2：

x=rsinθ，r0，0θπ2，f（x，y）=（x2+y2）e-（x+y）=r2e-r（cosθ+sinθ）=r2e-2rsin（θ+π4），令g（rθ）=r2e-2rsin（θ+π4）r2e-r，則r2e-2rsin（θ+π4）r2e-r，r0，0θπ2，當θ=0或π2時等號成立。

設g（r）=r2e-r，r0，g′（r）=re-r（2-r）=0，r=2或r=0。g（0）=0，g（2）=4e-2，因此最大值為g（2）=4e-2，4e-2即為k的最小值。

方法2通過極坐標及不等式的放大將二元函數的最值問題轉為一元函數的最值問題，與方法1相比，簡化了計算。

參考文獻：

［1］李艷娟，馬麗萍.微積分里多元函數極值問題的探討［J］.沈陽大學學報，2005（12）：9496.

［2］楊麗娜.拉格朗日乘子法幾何意義的教學設計［J］.高等數學研究，2023，26（02）：4951+60.

［3］James.Stewart.Calculus［M］.第7版.北京：高等教育出版社，2014.

［4］同濟大學數學教研室.高等數學［M］.北京：高等教育出版社.

基金資助：2021年黑龍江省高等教育教學改革項目（SJGY20210219）；黑龍江省教育科學“十二五”規劃2015年省青年專項課題（GJD1215007）

作者簡介：馬明華（1981—?），女，漢族，副教授，河北昌黎縣人，主要從事模糊集理論和大學數學教學的研究。