基于旋轉多普勒效應的自旋目標轉速估計方法*

印必還 何姿 丁大志

(南京理工大學電子工程與光電技術學院,南京 210094)

旋轉多普勒效應是攜帶軌道角動量的渦旋電磁波用于旋轉目標探測時的一種重要現象.相比于傳統平面波,旋轉多普勒效應使得渦旋電磁波可以沿目標旋轉軸方向探測到目標的自旋運動.然而,對于特定結構的自旋目標,利用整數階軌道角動量波束進行探測仍然存在盲區.為了拓展基于旋轉多普勒效應的探測方案的適用范圍,本文基于時頻分析方法,研究了在分數階軌道角動量波束正入射和斜入射時自旋目標的轉速估計方法.首先基于理想散射點模型,推導了其在整數階和分數階軌道角動量波束正入射和斜入射時的回波模型,以及理論時頻曲線.其次,以三維實際目標為例,基于矩量法和短時傅里葉變換方法,得到目標在分數階軌道角動量波束入射時的回波及其時頻圖,并從時頻圖中提取時頻脊及其波動周期,以此估計目標自旋速度.結果證明,分數階軌道角動量波束無論在正入射還是斜入射情況下均可有效地估計自旋目標的旋轉速度,并且能夠克服整數階軌道角動量波束的探測盲區,在探測目標自旋運動時具有更廣泛的適用性.

1 引言

自20 世紀90 年代在拉蓋爾-高斯模式激光中發現軌道角動量(orbital angular momentum,OAM)以來[1],由于其理論上具備的高自由度特征,關于軌道角動量的研究迅速興起.其中,由攜帶軌道角動量的渦旋電磁波引起的旋轉多普勒效應是用于旋轉目標探測的一種重要手段,在光學領域被發現迄今已超過20 年[2,3].旋轉多普勒效應產生的根本原因是攜帶軌道角動量的渦旋波束具有螺旋狀的等相位面[4,5],其坡印廷矢量有垂直于傳播軸方向的分量,可以感知目標在傳播截面內的橫向運動,而此方向恰恰是傳統平面波的探測盲區.目前軌道角動量的研究已逐步從光頻段擴展到了射頻微波頻段[6?8],射頻波段的旋轉多普勒效應也引起了人們的關注和重視.2016 年,Zhao 等[9]提出了一種基于相位測量的間接轉速估計方法,以此避免在微波波段提取微小的頻移.Zheng 等[10]基于平面軌道角動量波束提出了一種矢量速度探測方案.Gong等[11]根據OAM 譜和頻譜,實現了對自旋并平動目標的速度探測.Zhou 等[12]推導了在雷達單脈沖和多脈沖條件下的旋轉多普勒分辨率.2022 年,本課題組[13]針對離散旋轉對稱體提出了一種基于分數階軌道角動量波束的自旋探測方案,解決了在渦旋波正入射離散旋轉對稱體時部分整數模式失效的問題.然而,實際探測目標時,往往無法保證波束能正入射目標這種理想情況.在非理想入射情況下,回波模式的不純導致了傳統FFT 方法常常會因為邊峰淹沒主峰而無法提取理論峰值[10].針對這一問題,Luo 等[14],Li 等[15]和Wang 等[16]分別研究了整數模式渦旋波束在非理想入射情況下理想散射點和金屬錐體的微動參數提取方法,而非理想入射情況下基于分數階軌道角動量的相關研究目前還沒有公開文獻報道.本文接續此前的工作,針對非理想入射情況,研究了基于分數階軌道角動量的自旋目標轉速估計方法.文中以理想散射點模型為例,先后推導了分數階軌道角動量波束正入射和斜入射自旋目標時的回波模型,并得到相應快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)頻譜和理論時頻曲線.隨后以三維實際目標為例,用全波電磁計算方法獲得相同場景下的回波,通過時頻分析方法提取回波多普勒頻率的波動周期,以此實現對自旋目標的轉速估計.本文工作完善了基于分數階軌道角動量的自旋目標探測方案,提升了其在實際目標探測中的可行性和適用性.

2 基于整數階軌道角動量的旋轉多普勒效應

2.1 理想入射情況

所謂理想入射情況,是指渦旋波束的波束軸與目標旋轉軸重合并指向目標旋轉中心,此時目標旋轉平面與波束軸完全垂直,如圖1 所示.

根據旋轉多普勒理論,當被探測物體在與渦旋波束傳播軸垂直的平面內繞軸旋轉運動時,其軸向散射回波將在頻域產生多普勒頻移[17]:

其中l為拓撲電荷數或模式數;Ω為目標的旋轉角速度.通常(1)式中的關系是成立的,但是在特定情況下它是不可用的.比如離散型旋轉對稱體(DBoR)在理想入射條件下就存在部分整數模式不可用的情況,這種結構通常有均勻對稱分布的散射中心,如圖2 所示.

圖2 DBoR 散射中心分布情況Fig.2.The distribution of scattering centers for the DBoR.

不失一般性,假設入射波表示為[18]

其中k為波數;Al為模式l的幅度加權;?為方位角.假設圖2 中的N個散射點如圖1 所示以角速度Ω繞軸旋轉,散射系數為σ,收發機位于軸上并與目標相距R0,沿旋轉軸入射,則回波可寫為

根據(4)式和(5)式可以發現,只有特定的模式l=nN才是有效的,此時通過傅里葉變換得到的旋轉多普勒頻移和(1)式是一致的,而在其他模式下,回波相互干涉抵消.這一推導結果說明了整數模式用于探測特定結構時是存在盲區的,無論采用何種回波分析方法.

2.2 非理想入射情況

非理想入射情況有若干種,如目標旋轉平面偏轉[10,14],發射/接收器分置[10],目標旋轉軸平移[14],波束軸偏離目標旋轉中心[15,16]等.本文以目標旋轉平面偏轉的斜入射場景為例進行推導和仿真,而由于這些非理想情況最終都是導致輻射場模式譜和回波頻譜的畸變,因此基于FFT 頻譜法得到的結果和結論是類似的,并且由于這些非理想探測場景中目標的旋轉在時間域上始終具有周期性特征,本文采用的回波建模方法和時頻分析工具可以通用.

建立如圖3 所示的坐標系,假設目標坐標系xyz和源坐標系XYZ平行且旋轉軸z和波束軸Z重合,兩坐標系相距Dz,目標坐標系繞x軸逆時針旋轉角度?d得到旋轉坐標系x'y'z',假設目標為一理想散射點,初始位置在x軸正半軸距離原點R處,繞z'軸以角速度Ω逆時針旋轉,輻射源位于源坐標系原點處.經過時間t后,目標在自身坐標系下的坐標 (rx,ry,rz) 為

圖3 目標旋轉平面的偏轉Fig.3.The deflection of the rotating plane.

此時目標到輻射源的距離r為

目標在源坐標系下的方位角?為

沿用(2)式中的入射波表達式,此時的回波可寫成:

對(9)式中和相位相關的指數項進行二階泰勒展開可以得到[10]:

其中Rem(?d)是泰勒展開式的高階余項.從(10)式可以發現,旋轉平面的偏轉導致了回波中出現了如 sinΩt,sin 2Ωt,sin2Ωt乃至更高次的相位調制項,這些調制項將導致回波頻譜中主峰左右出現更多的邊峰,從而對主峰位置的判斷形成干擾.而此時回波的多普勒頻率可表示為

從(11)式可以看出,該多普勒頻率在時間域上是具有周期性的.

為了驗證以上推論,取頻率433 MHz,輻射源距離旋轉平面10 m,理想散射點旋轉半徑0.1 m,轉速300 r/s,采樣率10.8 kHz,采樣點512 個.下面給出了在模式1 下旋轉平面偏轉50°時的回波FFT 頻譜和理論時頻曲線.

從圖4 可以看到,此時FFT 頻譜出現了很高的邊峰導致難以識別主峰位置,而時頻曲線呈現余弦狀周期波動,其周期為 2π/Ω即目標的旋轉周期,以此可以估計目標轉速.

圖4 回波頻譜 (a) FFT 頻譜;(b) 理論時頻曲線Fig.4.The frequency spectrum of echo: (a) FFT spectrum;(b) theoretical time-frequency curve.

3 基于分數階軌道角動量的旋轉多普勒效應

3.1 理想入射情況

分數模式的軌道角動量可以分解為整數模式的傅里葉級數求和形式[19]:

其中的整數模式也被稱為本征態,從(12)式可知,分數階軌道角動量模態包含一系列整數模式,并且越接近分數l的整數模式m有越高的權重.這意味著分數階軌道角動量波束用于目標探測相當于以不同權重的整數模式同時探測目標,既增加了回波包含的信息量,又避免了單一整數模式失效的問題.

同樣以DBoR 模型為例,假設(2)式中的l是一個分數,將(12)式代入(2)式中可得

從(14)式和(15)式中可以看出,當l和N確定時,回波的頻譜將會在f=f0+,m=nN,n∈Z 處出現峰值,并且當整數模式m越接近l時其權重越高.此推導顯示了分數模式確保了回波頻譜中有效模式的存在,避免了直接使用整數模式可能失效的情況.

為了證明以上推導,下面以理想輻射源進行解析計算,探測場景和圖1 保持一致.令Al和σ等于1,f0=10 GHz,z0=3 m,r0=0.12 m,Ω=300 r/s.以半整數階為例,在N和l不同取值下的回波頻譜如圖5—圖7 所示.

圖5 當 N=1 時的回波頻譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.5.Echo frequency spectrums with N=1: (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d) l=3.5 .

圖5 中,每個整數模式都是有效模式,并且每個半整數模式的回波頻譜都有一對最高的譜線,對應于最接近l的整數模式,相鄰譜線的頻差為Ω/(2π),所以Ω=300×2π rad/s.圖6 中,只有整數模式m=2n(n∈Z) 是有效模式而其他模式被抵消,剩下最高的譜線則對應于最接近l的有效模式,此時l1=0.5 和l2=1.5 對應的頻譜是相互對稱的,圖6(b)和圖6(c)中最高兩根譜線的頻差Δfd為 2Ω/(2π),所以Ω=600×2π/2=300×2π rad/s.圖7 中,只有整數模式m=3n(n∈Z) 是有效模式而其他模式被抵消,此時l=1.5 對應的頻譜有一對最高的譜線,在圖7(b)中最高兩根譜線的頻差Δfd為 3Ω/2π,所以Ω=900×2π/3=300×2π rad/s.

圖6 當 N=2 時的回波頻譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.6.Echo frequency spectrums with N=2: (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d) l=3.5 .

圖7 當 N=3 時的回波頻譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.7.Echo frequency spectrums with N=3 and: (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d) l=3.5 .

綜合以上討論,可以總結出如下規律和結論.

1) 當N為1 時,對于任意半整數模式其回波頻譜都有一對最高的譜線,例如圖5.如果這兩根最高的譜線頻率差為 Δfd,則可以推出

2) 當N為奇數時(N＞1),對于模式l=N/2,其回波頻譜具有一對最高的譜線,例如圖7(b).如果這兩根最高的譜線頻率差為 Δfd,則可以推出

3) 當N為偶數時(N＞1),則模式l1=(N-1)/2和l2=(N+1)/2 的回波頻譜是對稱的,例如圖6(a)和圖6(b).如果頻譜中兩根最高的譜線頻率差為 Δfd,則可以推出

至此,可以總結出基于分數階軌道角動量的DBoR類目標的探測方案: 隨著模式以l=0.5+n(n∈Z)的方式遍歷,只要上述情形被識別出,則結構信息N和轉速Ω可以通過(16)式—(18)式推出.

以上結果說明,分數模式在理想入射情況下不僅可以實現整數模式原本的旋轉探測功能,同時還可以解決其探測盲區問題.

3.2 非理想入射情況

由于探測自旋目標時常常無法確保正好沿旋轉軸方向入射,而渦旋電磁波周期性的相位梯度存在于沿以傳播軸為中心的方位向上,一旦偏離此方向,回波將引入其他模式分量從而打亂原模式譜和頻譜的分布規律.參考(10)式和(12)式,當模式為分數時,回波可以寫為

顯然,旋轉平面偏轉引入的相位調制項將作用到分數模式中包含的每一個整數模式上,同樣會干擾各譜峰位置的判斷.

下面以圖7 中的問題為例,當目標旋轉平面繞X軸偏轉5°后(圖8 所示),其回波頻譜見圖9.

圖8 目標旋轉平面偏轉時的非理想入射情況Fig.8.The unideal illumination with the deflection of the rotating plane.

圖9 當 N=3 時,旋轉平面偏轉后的回波頻譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.9.Echo frequency spectrums after the tilt of rotation plane with N=3: (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d) l=3.5 .

從圖9 中可以看到,旋轉平面的偏轉造成回波頻譜被打亂,譜線已不再具備3.1 節中所提到的規律性分布,相應的轉速估計方法也由此失效.雖然在頻譜上不再具備可供識別的特征和規律,但由于目標在時間域上仍屬于周期性運動,其多普勒頻率理論上依然遵循如(11)式所體現的周期性,而傳統的FFT 變換并不能體現回波的瞬時特性,因此可以考慮用于分析非穩態信號的時頻分析類方法.圖10 和圖11 分別給出了利用短時傅里葉變換得到的模式1.5 和2.5 對應的時頻圖.

圖10 旋轉平面偏轉后模式1.5 回波時頻圖及其局部放大Fig.10.Echo frequency time-frequency graphs of mode 1.5 after the tilt of rotation plane and its local zoom.

圖11 旋轉平面偏轉后模式2.5 回波時頻圖及其局部放大Fig.11.Echo frequency time-frequency graphs of mode 2.5 after the tilt of rotation plane and its local zoom.

可見,時頻圖中的頻率分量隨時間呈周期性波動,并且其波動頻率正比于目標自旋速度,可作為推測目標自旋速度的直接依據.

4 全波仿真與驗證

本節基于全波電磁計算方法矩量法及其快速方法,驗證了分數模式渦旋電磁波結合時頻分析方法估計自旋目標轉速的可行性.以風速儀模型(圖12所示)為例,如2.1 節所述,這種典型的DBoR 結構在正入射時整數模式存在普遍的失效問題.

圖12 風速儀模型Fig.12.The anemoscope model.

仿真場景和圖8 類似,其中目標以20 r/s 的速度繞軸自旋,輻射源距離目標0.5 m,計算頻率為10 GHz,采樣率為720 Hz.分數模式OAM 波束的生成采用了文獻[20]中的均勻圓陣方案,其中圓陣半徑為9 cm,單元數為24,用于合成分數模式的整數模式范圍為–10 到10,單元為理想電偶極子并沿Y方向放置在XOY平面內.電場的Y分量沿垂直距離0.5 m,俯仰角 8°的圓環上采樣得到的輻射場模式譜和方位角相位梯度如圖13 所示.

圖13 輻射電場的相位梯度以及模式譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.13.Phase gradients and mode spectrums of the radiation electric field with: (a) l=0.5(b) l=1.5(c) l=2.5(d) l=3.5 .

從圖13 可以看到,這種方法產生的分數階軌道角動量波束和理論一致包含了對稱分布的整數模式,輕微的差異來自于場合成公式中的近似以及輻射單元的非均勻性,同時在方位角向產生了連續的相位梯度,除了在0°和360°附近由于相位不一致而導致的跳變.圖14 和圖15 分別給出了這些分數模式OAM波束在正入射和斜入射(目標繞Y軸偏轉5°)該自旋目標時的回波FFT 頻譜.

圖14 當 N=3 時的回波頻譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.14.Echo frequency spectrums with N=3: (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d) l=3.5 .

圖15 當 N=3 時,旋轉平面偏轉后的回波頻譜 (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d)l=3.5Fig.15.Echo frequency spectrums after the tilt of rotation plane with N=3: (a) l=0.5;(b) l=1.5;(c) l=2.5;(d) l=3.5 .

從回波頻譜可以看出,分數模式OAM 波束正入射該目標時的結果和理論基本一致.而旋轉平面的偏轉擾亂了譜線分布,例如模式1.5 對應頻譜不再對稱,模式2.5 和模式3.5 對應頻譜峰值發生了偏移,顯然此時已無法運用正入射時的相關推論進行轉速估計.根據參考文獻[11],本文所研究問題的回波頻譜可以表示為

其中f0為載頻,δ(·) 表示沖擊響應函數,即回波頻譜在去除載頻后相當于模式譜以系數加權得到,所以模式譜的分布直接影響了回波頻譜的分布.而無論整數模式或是分數模式,其連續的相位梯度都是存在于垂直于波束軸平面內的方位角向上,偏離此方向的輻射或接收都會導致模式譜的畸變,進而導致回波頻譜的畸變,這也是為什么在非理想收發條件下無法直接從回波頻譜獲取有效信息的原因.

由于斜入射時的頻域特征難以識別,考慮到目標在時間上是周期運動,通過時頻分析方法獲取目標運動周期是一種可行的途徑.下面給出了回波經短時傅里葉變換后的時頻圖以及提取的時頻脊.

根據圖16(b)和圖17(b)提取得到的時頻曲線,分別測量其中8 個波動周期的長度均約為0.133 s,即每個周期約為0.0167 s,考慮到此模型每轉120°即是一個周期,實際的旋轉周期為0.0167×3≈0.05 s,即旋轉頻率約為20 Hz,即轉速約為20 r/s,近似等于理論值.該全波仿真驗證了利用分數模式OAM 結合時頻分析方法進行自旋目標轉速估計,相比于整數模式和FFT 頻譜法具有更廣泛的適用性和有效性.

圖16 模式0.5 波束正入射目標時的時頻圖及時頻曲線 (a) 時頻圖;(b) 時頻曲線Fig.16.Time-frequency graph and curve under the normal incidence of the beam with mode 0.5: (a) Time-frequency map;(b) timefrequency curve.

圖17 模式2.5 波束斜入射目標時(旋轉平面繞Y 軸傾斜5°)的時頻圖及時頻曲線 (a) 時頻圖;(b) 時頻曲線Fig.17.Time-frequency graph and curve under the oblique incidence (the plane of rotation tilts around Y axis with 5°) of the beam with mode 2.5: (a) Time-frequency map;(b) time-frequency curve.

5 結論

本文討論了基于整數階和分數階軌道角動量的旋轉多普勒效應.相關結果證明,分數階軌道角動量波束無論在正入射還是斜入射自旋目標時,回波時頻圖都具有周期性波動的時頻脊,并能夠以此有效估計目標自旋速度.而對于正入射離散旋轉對稱體時整數模式失效的情況,利用分數模式依然可以有效估計目標自旋速度.相比于此前的研究工作,本文將基于分數階軌道角動量的旋轉多普勒效應研究從正入射場景擴展到了斜入射場景,在傳統FFT 方法已無法估計目標轉速的情況下,以時頻分析方法提取多普勒頻率變化周期并以此估計目標自旋速度.該工作進一步完善了基于分數階軌道角動量的旋轉多普勒效應研究,相關結果可為基于旋轉多普勒效應的雷達探測方案提供參考和借鑒.