粒子間長程相互作用以及晶格中孤立缺陷點對兩硬核玻色子在一維晶格勢阱中量子行走的影響*

李艷

(南昌師范學院物理與電子信息學院,南昌 330032)

本文研究了一維晶格勢阱中兩個硬核玻色子在粒子間長程相互作用下的量子行走.還通過在晶格中的某一個格點加上額外的局域勢能,模擬晶格勢阱中可能存在的孤立缺陷點對兩粒子量子行走的影響.數值計算結果顯示粒子間相互作用的范圍(長程或短程),相互作用的強度,兩粒子初始所處的量子態以及孤立缺陷點的存在對兩粒子量子行走結果的影響巨大.在粒子間強長程相互作用下,初始處于非鄰近格點的兩粒子展現出距離固定步調一致的綁定行走,而在只考慮處于鄰近格點粒子間的短程強相互作用下只有初始處于鄰近格點的兩個粒子才能綁定行走.在引入孤立缺陷點情形下,在粒子間強相互作用下初始處于孤立缺陷點同一側的兩個粒子將保持綁定行走.而初始分別位于孤立缺陷點兩側或者有一個粒子位于孤立缺陷點的兩粒子,將停止行走或在孤立缺陷點附近行走,展現出局域化的量子行走行為特點.應用簡并量子系統的二階微擾理論對數值計算結果給予了全面深入的理論分析.研究揭示了在粒子間長程相互作用下兩個硬核玻色子在一維沒有缺陷點的有序晶格勢阱以及具有孤立缺陷點的晶格勢阱中量子行走的一些物理規律.

1 引言

離散晶格勢阱中粒子的經典隨機行走(classical random walks)被廣泛應用于計算機科學的算法中[1?3].晶格勢阱中粒子的量子動力學的演化結果則導致量子行走(quantum walks).量子行走是經典隨機行走的量子對應物,量子行走不僅是量子傳輸的基本現象,也是開發量子算法[4,5]和實現量子計算[6,7]的實用工具.與經典粒子的隨機行走不同,粒子量子行走的結果是不同行走路徑疊加的結果.這些不同路徑之間的干涉構成了利用量子行走實現量子算法的理論基礎.從圖論[8,9]的角度來看,圖的頂點為量子系統希爾伯特空間的初始正交基狀態,連續時間量子行走是由圖的鄰接矩陣即量子系統的哈密頓量定義的酉演化 e-iHt產生的.實驗方面,到目前為止研究者們在無序介質中的光子[10,11]、射頻阱中的離子[12]、光學晶格中的超冷原子[13]、原子自旋雜質[14]以及核磁共振系統[15]等實驗系統中實現了微觀粒子的量子行走.而其中離散晶格勢阱中粒子的量子行走行為引起了人們強烈的研究興趣.研究表明晶格勢阱中粒子的量子行走研究,有可能揭示量子動力學的新特征[16]以及在量子計算中具有潛在的應用價值.因而各種條件下晶格勢阱中粒子的量子行走也獲得了大量的研究[17,18].

近來,囚禁于晶格勢阱中的分子以及準激發態粒子的量子行走行為也獲得了很多實驗和理論的關注[19?21].原因在于光晶格中的分子或準激發態粒子具有豐富的可調控自由度.這對量子行走器的制備和檢測可以實現前所未有的控制程度[22].分子以及準激發態粒子之間具有偶極-偶極長程相互作用.因此超冷分子系統有望實現具有可調諧的各向異性長程相互作用下的量子模擬[23]、量子計算[24,25]、精確測量[26]以及量子力學機制中下的相干化學探索[27,28]等.這一量子系統也可用于研究長程相互作用下粒子間的量子關聯,而理解量子少體和多體動力學系統中的量子關聯也是當前物理學研究的中心問題之一[29,30].可以在晶格勢阱中分子和準激發態粒子實驗中探索的有趣的物理問題還包括相互作用誘導的多體局域化[31],以及粒子間相互作用對無序導致的局域化效應的影響[32]等.

已有的相關研究主要討論了初始處于晶格勢阱中心并位于鄰近格點的兩粒子,在考慮粒子處于臨近格點或同一個格點才具有相互作用的短程相互作用下在晶格勢阱中的量子行走.本文將研究一維晶格勢阱中處于不同初始狀態(包括處于非鄰近格點的初始狀態)的兩個硬核玻色子在粒子間長程相互作用下的量子行走,并與短程相互作用下的情形進行對比分析.此外還研究了晶格勢阱中可能存在的孤立缺陷點(或者雜質點)對晶格中兩粒子量子行走的影響.當晶格系統存在隨機分布缺陷點(或者雜質點)導致的無序時,無相互作用的多粒子體系的波函數受到晶格中隨機分布的缺陷點或者雜質點的散射將阻止了量子傳輸,導致粒子波函數安德森局部化[33].具有相互作用的粒子在具有無序的晶格勢阱中量子傳輸量子行走也受到廣泛的研究[34,35].然而目前還缺乏晶格中可能存在的孤立缺陷點(或者雜質點)對晶格中具有相互作用的粒子的量子行走傳輸機制的研究.本文的研究結果表明粒子間相互作用的模式(長程或短程)、相互作用的強度、兩粒子初始所處的狀態以及晶格勢阱中孤立缺陷點的存在對兩粒子量子行走的結果的影響是巨大的.應用簡并量子系統的二階微擾理論對強相互作用下兩粒子量子行走給予了全面深入的理論分析.理論分析的結果與數值計算的結果是一致的.本文的研究展示了粒子間長程相互作用下兩個硬核玻色子在一維沒有缺陷點的有序晶格勢阱和有孤立缺陷點的晶格勢阱中量子行走的一些獨特的行為特點,并揭示了這些獨特行為背后的一些物理規律.

2 理論模型

考慮處于一維晶格勢阱中的兩個全同硬核玻色子,該量子體系的哈密頓量可描述為

1)只考慮處于鄰近格點粒子間的短程相互作用(nearest-neighbor interactions)

2)考慮處于不同格點l和m的兩粒子間的長程相互作用

兩式中U都表示相互作用的強度,U＞0(U＜0)代表粒子間具有排斥(吸引)相互作用.在后面的研究中取κ=1.

其中|n〉為哈密頓量的本征態,En為其對應的本征值.為了研究兩粒子的量子行走行為,在后面的分析中我們將利用兩體空間關聯函數:

隨時間的變化來分析和展示兩粒子在晶格勢阱中的量子行走.這一關聯函數的物理意義是同時在格點l和m探測到粒子的聯合概率分布[29].

3 結果與分析

3.1 兩硬核玻色子在沒有缺陷點的有序晶格勢阱中的量子行走

設哈密頓(1)式中第2 項的局域勢能V(l)=0,首先研究在粒子間長程相互作用下兩個硬核玻色子在沒有缺陷點的有序晶格勢阱中的量子行走.圖1和圖2 為兩粒子在不同初始態以及不同的相互作用強度U下,兩粒子的空間關聯圖樣隨時間的變化.圖中的每一列代表在特定條件下兩粒子的空間關聯函數隨時間的變化.結果表明粒子間長程相互作用的強度以及兩粒子的初始量子態對兩粒子量子行走結果影響是巨大的.圖1 中粒子的初始態均為|Ψ〉i=|12,17〉.在相互作用較弱或無相互作用時,兩粒子將獨立行走.除因為硬核條件兩粒子不能位于同一格點外,兩粒子將在希爾伯特空間B={|l1,l2〉,1≤l1＜l2≤L}中所有量子態間跳轉演化.而在強相互作用下,兩粒子將展現出綁定行走的行為特點,即在空間關聯圖樣中出現沿著對角線分布的兩條平行線q=r±d.這意味著在強相互作用下兩粒子在晶格勢阱中保持距離不變步調一致地行走.兩粒子的綁定行走也是兩個粒子束縛態存在的一個重要標志,參見兩個磁振子[36]及晶格中相互作用的玻色子、費米子以及任意子[17,18,37]的情況.圖1 還揭示排斥相互作用與強吸引相互作用對兩粒子的量子行走的影響沒有明顯區別.圖2 展示了在強相互作用下,處于不同初始態的兩粒子的空間關聯圖樣隨時間的變化.數值計算的結果展示出初始距離較近的兩粒子將表現出強烈的綁定行走行為.而當兩粒子初始距離較遠時,兩粒子的空間關聯圖樣將出現兩條較粗的平行線,表明兩粒子的距離將不再固定.但兩粒子也不能互相靠近,將保持一定距離范圍內做綁定行走.如在同樣條件下加大相互作用強度U,隨著相互作用強度的增大,兩粒子的綁定行走將得到強化,如圖2 中最后一列所示.

圖1 初始處于量子態 |Ψ〉i=|12,17〉 在不同強度的長程相互作用下的兩個硬核玻色子的空間關聯函數隨時間的變化.圖中每一列均表示在特定條件下兩粒子關聯圖樣隨時間的變化.從第1 行到第3 行對應的演化時間 Jt=2,10,100.從第1 列到第7 列相互作用強度 U/J 值分別為 0,2,-2,40,-40, 80,-80.計算中晶格總的數目為L=31Fig.1.Spatial pair correlations of two hard-core bosons under the effects of long-range inter-particle interactions in Eq.(3) with various values of the interaction strength.The initial state for the two bosons is |Ψ〉i=|12,17〉 for all the cases.Each column in the figure represents the change of two-particle correlation pattern with time under specific conditions.From top to bottom,the corresponding evolution times are Jt=2,10,and 100,respectively.For each column (from left to right) the interaction strength is U/J=0, 2,-2, 40,-40, 80, and -80,respectively.The total number of lattice sites is L=31 .

圖2 初始處于不同的量子態的兩個硬核玻色子在強長程相互作用下的空間關聯圖樣隨時間的變化.圖中每一列表示在特定條件下兩粒子關聯圖樣隨時間的變化.從第1 行到第4 行對應的演化時間分別為 Jt=0,10,40,110 .從第1 列到第6 列(從左到右)兩粒子的初始態 |Ψ〉i 分別為 |15,17〉,|14,18〉,|13,19〉,|8,24〉,|4,28〉,|8,24〉.虛線左側 U/J=80,虛線右側 U/J=1 000 .計算中晶格格點總的數目為L=31Fig.2.Spatial pair correlations of two hard-core bosons under the effects of strong long-range inter-particle interactions for different initial states.Each column in the figure represents the change of two-particle correlation pattern with time under specific conditions.From top to bottom,the corresponding evolution times are Jt=0, 10, 40,and 110,respectively.The initial states of the two particles |Ψ〉i in each column (from left to right) are |15,17〉,|14,18〉,|13,19〉,|8,24〉,|4,28〉,and |8,24〉,respectively.On the left and right size of the dashed line the interaction strength is U/J=80 and 1 000,respectively.The total number of lattice sites is L=31 .

3.2 兩硬核玻色子在晶格勢阱中量子行走的微擾理論分析

已有研究工作表明初始處于相鄰格點且在只考慮處于鄰近格點的粒子之間具有強短程相互作用下的兩粒子將展現出綁定行走行為[17,18,38].本研究展示了在強長程相互作用的影響下,初始處于非臨近格點的兩個粒子也呈現出綁定行走.這一結果可以用如下的簡并量子系統的二階微擾理論[18,36]進行解釋.在強相互作用情形下|U/J|?1,可以將哈密頓量的第1 項

作為哈密頓量的第3 項

將(9)式和(10)式代入(11)式,通過計算可得

為了與短程相互作用下以及無相互作用的情形對比分析,圖3 還展示了在只考慮處于臨近格點的粒子間短程相互作用((2)式)以及粒子間無相互作用情況下的兩粒子的量子行走.這兩種情況下兩粒子的量子行走在之前的研究中被廣泛討論過[17,18,37].但在以往的研究中大多只考慮初始處于晶格中心鄰近格點的兩粒子的量子行走.本工作考慮兩粒子初始處于非鄰近格點的情況.結果顯示在強短程相互作用下初始處于非臨近格點的兩粒子將獨立行走,沒有展現出伴隨行走行為,這與長程相互作用下的初始處于非鄰近格點的兩粒子的綁定行走行為形成了對比.圖樣中對角線上的陰影還表明強短程相互作用下的兩粒子也不能互相靠近(處于鄰近格點).而當沒有粒子間相互作用時,兩粒子也表現出獨立行走行為,但兩粒子演化過程中可以處于鄰近格點的狀態.

圖3 初始處于不同量子態的兩個硬核玻色子在強短程相互作用下(虛線左側)和無相互作用下(虛線右側)的空間關聯函數圖樣隨時間的變化.對于強短程相互作用情形,相互作用強度為 U/J=80.從第1 排到第4 排對應的演化時間分別為Jt=0,10, 80, 150.從第1 列到第4 列(從左到右)兩粒 子的初始態 |Ψ〉i 為 |15,17〉,|10,22〉,|15,17〉,|10,22〉.計算中晶格格 點總的數目為L=31Fig.3.Spatial pair correlations of two hard-core bosons under the effects of strong short-range inter-particle interactions in Eq.(2)(left side of the dotted line) and no interactions (right side of the dotted line) for different initial states.The interaction strength for the short-range inter-particle interactions is U/J=80 . From top to bottom,the corresponding evolution times are Jt=0, 10, 80, and 150,respectively.The initial state of the two particles |Ψ〉i in each column (from left to right) is |15,17〉,|10,22〉,|15,17〉,and |10,22〉,respectively.The total number of lattice sites is L=31.

在上面的量子簡并微擾理論框架下,也可以解釋強短程相互作用下兩粒子的量子行走行為.在強短程相互作用下,鄰近格點量子態{|l,l+1〉:1≤l≤L}處于簡并態對應能量本征值E=U.其他處于非鄰近格點狀態量子態{|l,k〉:|l-k|≠1,1≤l＜k≤L}也都處于簡并狀態對應能量本征值E=0[17].按上面簡并態微擾理論,對于初始處于非鄰近格點的兩粒子,隨時間演化兩粒子將在這些非鄰近格點的簡并量子態之間跳轉.于是在強短程相互作用下初始處于非鄰近格點的兩粒子不能處于鄰近格點量子態,也不能呈現出距離固定的綁定行走行為.與之形成對比的是,初始處于鄰近格點的兩粒子將在鄰近格點量子態之間跳轉,最終將在晶格勢阱中呈現出綁定行走行為,這一綁定行走行為在以往的研究中被廣泛討論過[17,18,38].

3.3 兩硬核玻色子在具有孤立缺陷點的晶格勢阱中的量子行走

為了模擬晶格勢阱中孤立存在的缺陷或雜質造成的無序對兩粒子量子行走造成的影響,在哈密頓量(1)式的第2 項局域勢能中設置處于在總數L=31個格點的晶格勢阱中:

于是格點17 變為晶格勢阱中的孤立缺陷點.為突出孤立缺陷點的效應,后面的研究中討論|V|?J的情形.圖4 中虛線左側和右側分別展示了初始處于不同量子態的兩粒子,在粒子間強長程和強短程相互作用下、在具有孤立缺陷點的晶格勢阱中的量子行走.結果表明孤立缺陷點的存在將導致處于不同的初始態以及不同的相互作用模式下的兩粒子的量子行走行為產生強烈的變化.在強長程相互作用下,初始處于孤立缺陷點同一側的兩粒子將保持綁定行走行為特點,但不會靠近孤立缺陷點附近區域.初始分別位于孤立缺陷點兩側或者有一個粒子位于缺陷點的兩粒子將保持不動,或在缺陷點附近行走,表現出局域化的量子行走行為特點.在短程強相互作用下,圖4 也展示了兩種典型初始態情形,見圖中虛線右側.第1 種為初始處于非鄰近格點且位于孤立缺陷點兩側的量子態|16,18〉,關聯圖樣中對角線上較低的關聯函數值表明兩粒子不能位于鄰近格點.而兩粒子除不能靠近外將隨時間獨立行走并逐漸散落于整個晶格勢阱中,這與強長程相互作用下的結果形成了對比.另外一種為初始處于鄰近格點且其中一個粒子位于孤立缺陷點即初始量子態為|16,17〉的情形.在這種情況下兩粒子將不會在晶格勢阱中行走,展現出局域化的量子行走行為特點,這個結果與長程相互作用下的對應結果一致.

圖4 在具有孤立缺陷點的晶格勢阱中,處于不同初始態的兩個硬核玻色子在強長程(虛線左側)和短程相互作用(虛線右側)下空間關聯函數隨時間的變化.晶格中孤立缺陷點按如下方式引入: 處于在總數為 L=31 個格點的晶格中設定處于格點17 的粒子具有額外的勢能,設哈密頓量(1)式中 V (17)/J=-80,而其他格點的局域勢能仍為0.長程相互作用與短程相互作用的作用強度都為 U/J=80.第1 行到第4 行(從上到下)對應的演化時間分別為 Jt=0, 10, 80, 200 .從第1 列到第6 列對應的初始量子態 |Ψ〉i 為 |10,12〉,|16,18〉,|15,18〉,|15,17〉,|16,18〉,|16,17〉Fig.4.Spatial pair correlations of two hard-core bosons under the effects of an isolated defect point in the lattice and strong interparticle interactions for different initial states.The left and right size of the dashed line are under the effects of strong long-range and short-range inter-particle interactions,respectively.The isolated defect point is introduced as follows: in the lattice with L=31 lattice sites in total,lattice site 17 is set to have additional potential energy with strength V (17)/J=-80 in the Hamiltonian (1),while the local potential energy of the other lattice sites is still 0.The interaction strength is U/J=80 for all cases.From top to bottom,the corresponding evolution times are Jt=0, 10, 80 and 200,respectively.The initial state of two particles |Ψ〉i in each column (from left to right) is |10,12〉,|16,18〉,|15,18〉,|15,17〉,|16,18〉,and |16,17〉,respectively.

在具有孤立缺陷點的晶格勢阱中,當粒子間具有強長程或短程相互作用的情形下,上面的簡并微擾論仍然適用.首先討論長程相互作用下的情形.由于格點17 具有附加局域勢能,系統本征態的簡并狀態將發生改變: 與孤立缺陷點相關的量子態{|l,17〉,|17,k〉: 1≤l＜17,17＜k≤L}成為新的簡并態對應本征能量Ed+V.而除去與孤立缺陷點有關的剩余量子態=|l,m〉:1≤l＜m≤L,l=17,m=17}仍處于簡并狀態對應本征能量Ed.(11)—(13)式的分析仍然成立.于是初始處于量子態|10,12〉的兩粒子將在新的簡并態=|l,m〉:1≤l＜m≤L,l=17,m=17}之間跳轉演化形成圖中的綁定行走的圖樣分布.但是由于與孤立缺陷點相關的兩個量子態{|15,17〉,|17,19〉}已不再處于同一簡并狀態,兩粒子將無法跳轉到這些量子態.導致兩粒子不能行走至孤立缺陷點附近的區域.對于初始處于孤立缺陷點兩側的兩粒子量子態|16,18〉,附近的量子態|15,17〉與|17,19〉不再屬于同一簡并態.而由于哈密頓第一項的跳轉限制兩粒子也無法跨越格點直接跳轉到其他簡并量子態.因此兩粒子只能保持不動,展現出局域化的量子行走行為特點.而對于初始處于量子態|15,18〉的兩粒子也只能在|15,18〉和|16,19〉這兩個簡并態之間跳轉,無法行走到其他格點.因此兩粒子只能在無序格點附近行走,也展現出局域化的量子行走行為特點.對于其中一個粒子位于孤立缺陷點的情況下即初始處于量子態|15,17〉的情形,這時雖然{|15,17〉,|17,19〉}這兩個量子態處于簡并狀態,但由于哈密頓第1 項的跳轉限制這兩粒子不能在這兩個量子態之間跳轉.于是兩粒子將一直處于|15,17〉這個量子態,無法行走到其他格點,也表現出局域化的量子行走行為特點.

再討論具有孤立缺陷點的晶格中的兩粒子在強短程相互作用下的情形.孤立缺陷點的存在也將導致該種情況下量子系統的本征態的簡并狀態發生改變.系統的本征態將分為如下4 個處于簡并狀態的子空間: 處于非鄰近格點的兩粒子簡并態{|l,k〉:|l-k|≠1,1≤l＜m≤L,l=17,k=17}對應本征能量E=0,鄰近格點狀態簡并態{|l,l+1〉:1≤l≤L,l=16,l=17}對應本征能量E=U,與孤立缺陷點有關的量子態{|l,m〉:1≤l＜m≤L,l=17 orm=17}對應本征能量E=V,而鄰近且與孤立缺陷點相關的兩個量子態{|16,17〉,|17,18〉}也處于簡并狀態對應本征能量E=U+V.對于初始處于非鄰近格點狀態|16,18〉兩粒子將在非鄰近格點的兩粒子態將在上面的第一個簡并量子態之間跳轉,形成圖4 中第5 列中的關聯圖樣.而對于初始處于鄰近格點且與孤立缺陷點有關的量子態|16,17〉的兩粒子只能在{|16,17〉,|17,18〉}這兩個簡并量子態之間跳轉,導致兩粒子展現出局域化的量子行走行為特點.

結果表明強相互作用下晶格中孤立存在的缺陷點的存在改變了兩粒子量子態的簡并狀態.當量子系統的條件符合上面簡并量子系統的二階微擾理論的要求時,兩粒子只能在初始狀態所處的簡并態之間跳轉.于是孤立缺陷點存在導致兩粒子在晶格中量子行走行為產生強烈的變化.特別是當初始狀態與鄰近的量子態不再屬于同一簡并態時,兩粒子將不能在晶格間行走或只在孤立缺陷點附近行走,展示出局域化的量子行走行為特點.

對于無相互作用或弱相互作用的具有無序的量子系統Anderson 局部化效應,系統波函數需要經過多個隨機分布的缺陷點或雜質點導致的無序的散射才能讓粒子停止量子傳輸,導致量子體系波函數的局域化.由Anderson 局域化的研究引發,量子系統局域化效應引起了極大興趣,并逐漸推廣到量子多體系統的局域化[34,35,39].量子多體系統波函數的局域化打破了系統各態歷經性,使得量子系統初始狀態保持不變,阻止系統的熱化[40].除了無序會引起量子系統波函數局域化以外,導致量子系統波函數局域化的方案還包括通過應用傾斜場[41],設計彎曲帶[42]來降低隧道效應以及控制粒子間相互作用[43].本文研究結果表明在兩粒子間具有強相互作用這一強關聯區域下晶格中的一個孤立缺陷點也可以讓初始處于特定量子態的兩粒子停止在晶格中行走傳輸,產生局域化效應.本文研究結果也為量子多體系統的局域化方案提供了一些有益的補充.

4 結論

本文研究了在粒子間長程相互作用下,處于不同初始狀態的兩個硬核玻色子在一維有序和具有孤立缺陷點的晶格勢阱中的量子行走.這里晶格中的孤立缺陷點是通過在晶格勢阱中的某一個格點加上額外的局域勢能方式實現,目的為了模擬晶格中孤立存在的雜質或者缺陷對晶格中兩粒子的量子行走的影響.直接數值計算結果表明粒子間相互作用的模式(長程或短程),兩粒子初始所處的狀態以及孤立缺陷點的存在對兩粒子量子行走的結果的影響是巨大的.利用簡并量子系統的二階微擾理論對強相互作用下的量子行走行為進行了全面的理論分析.理論分析結果說明粒子間強相互作用的存在,將兩粒子的希爾伯特空間分成多個具有不同本征能量的簡并態子空間.而當系統哈密頓量的跳轉項無法提供足夠的能量讓兩粒子在不同本征能量對應的量子態之間跳轉時,兩粒子只能在同一簡并態之間演化跳轉,導致了強相互作用下的兩粒子的綁定行走.晶格中孤立缺陷點的存在改變了強相互作用下兩粒子量子態的簡并狀態,導致強相互作用下兩粒子在晶格中量子行走行為產生強烈的變化.特別是當初始狀態與鄰近的量子態不再屬于同一簡并態時,兩粒子將不能在晶格間行走或在孤立缺陷點附近行走,展示局域化的量子行走行為特點.本研究展示了在粒子間長程相互作用以及晶格中孤立缺陷點的存在下兩個硬核玻色子在一維晶格勢阱中量子行走的一些獨特的行為特點,也揭示了這些獨特量子行走行為背后的一些物理規律.此外晶格中的孤立缺陷點存在,導致處于特定條件下的兩粒子間停止在晶格中行走,該結果也為量子多體系統的局域化方案提供了一些有益的補充.