熱噪聲環境下偶極場驅動的量子比特動力學*

熊凡 陳永聰? 敖平

1) (上海大學物理系,定量生命科學國際研究中心,上海 200444)

2) (四川大學生物醫學工程學院,成都 610065)

量子計算相比于經典計算在處理某些復雜性問題時具有與生俱來的獨特優勢,從而受到廣泛關注.要想實現大規模的量子計算,最關鍵的在于不斷提高量子比特的保真度.由于量子比特的脆弱性,環境熱噪聲對其保真度具有極大影響.本文基于偶極場驅動量子比特的方式,采取隨機動力學結構分解方法,并應用久保-愛因斯坦漲落耗散定理研究熱噪聲環境下的量子比特控制問題.偶極場具有3 個方向的分量,而不僅僅只限于一個平面,這種控制方式可以更加靈活地控制量子態.在不考慮噪聲的情況下,量子態能夠100%的到達目標態.而在噪聲環境中,熱噪聲會使得實際終態和目標終態存在由熱漲落造成的偏差,成為影響量子保真度的主要因素.為此本文利用蒙特卡羅優化算法對驅動場進行優化,以此來進一步提高量子比特保真度.該方法的可行性在數值計算中得到了驗證,可以為實驗提供新的解決方案,用以進一步指導和評估實驗.

1 引言

量子計算是一種應用量子體系特有的性質(如疊加態和糾纏態)對量子信息單元進行計算的新型模式.量子態巨大的希爾伯特空間,使其能夠執行經典計算機無法實現的操作[1].在處理一些復雜度大的特定問題時,量子計算理論上具有更大的優勢.例如非結構化搜索問題和整數素因數分解問題,通過利用特定的量子算法(Grover 算法[2]和Shor算法[3]),量子計算具有指數級的加速效果,這些發現引起了廣泛的關注,為量子計算的發展提供了重要的動力.

要想實現具有通用性、可擴展性以及容錯性的大規模量子計算機,需要完成7 個基本階段,其中首當其沖的就是對單個量子比特的運算[4].換言之,實現量子計算的首要任務就是對量子比特的精心制備和精確調控.目前,可以作為量子比特的物理系統包括超導量子比特[5?8]、半導體量子比特[9,10]、離子阱系統[11,12]和金剛石氮-空位(nitrogen-vacancy,NV)色心[13,14]等,這些物理系統在退相干時間和可擴展性方面各自占有優勢.在量子計算的研究中,一個重要的問題是如何設計最優的量子控制方法,以實現高效、精確、穩定的量子態演化和信息處理.一種常用的相干控制手段是應用精確定制的交流脈沖[15,16],絕熱跟隨(adiabatic following)在原則上是相干控制的另一種方法[17,18],這種方法主要依賴于哈密頓量隨時間演化的慢性,并可能由于非絕熱轉變而遭受一些損失.2000 年,Emmanouilidou 等[19]在兩能級系統的背景下,研究和解決了在各種物理約束下量子態隨時間演化的控制問題,提出一種穿越絕熱屏障的量子控制方法[20,21],該方法可以消除非絕熱躍遷,使得量子態能100%到達目標態.

量子比特的控制需要一個開放的量子系統,不可避免地會與環境發生相互作用,從而引發量子退相干[22],這將使得量子比特保真度降低.由此可見,環境熱噪聲是量子計算走向規?；囊淮笞璧K.在對其最優控制領域,常用的量子優化算法包括GRAPE[23](gradient ascent pulse engineering)方法以及Krotov 方法[24],其中GRAPE 是通過梯度下降算法來不斷調整控制脈沖的形狀,使得目標函數值越來越小,直至收斂到最優解.該算法需要大量的計算資源且計算時間較長.其次,對于復雜的系統,使用GRAPE 方法進行優化可能會遇到局部極小值問題,導致最終結果不是全局最優解,且性能容易受到系統模型隨機性或確定性錯誤的影響[25].Krotov 方法相對GRAPE 方法則具有更高的收斂速度,這是因為Krotov 方法可以利用上一次迭代的結果,對下一次的迭代進行優化,隨迭代次數單調增長,需要的計算資源更少,無需線性搜索且具有更好的魯棒性等優點[26].但是相對于GRAPE 方法,Krotov 方法的適用范圍更加有限,它只適用于一部分的量子控制問題,如純態控制、譜控制等.Krotov 方法相對于GRAPE 方法需要更多的手動調整,比如需要手動選擇一些物理意義明確的控制場,需要對演化過程中的噪聲進行模擬等.它們的優點是都可用于非馬爾可夫(non-Markovian)環境的量子控制優化[27,28].

本文所采用的蒙特卡羅優化算法通過隨機性的抽樣和搜索過程,能夠在整個參數空間中進行更全面的探索,從而避免陷入局部極小值.此外,量子動力學的傳統主流研究方法一般采用概率Lindblad 主方程[29](probabilistic Lindblad master equation)來研究開放量子系統的退相干和量子耗散現象.然而Lindblad 主方程實質上遵循馬爾可夫過程,會忽視系統與熱庫耦合引起的記憶效應,因此無法解決如低溫下量子有色噪聲中的滯后問題[30,31].

本文主要以單個量子比特為研究對象,基于敖平等[19]在兩能級系統的研究工作基礎上,使用偶極場驅動量子比特的方式,采取隨機動力學結構分解方法,并應用久保-愛因斯坦漲落耗散定理研究了熱噪聲環境下的量子比特控制問題.通過引入布洛赫球(Bloch sphere)直觀地展示了量子態的演化過程,并利用蒙特卡羅優化算法對磁場的傅里葉分量形式進行優化,以此來提高量子比特的保真度.該方案能夠從完全量子力學的角度進行證明,為熱噪聲環境下的量子控制提供新的優化方案,用以指導和評估實驗.

2 量子比特控制

2.1 量子態的運動方程

量子比特是具有兩個可獨立操控量子態的量子系統.就單個量子比特而言可以看作一個兩能級系統,以一個在磁場中自旋為 1/2 的粒子[32]為例,其哈密頓量可以寫成如下形式:

系統的量子態兩個組成部分通常寫成

其中α,β和γ是含時的實函數,α和β分別表示布洛赫矢量的極角和方位角,γ是整體相位.量子態隨時間的演化遵循薛定諤方程:

顯然,哈密頓量的4 個參數并不是由波函數的3 個參數唯一確定的,B0可以具有任意的時間依賴關系,哈密頓量的其他參數可以寫成:

為了簡化問題,可以讓B0=0,由此可以得到量子態的運動方程:

(6)式表明,量子態的運動可以完全由外場的3 個場分量控制,該外場可以是一種虛擬的物理驅動場,不同的控制方式所對應的驅動場的形式不盡相同.在考慮一個自旋為 1/2 的粒子在磁場中運動的物理模型時,這里的驅動場就是一個真實的磁場,通過調節磁場的3 個場分量,從而控制量子態的轉變.磁場的3 個場分量可以由一個磁偶極子提供,通過控制磁偶極子的轉動從而控制磁場的3 個分量.對于這樣一個系統,驅動場可以寫為如下的形式:

其中M是自旋粒子的磁矩,Bd是磁偶極子產生的磁場.接下來展示的是如何通過磁偶極子的旋轉使得量子態由初始態到達我們所需的目標態.

2.2 磁偶極場

在由磁偶極子驅動的量子比特系統中,磁偶極子通?？梢杂勺詈唵蔚沫h形電流構成,其所產生的磁場可以表示為如下形式:

其中μ0是真空磁導率,m是磁偶極子的磁矩,和r分別是單位向量以及偶極子與量子比特的距離.

磁偶極子可以應用在多種量子比特系統中,通過改變它的位置、方向和大小來實現對量子比特的控制.為了方便討論,假定磁偶極子與量子比特沿y軸放置,其在量子比特所在位置產生的磁場可以表示為

其中θ和?分別是磁偶極子磁矩的極角和方位角.自旋量子比特在磁場中的運動是由泡利矩陣和外部磁場的相互作用決定.泡利矩陣描述了自旋在不同方向上的投影,并與外部磁場相互作用,產生能量差異.在外部磁場的作用下,自旋會繞著磁場方向發生進動,因此這就要求初始時刻和終止時刻的磁場方向分別與量子比特的初態和末態相平行.其對應關系如下:

在選定量子比特的初態和末態后即可求得所對應的初始時刻和終止時刻的磁場方向.若要使得量子態在偶極場的控制下精確到達目標終態而不發生較大的進動,就要求偶極子在開始和結束短暫時間內有較小的變化速度,且滿足

由此,可以構造出一條磁偶極子的變化軌跡:

其中Ts=tf-ti表示初始時刻到終止時刻的總時間.磁矩在初始時刻的方向為 (θi,?i),在經過時間Ts=tf-ti后到達 (θf,?f).

2.3 量子調控過程的優化

由于量子比特在短時間內容易發生退相干,這就要求提高量子態的演化速度,因此需要對磁偶極子的運動軌跡進行優化.可以將上述偶極子的變化形式作傅里葉變換,由此可以得到磁場的傅里葉分量形式:

在得到磁場的傅里葉分量后,偶極子的磁場形式可以近似為

其中N是傅里葉分量的數量,由于較多的傅里葉分量容易在實驗上造成困難,因此需要選取盡可能少的傅里葉分量以達到量子比特的高保真度.

將磁場進行傅里葉變換后,得到的幾個傅里葉分量用以確定初始磁場,然后通過蒙特卡羅優化算法在傅里葉分量的系數Bj,n上加上一個隨機變量,其隨機性滿足正態分布,以此來尋找合適的路徑使得初始量子態在短時間內高保真度的到達目標態.在這里實際終態和目標終態的重疊度是衡量量子保真度的依據,因此保真度的定義可以表示為

其中Ω(tf)是實際量子終態,Ωf是目標終態.Ω(tf)和Ωf的內積的具體形式為

2.4 環境熱噪聲的影響

上述過程均發生在無環境噪聲的理想情況下,而在實際的量子比特調控過程中不可避免的存在環境噪聲,量子比特易與環境發生耦合,引起量子退相干從而影響量子比特的保真度,因此,在通過偶極場調控量子比特的過程中,需要考慮環境噪聲的影響.這里定義量子態的態矢量X≡(α,β)?,通過引入系統勢能

在無噪聲的情況下,將運動方程進行隨機動力學結構分解[33],量子態的演化方程可以改寫為

其中?X=(?α,?β)?,A是一個 2×2 的反對稱矩陣,具體形式為

它是一個橫向矩陣,相當于電磁場中的洛倫茲力.

在實際情況中,環境噪聲總是存在的.由溫度引起的熱噪聲會使得控制場B(t) 具有一個高斯漲落,即

其中ξ(t) 是一個三分量的隨機場,表示隨機熱噪聲[34].根據愛因斯坦關系,熱噪聲的強度與系統的溫度成正比.在經典極限下,熱噪聲可以被建模為高斯白噪聲,其方差具有馬爾可夫性:

其中δ(t)是狄拉克函數,ηj是黏滯系數,表示熱接觸力的強度,kB是玻爾茲曼常數,T是環境的溫度.因此,隨機場ξ(t) 的存在相當于在方程(19)的右邊增加了一項隨機噪聲矢量,具體形式為

其方差可以寫為

其中,S是一個對稱半正定矩的 2×2 矩陣,對應于隨機動力學結構分解中的耗散矩陣.其具體形式如下:

對于典型的開放系統,根據久保-愛因斯坦漲落耗散定理(Kubo-Einstein’s fluctuation-dissipation theorem)可知漲落總是伴隨著耗散[35].因此可以在方程(19)的左邊增加一項進行修正.在環境的影響下,確定性的量子態演化方程(19)變成如下含有隨機項的隨機運動方程:

此方程即為在噪聲環境下量子態演化的隨機動力學方程的形式.對于該方法的詳細討論可以參考Ao等[33,36]的工作.以費米環境(Fermionic environment)中的歐姆熱庫(Ohmic bath)為例[37,38],歐姆熱庫可以表示為如下形式:

其中ωc是其譜函數的一些截斷值,而環境的影響則可以歸類到這樣一組耗散譜中,由于熱噪聲引起的熱漲落,因此需要引入一個“絕熱項”,于是將方程(18)進一步修正,其系統勢能可寫為

這是為了抵消整體相位的絕熱效應,因此方程(26)可變為

2.5 熱噪聲環境下的量子調控優化

由于環境噪聲的存在,量子態在演化的過程中,實際終態和目標終態會存在一個由漲落造成的偏差,其具體形式可以表示為

其中D是擴散矩陣,它與摩擦矩陣S有關,可表示為

W是一個權重矩陣,其與終態Ω(tf)的極角α和方位角β有關,可以表示為

在噪聲環境下,需要對無噪聲環境下量子比特的保真度公式(16)進行修正,可以定義為

3 結果

本節主要展示的是利用偶極場控制量子比特,分別在無噪聲和有熱噪聲的情況下對量子比特的保真度進行優化.通過數值計算得到量子態的演化路徑,并引入布洛赫球,直觀展現了量子態的演化過程.

圖1 所示是在無噪聲環境下量子態不同的演化軌跡.在不考慮噪聲的環境下,自旋與磁場相偏置,引起自旋粒子發生拉莫爾(Lamor)進動,其演化時間t=?/(MBd) ,由普朗克常數 ?、自旋粒子的磁偶極矩M以及磁場強度Bd共同決定,表明Bd=1 T 時,時間t的尺度是 10-11s 的量級[39],其中M～10-4eV/T.磁場強度Bd可以通過調節磁偶極子的磁矩大小m和其與量子比特的距離r確定.實驗中控制量子比特的磁場大小可以根據具體的實驗需求而變化.自旋量子比特通常所需的磁場強度在幾百微特斯拉到幾特斯拉的范圍,本文選取的磁場強度Bd=0.4 T,在實驗允許的合理范圍之內[40].

圖1 在無噪聲環境下,初態為 (π/2,π/6) ,末態為(π,π/3)的量子態在布洛赫球上不同的演化軌跡,其保真度都為1Fig.1.In the noiseless environment,the quantum states with initial state (π/2,π/6) and final state (π,π/3) have different evolutionary trajectora on the Bloch sphere.They all have a fidelity of 1.

首先設置量子態的初態 (αi,βi)和終態 (αf,βf),從而確定磁偶極子的磁矩初始方向 (θi,?i) 和終止方向 (θf,?f) .這里設置的初態為 (π/2,π/6),末態為(π,π/3),在數值計算中,令 ?=1 ,Ts=0.5 .利用方程(12)和方程(13)得到磁偶極子的初始軌跡,接下來通過方程(15)和方程(16)對磁場的形式進行傅里葉變換,得到磁場的傅里葉分量的形式,這里選取傅里葉分量N=2,將其作為初值.將最終得到的磁場形式代入量子態的運動方程(6),利用歐拉法數值求解出每一時刻的量子態,得到量子態的演化路徑,并通過(17)式計算實際終態和目標終態的重疊度來衡量無噪聲環境下量子比特的保真度.

接著通過蒙特卡羅優化算法,對磁場的傅里葉分量進行優化,以此來提高量子比特的保真度.最終通過優化得到圖1 中3 條量子態演化軌跡其量子比特保真度都為1.表明在不考慮噪聲的情況下,利用偶極場驅動量子比特的方式可以100%的控制量子態到達目標態.

在考慮熱噪聲的情況下,量子態的演化時間受普朗克常數 ? 和溫度TB的影響,對于這樣一個系統,Bd=1 T 所對應的溫度TB=1 K,時間t的尺度也是 ?/(kBTB)～10-11s 的量級.在數值計算中,令 ?=1 且 ??η,要求黏滯系數η的值很小來實現較長的相干時間,在此令ηx=0.08,ηy=0.01,ηz=0.01.kB=1 ,環境溫度T=0.1 K,Ts=0.5 .在熱噪聲環境的影響下,其控制方式與在無噪聲環境下相同,所不同的是量子態演化方程變成如下含有隨機項的隨機運動方程(26),熱噪聲所帶來的熱漲落會使得實際終態和目標終態存在偏差,利用(34)式可以計算出噪聲環境不同軌跡對量子保真度的影響.通過改變磁場的傅里葉分量Bj,n來尋找量子態的不同運動軌跡,以此降低熱噪聲影響,從而提高量子比特在熱噪聲環境下的保真度.

設置的初態為 (π/2,π/6) ,末態為 (π,π/3),利用蒙特卡羅優化算法對磁場的傅里葉分量進行優化,這里選取傅里葉分量N=2,通過求解量子態的運動方程,從而得到在熱噪聲環境下量子態不同的演化軌跡如圖2 所示,通過方程(34)可以看到,由于熱噪聲的影響,存在一個指數形式漲落項,即熱漲落會造成實際終態和目標終態存在偏差,使得量子態不能100%的到達目標態.這3 條演化軌跡的保真度分別為0.9996,0.9995 和0.9996.

圖2 噪聲環境下,初態為 (π/2,π/6) ,末態為 (π,π/3) 的量子態在布洛赫球上不同的演化軌跡,其保真度分別為實線:0.9996;點實線: 0.9995;點線: 0.9996Fig.2.In the noisy environment,the quantum states of the initial state (π/2,π/6) and the final state (π,π/3) have different evolution tracks on the Bloch sphere.Their fidelity is respectively solid line: 0.9996;dot solid line: 0.9995;dot line: 0.9996.

為說明該方法的普適性,選取了不同的初態對量子比特進行調控,如圖3 所示是初態為 (π/2,π/6),末態為 (π,π/3) 時量子態的不同演化路徑,其保真度分別為0.9988,0.9996 和0.9986.

圖3 噪聲環境下,初態為 (π/2,π/6) ,末態為 (π,π/3) 的量子態在布洛赫球上不同的演化軌跡,其保真度分別為點線:0.9988;實線: 0.9996;點實線: 0.9986Fig.3.In the noisy environment,the quantum states of the initial state (π/2,π/6) and the final state (π,π/3) have different evolution tracks on the Bloch sphere.Their fidelity is respectively dot line: 0.9988;solid line: 0.9996;dot solid line: 0.9986.

4 討論

本文主要研究了偶極場驅動下的量子比特動力學問題.在無噪聲環境下,通過磁偶極子轉動所產生的偶極場具有3 個方向的分量,而不僅僅只限于一個平面,根據數值計算的結果表明這種控制方式可以更加靈活的控制量子態并避免系統發生非絕熱躍遷,從而在短時間內使得量子態100%到達目標態.

在考慮噪聲環境的情況下,采用隨機動力學結構分解研究了熱噪聲環境下的量子比特控制的優化問題,并利用久保-愛因斯坦漲落耗散定理構造了噪聲環境下量子態演化的隨機動力學方程,提出了一種在熱噪聲環境下量子控制的優化方案,以此來提高量子比特的保真度,最后通過布洛赫球可視化的展現了量子態的演化軌跡.根據數值計算的結果可以看出熱噪聲帶來的熱漲落項使得量子比特的實際終態和目標終態存在偏差,成為影響保真度的主要因素,而熱漲落的大小與溫度以及量子態的運動軌跡有關,因此可以通過降低溫度以及優化量子態的運動軌跡來提高量子比特的保真度.

本文所計算的溫度為100 mK,在高溫條件下,熱漲落會更加顯著,熱噪聲對量子比特的影響可能會增大.通過蒙特卡羅優化算法可以對量子態的演化軌跡進行優化從而降低熱噪聲對量子比特的保真度的影響.該算法具有跳出局部極小值的能力,可以全局搜索最優解,并提供相對較好的性能.在高溫條件下,蒙特卡羅優化算法仍然適用,對于提高量子比特的工作溫度具有指導意義.在低溫條件下,熱噪聲的影響相對較小,量子噪聲的影響較為顯著,我們將在未來的工作中考慮這一影響.

該方案可以應用于多種通過磁場控制的量子比特系統中.例如,在半導體量子比特[41]中,可以通過在量子點或量子阱附近引入一個磁性粒子或使用一個納米磁鐵控制磁場.通過對磁場的精細控制,可以實現半導體量子比特的單比特甚至多比特操作.磁偶極場的控制也可以通過外加靜態磁場和微波控制磁場等方式實現.在N-V 色心量子比特[42]中,通過外加一個外加靜態磁場,可以讓量子比特的自旋軸沿著磁場方向排列,然后通過施加微波來控制量子比特的狀態.這些控制方式可能等效為一種偶極場,偶極場是一種真實存在的物理約束場,其形式比較直觀,在實驗上比較利于設計.

該方法也可以用來解決低溫下量子有色噪聲的相關問題,通過Caldeira 和 Leggett[43]使用過的影響泛函(influence function)[44]可以驗證該方法的有效性.隨著不斷發展的量子控制技術,本工作在將來或許有更多的應用場景,也可以推廣到多量子比特系統中.

特別感謝上海納諾巴伯納米科技有限公司對本研究的幫助與支持.