自旋簡(jiǎn)并節(jié)線半金屬中表面態(tài)誘導(dǎo)的自旋相關(guān)散射*

劉力碩 陳偉

(南京大學(xué)物理學(xué)院,固體微結(jié)構(gòu)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,人工微結(jié)構(gòu)科學(xué)與技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210093)

拓?fù)涔?jié)線半金屬指的是電子的導(dǎo)帶和價(jià)帶在倒空間相交于一維的環(huán)或者線,其體能帶拓?fù)潴w現(xiàn)在節(jié)線攜帶π 的貝里相位.根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)原理,在系統(tǒng)邊界存在色散較弱的表面態(tài),由節(jié)線在表面布里淵區(qū)的投影所包圍,稱為鼓面態(tài).大部分節(jié)線半金屬中,自旋-軌道耦合效應(yīng)較弱,因此在單粒子圖像下表面態(tài)不存在自旋構(gòu)型.與此同時(shí),鼓面態(tài)特有的弱散射也使得其中的電子間相互作用效應(yīng)變得顯著,并誘發(fā)鐵磁失穩(wěn)使得自旋簡(jiǎn)并的表面態(tài)發(fā)生自旋劈裂.本文考慮自旋簡(jiǎn)并的節(jié)線半金屬中鐵磁表面態(tài)導(dǎo)致的自旋相關(guān)散射,發(fā)現(xiàn)自旋劈裂的兩個(gè)鼓面態(tài)均會(huì)導(dǎo)致共振的自旋翻轉(zhuǎn)反射,該物理過(guò)程體現(xiàn)為自旋電導(dǎo)譜中的雙峰結(jié)構(gòu).具體地,分別用散射矩陣和格林函數(shù)理論處理了普通金屬和節(jié)線半金屬異質(zhì)結(jié)中表面態(tài)導(dǎo)致的散射問(wèn)題,得到一致的結(jié)論.本文的工作指出了自旋簡(jiǎn)并節(jié)線半金屬表面態(tài)依舊可以導(dǎo)致自旋相關(guān)輸運(yùn),這為其輸運(yùn)探測(cè)和在自旋電子中的應(yīng)用提供了新的思路.

1 引言

近十幾年,拓?fù)洳牧?包括拓?fù)浣^緣體、拓?fù)涑瑢?dǎo)體和拓?fù)浒虢饘?吸引了廣泛的研究興趣[1,2].這一方面是由于對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)的刻畫(huà)超越了傳統(tǒng)的朗道相變理論,伴隨著全新的物理現(xiàn)象;另一方面,拓?fù)洳牧系男缕嫖锢硖匦砸渤尸F(xiàn)出若干重要的應(yīng)用前景,如拓?fù)淞孔佑?jì)算、低功耗電子器件等[3].朗道相變理論使用不同的局域序參量刻畫(huà)不同的物相,而不同的序參量對(duì)應(yīng)著不同的對(duì)稱性破缺.隨著整數(shù)(分?jǐn)?shù))量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)[4,5],大家意識(shí)到存在無(wú)法用局域序參量描述的物質(zhì)相,與之對(duì)應(yīng)的,相變過(guò)程中也不伴隨對(duì)稱性的破缺.新的相由封閉流形的全局性質(zhì)來(lái)區(qū)分,具體體現(xiàn)在拓?fù)洳蛔兞康娜≈?只要流形的拓?fù)湫再|(zhì)不變,該拓?fù)湎嘁膊粫?huì)改變,這預(yù)示著材料的拓?fù)湎嗑哂锌刮_的特性.拓?fù)洳牧纤幍耐獠凯h(huán)境——真空,可以被視作一個(gè)拓?fù)淦接沟慕^緣體,而材料和真空具有不同的拓?fù)洳蛔兞?不能連續(xù)過(guò)渡到彼此,因此,在它們的界面通常會(huì)存在奇異的拓?fù)浔砻?邊緣)態(tài).這是拓?fù)湮飸B(tài)的一個(gè)普遍特征,稱為“體邊對(duì)應(yīng)”原理,即“體”態(tài)具有非平庸拓?fù)?則“邊界”上就會(huì)出現(xiàn)零能隙的表面態(tài)[6].由于邊界態(tài)的出現(xiàn)與材料的拓?fù)湫再|(zhì)直接關(guān)聯(lián),這些態(tài)具有非常強(qiáng)的魯棒性,電子在其中的傳輸也能展現(xiàn)出低耗散的特征,有望被應(yīng)用于低功耗電子器件.此外,由于表面態(tài)電子與體電子之間的關(guān)聯(lián),材料會(huì)演生出更豐富的等離激元,有望用于高熱穩(wěn)定性的等離激元器件、光學(xué)器件[7,8].

根據(jù)材料導(dǎo)帶、價(jià)帶是否簡(jiǎn)并,非超導(dǎo)拓?fù)洳牧线€可細(xì)分為拓?fù)浣^緣體[1]和拓?fù)浒虢饘賉9].其中,拓?fù)浒虢饘龠€可以根據(jù)導(dǎo)帶、價(jià)帶的簡(jiǎn)并構(gòu)型分為狄拉克半金屬[10]、外爾半金屬[11,12]、節(jié)線半金屬[13]等.狄拉克半金屬和外爾半金屬的導(dǎo)帶、價(jià)帶在布里淵區(qū)的一些孤立點(diǎn)發(fā)生簡(jiǎn)并,且在簡(jiǎn)并點(diǎn)附近電子能量具有線性色散關(guān)系;節(jié)線半金屬的簡(jiǎn)并點(diǎn)形成一維的環(huán)或者線,或者其他更復(fù)雜的一維構(gòu)型.這些拓?fù)浒虢饘俚哪軒負(fù)?通常可以通過(guò)“降維”法來(lái)理解,等價(jià)為包含參數(shù)(動(dòng)量)的低維拓?fù)浣^緣體.根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)原理,這些拓?fù)浒虢饘僖鄷?huì)在其表面形成奇異的拓?fù)浔砻鎽B(tài),如外爾半金屬中的費(fèi)米弧態(tài).雖然拓?fù)浒虢饘俚谋砻鎽B(tài)在數(shù)學(xué)上可以利用帶參數(shù)的拓?fù)浣^緣體模型進(jìn)行理解,但真實(shí)的拓?fù)浒虢饘俨牧闲再|(zhì)與拓?fù)浣^緣體有本質(zhì)的區(qū)別,這就是在費(fèi)米能處體態(tài)和表面態(tài)是共存的.二者的共存或可帶來(lái)更為豐富的物理效應(yīng),但同時(shí)也為拓?fù)浔砻鎽B(tài)的探測(cè)帶來(lái)了困難.

本文主要關(guān)注節(jié)線半金屬表面態(tài)的性質(zhì)及其探測(cè).考慮最典型的節(jié)線半金屬,其體能帶簡(jiǎn)并發(fā)生在一個(gè)環(huán)上.相應(yīng)地,在其表面布里淵區(qū)存在拓?fù)浔砻鎽B(tài),范圍為節(jié)線環(huán)的投影面積,被形象地稱為“鼓面態(tài)”[14].對(duì)鼓面態(tài)的探測(cè)是驗(yàn)證節(jié)線半金屬相的直接手段.目前,被廣泛用于探測(cè)拓?fù)洳牧想娮有再|(zhì)的實(shí)驗(yàn)方法包括角分辨光電子譜(ARPES)[15-17]和量子振蕩[18,19].在ARPES 實(shí)驗(yàn)中,表面電子、體電子會(huì)同時(shí)被光子激發(fā),因此表面態(tài)的信號(hào)與體信號(hào)混合;在量子振蕩實(shí)驗(yàn)中,參與物理過(guò)程的主要是體電子,因此很難觀察到表面態(tài)的信號(hào).通過(guò)在材料表面構(gòu)筑輸運(yùn)器件的方式,表面態(tài)可以直接通過(guò)輸運(yùn)方式被探測(cè).在具有強(qiáng)自旋-軌道耦合的節(jié)線半金屬中,鼓面態(tài)可以發(fā)生自旋極化.若入射電子平行于界面的動(dòng)量位于節(jié)線環(huán)投影內(nèi),并且其能量低于相應(yīng)通道的能隙,則電子會(huì)被反射回去;有趣的是,由于自旋-軌道耦合導(dǎo)致的表面態(tài)自旋極化,電子被反射時(shí)會(huì)伴隨自旋翻轉(zhuǎn).當(dāng)界面勢(shì)壘較大時(shí),電子會(huì)發(fā)生共振自旋翻轉(zhuǎn)反射,且該共振條件與決定節(jié)線半金屬表面態(tài)的量子化條件一致[20].這說(shuō)明共振自旋翻轉(zhuǎn)反射反映了節(jié)線半金屬表面態(tài)信息.在這一機(jī)制下,外接電極與表面態(tài)擁有最強(qiáng)的耦合,可以有效提取出鼓面態(tài)的信息,反映為自旋電導(dǎo)或者普通電導(dǎo)譜中的單一共振峰結(jié)構(gòu).但大多數(shù)節(jié)線半金屬的自旋-軌道耦合很弱,在不考慮電子間相互作用時(shí)鼓面態(tài)具有自旋簡(jiǎn)并,不會(huì)誘導(dǎo)出自旋翻轉(zhuǎn)反射,這就限制了以上輸運(yùn)方案的應(yīng)用.

注意到,節(jié)線半金屬表面態(tài)的一大特點(diǎn)是具有較弱的色散,與之相對(duì)應(yīng)的是增強(qiáng)的電子間庫(kù)侖相互作用效應(yīng).本文考慮庫(kù)侖相互作用導(dǎo)致鼓面態(tài)中的斯通納(Stoner)鐵磁失穩(wěn),會(huì)在系統(tǒng)表面形成鐵磁序[21,22].這一表面鐵磁序?qū)?dǎo)致鼓面態(tài)發(fā)生自旋劈裂(見(jiàn)圖1),變?yōu)閮山M自旋沿著相反方向極化的態(tài).由于表面態(tài)在電子間相互作用下獲得了自旋極化,且相反極化方向的態(tài)在能量上可區(qū)分,因此它亦可以導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn)反射.與具有自旋軌道耦合的節(jié)線半金屬中單一自旋極化表面態(tài)不同的是,這里存在兩組自旋(反向)極化的表面態(tài).可以預(yù)期,自旋相關(guān)輸運(yùn)現(xiàn)象將由它們的共同作用決定.本文建立了描述普通金屬-節(jié)線半金屬異質(zhì)結(jié)的有效模型,并通過(guò)非對(duì)角界面散射勢(shì)來(lái)模擬表面鐵磁序的作用.結(jié)果表明,自旋極化的兩組鼓面態(tài)會(huì)導(dǎo)致共振自旋翻轉(zhuǎn)反射,這一效應(yīng)表現(xiàn)為自旋電導(dǎo)譜中的雙峰結(jié)構(gòu),分別對(duì)應(yīng)自旋劈裂的兩組鼓面態(tài)的貢獻(xiàn).進(jìn)一步,通過(guò)格林函數(shù)方法證實(shí)了這一自旋相關(guān)散射過(guò)程確實(shí)來(lái)自于自旋極化的表面態(tài).當(dāng)鼓面態(tài)存在有限色散時(shí),原本自旋電導(dǎo)譜中的關(guān)于零能量對(duì)稱的雙峰結(jié)構(gòu)將變得不對(duì)稱,但雙峰的基本形態(tài)依舊保持.本研究為具有自旋簡(jiǎn)并的節(jié)線半金屬中鼓面態(tài)的探測(cè)提供了理論方案.

圖1 節(jié)線半金屬鼓面態(tài)自旋劈裂示意圖.綠色實(shí)線表示節(jié)線環(huán),餅型圓盤表示劈裂后的鼓面態(tài)色散關(guān)系Fig.1.Schematic diagram for the spin splitting of the drumheadlike surface states.The green solid line represents the nodal loop,and the pie-shaped disk represents the dispersion relationship of the spin-splitting drumheadlike surface states.

2 理論模型和方法

節(jié)線半金屬可由如下低能有效模型進(jìn)行描述,它的哈密頓量為[23]

根據(jù)巡游磁性的斯通納理論,在零溫時(shí)系統(tǒng)自發(fā)形成鐵磁序的條件為Uρ(EF)＞1,其中U為短程庫(kù)侖相互作用強(qiáng)度,ρ(EF) 為系統(tǒng)費(fèi)米面處態(tài)密度[26].本文假設(shè)體能帶處于半填滿狀態(tài),因此態(tài)密度由鼓面態(tài)貢獻(xiàn).由于鼓面態(tài)色散很弱,費(fèi)米面處具有很大的態(tài)密度,因此容易發(fā)生鐵磁失穩(wěn)形成表面鐵磁序[21,27].該鐵磁序會(huì)在表面處產(chǎn)生一個(gè)有效的塞曼場(chǎng),使簡(jiǎn)并的鼓面態(tài)發(fā)生自旋劈裂[21,27].值得注意的是,表面鐵磁序所致的鼓面態(tài)自旋劈裂大小是依賴于面內(nèi)動(dòng)量k//的,可以理解為一種自旋依賴的色散.其原因在于對(duì)不同的k//,表面態(tài)向體內(nèi)的延展深度是不同的.k//越是靠近節(jié)線,則該通道中能隙Δ(k//) 越小,表面態(tài)往體里擴(kuò)展得也就越深,感受到表面塞曼場(chǎng)的有效作用越弱.因此鼓面態(tài)的自旋劈裂如圖1 所示,越是遠(yuǎn)離節(jié)線自旋劈裂越強(qiáng),在節(jié)線處表面態(tài)恢復(fù)簡(jiǎn)并.

接下來(lái),考慮一個(gè)普通金屬-節(jié)線半金屬異質(zhì)結(jié)體系,界面處包含鼓面態(tài),設(shè)界面在z=0 處.電子在該界面發(fā)生的散射應(yīng)當(dāng)包含自旋劈裂鼓面態(tài)的信息.假設(shè)界面足夠平滑,使得面內(nèi)動(dòng)量k//在散射中守恒,則散射問(wèn)題也可以降維成一系列k//通道中的一維問(wèn)題.可以在實(shí)空間寫(xiě)出整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量,以k//為模型參數(shù),它具有以下形式:

其中,C(z)=Cθ(-z) 是有效質(zhì)量相關(guān)參數(shù) (θ為階躍函數(shù)),μ(z,k//)=(μ0-C|k//|2)θ(-z) 是有效化學(xué)勢(shì),這兩項(xiàng)給出z＜0 區(qū)域普通金屬的哈密頓量,普通金屬哈密頓量在贗自旋τ和真自旋σ空間均是對(duì)角的;λ(z)=λθ(z),B(z)=Bθ(z),{λ(z),?z}是反對(duì)易子,這3 項(xiàng)給出 (z＞0) 區(qū)域節(jié)線半金屬的哈密頓量;Dδ(z)σx代表界面處x方向的塞曼場(chǎng),唯象地刻畫(huà)表面鐵磁序.這里假設(shè)塞曼場(chǎng)方向沿著x方向是不失一般性的,如果同時(shí)旋轉(zhuǎn)塞曼場(chǎng)的方向以及入射電子自旋的極化方向,將得到不變的結(jié)果.上述參數(shù)都隨空間坐標(biāo)變化,為了使哈密頓量滿足厄米性,(2)式中所有項(xiàng)都做了對(duì)稱化處理[28,29].由于本文考慮的是自旋劈裂后的散射過(guò)程,所以上述哈密頓量的旋量部分為贗自旋與自旋的直積.這里有必要對(duì)上述模型做一些額外的說(shuō)明: 首先,在該異質(zhì)結(jié)界面處,鼓面態(tài)天然存在,隧穿極限時(shí)節(jié)線半金屬表面所處的物理?xiàng)l件與真空界面并無(wú)二致;其次,這里的Dδ(z)σx勢(shì)描述了局域在表面的塞曼場(chǎng),它可以導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn),并疊加上鼓面態(tài)的作用產(chǎn)生共振效應(yīng),該形式使得表面鐵磁序的作用可以被方便地寫(xiě)進(jìn)邊界條件.

求解該異質(zhì)結(jié)中的散射問(wèn)題需要尋找合適的邊界條件,從而使整個(gè)散射過(guò)程滿足流守恒條件.由于哈密頓量中存在狄拉克型界面勢(shì)和坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)將在界面處發(fā)生突變.將哈密頓量在界面處積分,得到波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的匹配條件;同時(shí),波函數(shù)還需要滿足連續(xù)性條件,因此可以歸納邊界條件如下:

接下來(lái)考慮散射問(wèn)題,假設(shè)自旋向上(沿z方向極化),平行動(dòng)量滿足|k//|＜k0的電子從普通金屬入射到異質(zhì)結(jié)界面,電子動(dòng)量方向與z軸夾角為θ.此處為了數(shù)學(xué)上方便處理,在普通金屬中依舊保留了贗自旋自由度,但最終的物理結(jié)果顯然與該贗自旋是無(wú)關(guān)的.如此,波函數(shù)就包含4 個(gè)分量,寫(xiě)為,下標(biāo) 1,2 分別代表贗自旋的兩個(gè)分量,上標(biāo)↑,↓代表自旋的方向.考慮以分量和能量E從普通金屬中入射的電子,相應(yīng)的散射態(tài)波函數(shù)為

自旋翻轉(zhuǎn)反射可以通過(guò)自旋電導(dǎo)來(lái)反映,它可以通過(guò)蘭道爾(Landauer)公式表達(dá)為反射系數(shù)的函數(shù).對(duì)給定的導(dǎo)電通道k//,自旋流(I↑-I↓)對(duì)應(yīng)的微分電導(dǎo)表達(dá)式為

其中,Rc=|rc1|2+|rc2|2為自旋守恒的反射概率,Rf=|rf1|2+|rf2|2為自旋翻轉(zhuǎn)反射概率,這里的求和相當(dāng)于對(duì)贗自旋部分取跡,因?yàn)檫@部分物理自由度在普通金屬中并無(wú)真實(shí)物理對(duì)應(yīng).注意到,自旋守恒的反射貢獻(xiàn)與入射電子相反的自旋流,而自旋翻轉(zhuǎn)反射電子貢獻(xiàn)與入射電子相同的自旋流(速度、自旋同時(shí)反號(hào)).類似地,電流I=I↑+I↓對(duì)應(yīng)的微分電導(dǎo)為

兩種反射均貢獻(xiàn)相反的電荷流.

每個(gè)一維導(dǎo)電通道都對(duì)自旋輸運(yùn)有貢獻(xiàn),因此系統(tǒng)的自旋電導(dǎo)需要對(duì)所有k//通道求和,這里考慮主要貢獻(xiàn)來(lái)自節(jié)線環(huán)內(nèi)部:

其中,A為金屬-節(jié)線半金屬界面的面積.將表達(dá)式由動(dòng)量空間的直角坐標(biāo)系變換到極坐標(biāo)系,自旋電導(dǎo)的表達(dá)式改寫(xiě)為

3 結(jié)果與討論

這里主要關(guān)注自旋翻轉(zhuǎn)反射發(fā)生的概率Rf(E,θ)隨入射能量的變化,不同入射角θ下的結(jié)果如圖2 所示.可以看到,結(jié)果具有兩個(gè)主要特征:首先,對(duì)所有入射角(通道),自旋翻轉(zhuǎn)反射均呈現(xiàn)出雙共振峰的結(jié)構(gòu);其次,對(duì)不同入射角,雙峰的位置是不同的.雙共振峰的結(jié)構(gòu)與鼓面態(tài)的自旋劈裂圖像是一致的,沿著x方向相反極化的鼓面態(tài),均可以導(dǎo)致沿著z方向自旋極化的入射電子發(fā)生自旋翻轉(zhuǎn)反射,但共振能級(jí)關(guān)于零能量對(duì)稱(見(jiàn)圖1).而對(duì)不同的入射角,我們知道鼓面態(tài)自旋劈裂的大小是不同的,越是靠近節(jié)線的通道,能量劈裂越小,因此共振峰也就越接近,如圖2 所示.若在一維有效模型中添加額外的異質(zhì)結(jié)界面勢(shì)壘,這將破壞體系的手征對(duì)稱性.此時(shí),自旋翻轉(zhuǎn)反射的雙共振峰結(jié)構(gòu)依然存在但不再對(duì)稱.因此,唯象地引入界面非對(duì)角散射勢(shì)D確實(shí)可以對(duì)表面鐵磁序?qū)е碌墓舱褡孕D(zhuǎn)反射進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的描述,并給出定性正確的結(jié)論.這里非對(duì)角散射勢(shì)的作用分為兩部分,一部分為表面塞曼場(chǎng)的作用,一部分為界面勢(shì)壘的作用.當(dāng)然,這種簡(jiǎn)化的描述也有它的不足之處.例如,圖2 中的共振峰處散射概率并不能達(dá)到100%,共振峰隨著角度的展寬變化也不一定有真實(shí)的物理來(lái)源.要嚴(yán)格處理該問(wèn)題,需要首先自洽求解z方向空間分辨的鐵磁序,并用相應(yīng)的空間分辨塞曼場(chǎng)代入模型中進(jìn)行計(jì)算,我們留作今后進(jìn)一步討論.

圖2 電子自旋翻轉(zhuǎn)反射與能量的依賴關(guān)系.θ 為入射電子與z 方向夾角,Δ0=Δ(k//=0) 是電子垂直入射時(shí)的有效能隙.相關(guān)參數(shù)取 B=C=1 eV·nm2,λ=0.01 eV·nm,|kF|=1.1k0=1.54 nm-1,D=3 eVFig.2.Probability of electron spin-flipped reflection Rf vs.E for different angles of incidence θ (relative to z axis).Δ0 is the effective energy gap when θ is zero.Relevant parameters take: B=C=1 eV·nm2,λ=0.01 eV·nm,|kF|=1.1k0=1.54 nm-1,D=3 eV .

自旋極化鼓面態(tài)導(dǎo)致共振自旋翻轉(zhuǎn)反射這一結(jié)果,來(lái)源于量子力學(xué)中共振條件與束縛態(tài)形成條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系[20].這一普遍聯(lián)系也可以通過(guò)隧穿哈密頓量來(lái)進(jìn)行刻畫(huà).假設(shè)k//通道中的表面態(tài)發(fā)生自旋劈裂后,能量分別為E+、E-,且E+=-E-.劈裂后鼓面態(tài)波函數(shù)的空間部分為,該波函數(shù)向材料體內(nèi)衰減.假設(shè)鼓面態(tài)自旋沿x方向極化,則E±對(duì)應(yīng)的自旋旋量為,相應(yīng)地,鼓面態(tài)波函數(shù)分別為.定義自旋劈裂表面態(tài)的費(fèi)米子算符為γ±(k//),在低能下,系統(tǒng)費(fèi)米子算符可以用表面態(tài)算符表示為

普通金屬作為電極,其哈密頓量為

其中能量為εk=C|k|2-μ0.金屬電極直接與材料表面耦合,因此能最大程度地感受到表面態(tài)的效應(yīng).普通金屬與節(jié)線半金屬耦合的隧穿哈密頓量可以寫(xiě)為

其中tk為耦合強(qiáng)度.低能下,普通金屬僅耦合表面態(tài)自由度,代入(10)式,隧穿哈密頓量約化為

為了描述表面態(tài)導(dǎo)致的自旋翻轉(zhuǎn)反射,先求解表面態(tài)的推遲(R)、超前(A)格林函數(shù):

其中的對(duì)角元表示從自旋極化的表面態(tài)透射到普通金屬又重新透射回原來(lái)的表面態(tài),而非對(duì)角元對(duì)應(yīng)于從某一自旋極化的表面態(tài)透射到普通金屬后被散射回自旋極化相反的另一表面態(tài).

考慮耦合系數(shù)隨著k緩變,并將其視作常數(shù),且自能項(xiàng)實(shí)部是關(guān)于εk的奇函數(shù),這里只取自能虛部并將其記為,并得到相應(yīng)地線寬函數(shù)為

利用非平衡格林函數(shù)理論中計(jì)算散射系數(shù)的公式Rf(E)=Tr[Γ↑GA(E)Γ↓GR(E)][30,31],并代入格林函數(shù)(14)式和線寬函數(shù)(16)式可以求得自旋翻轉(zhuǎn)反射概率為[27]

(17)式的前兩項(xiàng)表現(xiàn)為在表面態(tài)能級(jí)處的洛倫茲型共振峰,最后一項(xiàng)顯示出兩個(gè)能級(jí)之間的相互作用.在隧穿極限Γ→0 下,第二項(xiàng)可以忽略,共振峰嚴(yán)格在表面態(tài)處;隨著普通金屬與節(jié)線半金屬耦合變強(qiáng),兩個(gè)峰逐漸展寬,并相互接近.數(shù)值結(jié)果如圖3 所示,該結(jié)果進(jìn)一步佐證了自旋劈裂的鼓面態(tài)可以導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn)反射的雙共振峰結(jié)構(gòu),與基于界面散射勢(shì)的有效理論有一致的結(jié)論.

圖3 隧穿哈密頓量方法求得的自旋翻轉(zhuǎn)反射系數(shù).相關(guān)參數(shù)取 E-=-E+=8 meV,Γ=0.5,3.0,5.5 meVFig.3.Probability of spin-flipped reflection solved by Green's function as a function of energy with the following parameters: E-=-E+=8 meV,Γ=0.5,3.0,5.5 meV.

真實(shí)的節(jié)線半金屬往往具有多種表面態(tài),包括鼓膜態(tài)(由材料能帶拓?fù)湫再|(zhì)導(dǎo)致)、雜化表面態(tài)(由表面勢(shì)導(dǎo)致)、懸浮表面態(tài)(由非同態(tài)對(duì)稱性在材料表面破缺導(dǎo)致)[8].鼓膜態(tài)與后兩者的區(qū)別主要在于它相較于其他表面態(tài)具有較強(qiáng)的魯棒性,且色散較小,容易發(fā)生鐵磁失穩(wěn).后兩種非拓?fù)浔砻鎽B(tài)受表面勢(shì)影響極大,且具有與體能帶接近的色散強(qiáng)度,能量范圍遠(yuǎn)大于鼓膜態(tài).可以預(yù)期,雜化表面態(tài)和懸浮表面態(tài)雖然位于材料表面,但其表面態(tài)能量范圍很大,不會(huì)像鼓膜態(tài)一樣形成雙峰結(jié)構(gòu),僅能貢獻(xiàn)一均勻背景.

對(duì)自旋電導(dǎo) (8)式和普通電導(dǎo) (9)式的兩個(gè)表達(dá)式做數(shù)值積分,得到圖4 中的結(jié)果.可以看到,在能隙Δ0以內(nèi),普通電導(dǎo)G被強(qiáng)烈抑制,因?yàn)閹缀跛腥肷潆娮佣急环瓷浠仄胀ń饘僦?與此同時(shí),自旋電導(dǎo)表現(xiàn)為關(guān)于零能量對(duì)稱的兩個(gè)峰,這主要是由不同k//通道中發(fā)生的共振自旋翻轉(zhuǎn)反射所貢獻(xiàn).當(dāng)然該雙共振峰結(jié)構(gòu)并沒(méi)有單通道反射系數(shù)那么尖銳,這是由于不同通道的共振能級(jí)有相對(duì)偏移所致,整體抹平了共振效應(yīng).上述結(jié)果基于鼓面態(tài)是完全平的這一假設(shè),而在實(shí)際材料中,節(jié)線半金屬的鼓面態(tài)本身就存在弱的色散(這里指的色散不是表面塞曼場(chǎng)引入的,而是不考慮電子間相互作用時(shí)簡(jiǎn)并表面態(tài)就擁有的).可以預(yù)期的是,鼓面態(tài)本身的色散將打破表面態(tài)關(guān)于零能的對(duì)稱性,因此自旋電導(dǎo)和普通電導(dǎo)亦會(huì)表現(xiàn)出正負(fù)能量不對(duì)稱.這一效應(yīng)可以通過(guò)修改散射系數(shù)的能量依賴關(guān)系看出來(lái).不失一般性,考慮鼓面態(tài)具有一弱的拋物型色散 δE=a(k0-|k//|)2,并且保持在節(jié)線環(huán)邊緣處鼓面態(tài)為零能.假設(shè)鼓面態(tài)對(duì)于零能的偏移很小,其向體內(nèi)衰減長(zhǎng)度幾乎不變,因而表面塞曼場(chǎng)的描述不變.鼓面態(tài)色散導(dǎo)致的效應(yīng)體現(xiàn)在不同的k//通道偏移不同的能量,相應(yīng)地,其散射系數(shù)關(guān)于能量的函數(shù)也發(fā)生偏移.具體地,有Rf(θ,E)→Rf(θ,E-δE)以及Rc(θ,E)→Rc(θ,E-δE) .將代換后的散射系數(shù)重新代入(8)式和(9)式,得到數(shù)值結(jié)果如圖4 所示.可以看到,雙共振峰的結(jié)構(gòu)依舊存在,但兩個(gè)峰的位置不再關(guān)于零能對(duì)稱,高度也不一致.這是由于入射角度θ越小,相應(yīng)的鼓面態(tài)能量與零能偏移越大,同時(shí)自旋翻轉(zhuǎn)反射峰劈裂也越大,二者的效應(yīng)結(jié)合起來(lái)使不同通道的共振峰在零能左側(cè)發(fā)生聚集,而在右側(cè)變得疏散,因此左側(cè)峰變高,右側(cè)峰變低變寬.

圖4 自旋電導(dǎo)、電荷電導(dǎo)與能量的依賴關(guān)系.實(shí)線表示鼓面態(tài)無(wú)色散,虛線表示鼓面態(tài)存在色散.相關(guān)參數(shù)取B=C=1 eV·nm2,λ=0.01 eV·nm,|kF|=1.1k0=1.54 nm-1,D=3 eV,a=2 meV·nm2Fig.4.Spin (charge) conductance as a function of energy with (without) drumheadlike surface states dispersion.Relevant parameters take: B=C=1 eV·nm2,λ=0.01 eV·nm,|kF|=1.1k0=1.54 nm-1,D=3 eV,a=2 meV·nm2.

4 結(jié)論

本文將節(jié)線半金屬表面態(tài)的自旋輸運(yùn)探測(cè)方案拓展到無(wú)自旋-軌道耦合的節(jié)線半金屬中.考慮到鼓面態(tài)具有較弱的色散,電子間相互作用可以誘導(dǎo)出表面鐵磁序,從而導(dǎo)致界面處發(fā)生共振自旋翻轉(zhuǎn)反射.該物理結(jié)果表現(xiàn)為自旋電導(dǎo)譜中的雙共振峰結(jié)構(gòu).結(jié)果表明,在體能帶具有自旋簡(jiǎn)并的節(jié)線半金屬中,同樣可以通過(guò)自旋相關(guān)輸運(yùn)來(lái)對(duì)其表面態(tài)進(jìn)行探測(cè);同時(shí),自旋劈裂的表面態(tài)導(dǎo)致的共振自旋翻轉(zhuǎn)反射,也為在該系統(tǒng)中對(duì)自旋進(jìn)行高效操控提供了可能.