馬約拉納零能模的輸運探測*

徐磊 李沛嶺 呂昭征 沈潔3) 屈凡明3)4) 劉廣同3)4)? 呂力3)4)

1) (中國科學院物理研究所,北京凝聚態物理國家研究中心,北京 100190)

2) (中國科學院大學物理科學學院,北京 100049)

3) (松山湖材料實驗室,東莞 523000)

4) (合肥國家實驗室,合肥 230000)

理論預言拓撲超導體能夠承載服從非阿貝爾統計的伊辛任意子—馬約拉納零能模,因而可用于實現容錯的拓撲量子計算,是凝聚態領域最受關注的前沿課題之一.本文重點回顧了電學輸運手段在研究馬約拉納零能模中的應用.在簡要介紹拓撲超導、馬約拉納零能模和非阿貝爾統計等基本概念的基礎上,對當前實現拓撲超導的多種方案進行了總結.重點介紹了利用低溫輸運手段探測馬約拉納零能模的實驗方法,涵蓋了超導/納米線中廣泛使用的電子隧穿譜、庫侖阻塞譜和非局域電導探測,以及約瑟夫森器件中使用的(逆)交流約瑟夫森效應探測和電流(能量)相位關系的探測.同時,對利用上述測量手段得到的實驗結果可能存在的平庸解釋進行了必要的補充和說明.最后對馬約拉納零能模的輸運探測進行了總結與展望.

1 引言

自1980 年von Klitzing[1]發現整數量子霍爾效應 (integer quantum Hall effect,IQHE) 以來,研究者們在凝聚態物質中陸續發現了多種和能帶拓撲相關的材料體系,包括拓撲絕緣體、拓撲半金屬和拓撲超導體.在這些體系中,體能帶的拓撲性導致在邊界處存在無能隙的邊緣態[2].而在拓撲超導體中,憑借無能隙的邊緣態和超導本身的粒子空穴對稱性,在邊界處 (渦旋中心) 支持一種被稱作馬約拉納零能模 (Majorana zero mode,MZM) 的準粒子,它的反粒子是其自身.MZM 是伊辛 (Ising)任意子,遵從非阿貝爾統計規律,對組成系統的粒子進行交換操作是非對易的,系統的多體狀態強烈地依賴于交換操作過程[3-6].利用MZM 的這一特殊性質,構造受拓撲保護的高容錯的拓撲量子比特成為可能,對其進行編織和融合可以實現構建通用量子計算機的基本量子門,這已經成為實現通用量子計算最有前景的方向之一[7,8].

鑒于利用MZM 構建量子比特的諸多優勢,已經提出多種基于MZM 的編織方案[9-14].在物理上實現拓撲量子比特之前,首先要從實驗上確認MZM的存在.當前正處于實現拓撲量子比特物理的關鍵時期,亟需從實驗上確認MZM 的存在.目前,理論上關于尋找拓撲超導、探測MZM 的方案已經十分成熟[15-32],實驗上在多種體系中的確觀察到了符合理論預期的信號.例如,人們已經在本征拓撲超導體系 (FeSe0.45Te0.55[33-36],CuxBi2Se3[37])、超導/半導體納米線 (InAs[38-46],InSb[47-54])、超導/拓撲絕緣體 (Bi2Te3[55,56],Bi2Se3[57],HgTe[58]) 及磁性原子鏈[59-61]等體系中觀察到了零偏壓電導峰 (zero-bias conductance peak,ZBCP) 以及分數約瑟夫森效應[62-71].盡管如此,上述現象仍然無法排除平庸機制的解釋[72-88].因此,實驗上需要給出更加確鑿的實驗證據,以確保這些信號的確來源于MZM.本文著重回顧了當前利用輸運實驗手段探測MZM的多種實驗方案,包括電子隧穿譜、庫侖阻塞譜、非局域電導譜、(逆)交流約瑟夫森效應探測和電流(能量)相位關系探測方案等,并對其中可能由平庸機制引入的信號進行了必要的討論.

2 拓撲超導和馬約拉納零能模

2.1 拓撲超導

拓撲本身是一個數學概念,它描述的是物體連續形變之后保持不變的性質;在凝聚態物理中,一個系統的哈密頓量在不關閉能隙的情況下發生連續變換,也不改變其“拓撲性質”.這里的“拓撲性質”可以用拓撲不變量來表達,和數學中的拓撲有著相似的理念.譬如在最早發現的IQHE 里,Thouless 等[89]引入TKNN 不變量或陳數精確地表示量子化的霍爾電導,在系統的能隙不發生關閉和重新打開的過程時,這種量子化的電導平臺總是穩定存在的.進一步的研究發現了量子自旋霍爾效應 (quantum spin Hall effect,QSHE) 的存在[90].與IQHE不同的是,它滿足時間反演對稱性,在體系的邊緣存在著兩支反向傳播的螺旋態[91].這一體系由于時間反演對稱性的保護,Kane 和Mele[91]引入了Z2拓撲數.Z2=0 對應常規的絕緣體,Z2=1 則對應具有QSHE 的二維拓撲絕緣體[92].在三維體系中,這一結果可以推廣到4 個Z2拓撲不變量構成的新拓撲不變量(v0,v1,v2,v3),其中v0與第三維緊密相關,借此可以將三維拓撲絕緣體區分為強拓撲和弱拓撲絕緣體[92-94].

與拓撲絕緣體的分類方法類似,拓撲超導體也可以根據其固有的粒子空穴對稱性與其他對稱性進行分類,見表1 所列.圖1 展示了在二維情況下,IQHE 和QSHE 與拓撲超導之間的類比關系[95].時間反演對稱破缺的手性拓撲超導具有和IQHE 相似的手性邊緣態,而具有時間反演對稱性的螺旋拓撲超導則與QSHE 類似,擁有反向傳播的兩支邊緣態.人們對拓撲超導的關注來源于其本身具有的一些奇異性質,其中最重要的是它支持具有非阿貝爾統計性質的MZM[6],這是它能用于拓撲量子計算的主要物理依據;另外,也有研究指出在拓撲超導體系中經歷特定的量子相變可以在凝聚態體系中實現超對稱[96].

表1 超導體的對稱性和相應的拓撲不變量[7]Table 1.Symmetries and corresponding topological invariants of superconductors[7].

圖1 二維手性拓撲超導和IQHE、二維螺旋拓撲超導和QSHE的對比示意圖 (a) 二維手性拓撲超導和IQHE 的對比示意圖,在這兩個系統中,時間反演對稱性破缺,其邊緣態具有確定的手性;(b) 二維螺旋拓撲超導和QSHE的對比示意圖,這兩個系統都有時間反演對稱性和無能隙的螺旋邊緣態,在同一邊緣上不同自旋極化的電子傳播方向相反.圖中虛線表明拓撲超導體的邊緣態是馬約拉納費米子,其準粒子能譜中E＜0 的部分是冗余的,引自文獻[95]Fig.1.Schematic comparison of two-dimensional chiral topological superconductor (TSC),IQHE,two-dimensional helical TSC and QSHE.(a) Schematic comparison of twodimensional chiral TSC and IQHE state.In both systems,time reversal symmetry is broken,and the edge states have a definite chirality.(b) Schematic comparison of two-dimensional time reversal invariant TSC and QSHE.Both systems maintain time reversal symmetry and have a helical pair of edge states,where opposite spin states counterpropagate.The dashed lines indicates that the edge states of the topological superconductors are Majorana fermions so that the E＜0 part of the quasi-particle spectra are redundant,adapted from Ref.[95].

2.2 馬約拉納零能模

1937 年,意大利物理學家埃托雷·馬約拉納(Ettore Majorana) 提出了Dirac 方程的一組實數解[97],使得場算符ψ=ψ*,這意味著這個解對應的粒子具有一個奇異的性質,即其反粒子就是它本身,因此這種粒子被稱為馬約拉納費米子.最初在粒子物理領域,中微子被認為是馬約拉納費米子的最佳候選,但是直到目前仍然沒有確定的結論[98].在凝聚態物理領域,豐富的準粒子激發為探究馬約拉納費米子提供了很好的平臺.如果電子的產生(湮滅) 算符為c?(c),可以構造如下兩個算符:

結果顯示，吸煙成癮組的男性比例高于其他兩組，網絡成癮組的女性比例高于其他兩組(χ2=29.066，P＜0.05)，3組被試在性別上差異有統計學意義。但在年級、民族、是否為獨生子女以及家庭所在地上比較，差異均無統計學意義(P＞0.05)。見表1。

根據Kitaev 的一維p 波超導模型,在這個體系中將會出現4π 周期的約瑟夫森電流[189].這個結論對其他拓撲超導體系也適用,并得到了相應實驗的支持.在常規超導體和拓撲超導體構成的約瑟夫森結中,其能量和相位的關系可分別表達為[188]:

2.3 非阿貝爾統計

MZM 遵從非阿貝爾統計規律,這意味著粒子交換操作在這個系統中是不對易的.這種性質在拓撲超導體系中普遍成立,它不依賴于具體的實現方式及MZM 局域的位置,如渦旋中心或者是納米線的兩端[6,101,102].

首先考慮只有兩個MZMs (γ1,γ2)的情況,利用(1) 式可以構造單個費米子的產生和湮滅算符:.其對應的占據數可以取0 和1 兩個值,這意味著由一對MZMs 組成的系統只能是兩重簡并的,在粒子數表象下可以分別寫作|0〉,|1〉.當把這個結論推廣到2N對MZMs 的系統,可以得到整個系統的簡并度為2N.在由這些粒子張成的空間中,可以繼續討論它們的交換操作.理論上給出任意兩個MZMs 的交換算符為[6]

其表示兩個MZMs 逆時針交換一次所經過的變換(順時針交換時,(2)式中的負號變為正號,后續討論采用(2)式).利用(1)式可以得到馬約拉納算符的反對易關系:

由此可以得到當γi與γj交換一次后的變換規則如下:

仍然考慮只有兩個MZM 的情況,假如γ1繞著γ2逆時針交換一次 (如圖2(a) 所示),那么系統的狀態將發生如下變換:

圖2 MZMs 非阿貝爾統計原理示意圖 (a) γ1 環繞 γ2逆時針旋轉半圈;(b) γ1 環繞 γ3 逆時針旋轉1 圈;(c) 對兩對MZMs 進行編織操作的示意圖Fig.2.Schematic of the non-Abelian statistics principle of MZMs: (a) γ1 winds counterclockwise around γ2 by half a turn;(b) γ1 winds counterclockwise around γ3 by one full turn;(c) schematic of braiding two pairs of MZMs.

顯然在這個過程中只是積累了一個額外的相位,系統的狀態并沒有改變,所以這里的交換仍然是平庸的交換操作.為了實現非阿貝爾交換操作,這里需要再引入一對新的MZMs (γ3,γ4).顯然,對于γ1,γ2(γ3,γ4) 之間的交換操作并不會影響另外一對MZMs 的操作,所以這里只需考察γ1,γ3之間的交換 (其余操作可類似得到).為方便起見,這里引入邏輯比特的計算基,用以表示單個量子比特,它們張成的子空間可以由本征方程-γ1γ2γ3γ4|ψ〉=|ψ〉確定[103].在計算基下,馬約拉納算符和泡利矩陣之間的關系為:σx=-iγ2γ3,σy=-iγ1γ3,σz=-iγ1γ2.現在進行如圖2(b) 所示的操作,γ1繞γ3逆時針旋轉一圈,這個過程相當于γ1和γ3交換了兩次,其演化算符(U13)2=-γ1γ3=-iσy,這個過程中系統狀態的變化即為

顯然,該操作不僅會附加額外的相位,而且還會直接改變系統所處的狀態,這正是非阿貝爾統計的奇異性質,圖2(c) 所示的時空圖再現了這一編織過程.實際上,上述討論中已經構建了單個的量子比特以及3 個泡利門,結合理論提出的其他基本量子門的實現方案,即可實現受拓撲保護的量子計算[104-112].

從編目員視角看，視頻文件不僅是節目或電視作品，而是待開發的影像內容寶庫，要從中尋找有價值的部分，標注有價值的節目、資料或空鏡頭。這種判斷也是一種再創造。將電視作品分解還原，當編目員從標引視角審視這些內容時，能否從中提取有價值的東西關鍵還在于對內容價值的敏感性，這種敏感性要求編目員在進行著錄標引的過程中，需要對資源全方位分析，敏銳地獲取外表屬性和內特征，并迅速判定其潛在的價值。

3 拓撲超導的實現

拓撲超導的實現和MZM 的探測是當前凝聚態物理領域的研究熱點.經過十多年的研究,在本征拓撲超導以及人工拓撲超導研究方面都取得了豐碩的成果,現總結如下.

3.1 本征拓撲超導體

本征拓撲超導體的候選體系主要包括超導拓撲半金屬、非中心對稱超導體、重費米子超導體和鐵基超導體等.

狄拉克半金屬Au2Pb[113],在1.3 K 時出現超導[114],理論計算表明,它是具有自旋極化拓撲表面態的超導體,被認為是本征拓撲超導體的有力候選者.第二類外爾半金屬TaIrTe4[115,116],在1.4 K 時顯示出表面超導電性,低溫掃描隧道譜 (scanning tunneling spectroscopy,STS) 以及低溫輸運實驗均表明這個體系可能存在非常規的p 波超導電性[117].第二類外爾半金屬Td-MoTe2[118-120],在100 mK 時顯示出超導電性[121],并且在薄層器件中觀察到了不同于正常夫郎禾費衍射的鋸齒形圖樣,被認為起源于邊緣超流,表明該體系可能是拓撲非平庸的外爾超導體[122].最近,在Se 摻雜樣品中觀察到了超導增強[123],利用點接觸譜實驗觀察到了ZBCP[124],以及高壓μ 子自旋旋轉 (muon spin rotation,μSR)實驗[125],均表明MoTe2具有兩帶超導的特性,可能是具有拓撲的s+-態的非常規超導體.

Li2(Pd1-xPtx)3B 與CePt3Si[126,127]均是非中心對稱超導體,其超導能隙內存在線節點 (line nodes),可能具有混合的s+p 波超導成分[128].在富Pt 的Li2(Pd1-xPtx)3B 體系中,更高的p 波成分可能源于強自旋-軌道耦合作用 (spin orbital coupling,SOC)[129-131].UPt3是典型的重費米子超導體[132],核磁共振實驗 (nuclear magnetic resonance,NMR)支持這一體系是自旋三重態配對的拓撲超導體[133].低溫下UPt3有3 個超導相,分別是超導相A (0.48 K＜T＜0.53 K,低場),超導相B (T＜0.48 K,低場)和超導相C (T＜0.48 K,高場)[132].在超導相B中,已有實驗給出了該體系時間反演對稱破缺的實驗證據[134-138].目前超導相B 被認為極有可能是自旋三重態配對的拓撲超導體.

通過表5可以看出，浮選尾礦熔煉合金經過真空蒸餾后，在1 000 ℃、蒸餾90 min的條件下，可以獲得最優的金、銀直收率，同時鉛、鉍、碲的脫除率均較高，但隨著溫度的升高，揮發率增加，雖然殘留物中金、銀的富集倍數增加了，但是直收率卻大幅度下降，經濟性有所下降。銻雖然在理論計算中擁有較高的脫除率，但在實際試驗中脫除效果較差，可能源于浮選尾礦熔煉合金中銻并非以二元合金的形式存在，組分較為復雜，難以揮發。

鐵基超導可以視作體內常規超導和表面拓撲超導形成的復合體系,當溫度降到Tc以下,拓撲表面態將被體超導鄰近.角分辯光電子能譜實驗已經清晰觀察到FeTe0.55Se0.45具有多種拓撲相,包括費米能級附近的拓撲絕緣體態[33,139]與本征費米能級以上的狄拉克半金屬態[140-142].近來,STS 實驗先后在FeTe0.55Se0.45的渦旋中心觀察到ZBCP和接近量子化的ZBCP[33-35],并指出在具有MZM的渦旋處,其束縛態能級序列相對正常渦旋存在半整數能級嬗移[143].CaKFe4As4可以認為是由CaFe2As2和KFe2As2自發插層形成的[144],相比之下該體系更均勻,并具有更高的超導轉變溫度[145].實驗上已經證實了CaKFe4As4中存在拓撲非平庸的狄拉克表面態,并且可觀察到與MZM 相符的ZBCP 信號[146],這使其成為研究MZM 的理想平臺.LiFeAs 是化學計量比的鐵基超導體系[147],與FeTe0.55Se0.45類似,其在費米面附近也存在一個拓撲絕緣體狄拉克錐和一個拓撲狄拉克半金屬狄拉克錐[148].令人振奮的是,應力在該體系中誘導出了大面積、高度有序和可調控的MZM 格點陣列[149],為實現拓撲量子計算提供了高質量研究平臺.

需要說明的是,在上述材料中觀測到了拓撲超導的某些特征,但仍需要更系統的實驗來加以確認.

3.2 人工調控拓撲超導

在自然界中,本征拓撲超導體相對比較稀少,而利用現有的體系通過人工調控實現拓撲超導則是十分有效的途徑.其核心思想是: 1) 在具有拓撲性質的體系中通過人工調控實現超導;2) 在超導異質結體系中通過人工調控實現拓撲相變.下文對于這方面的研究進展進行歸納總結.

據了解，汪記嚴格按照國家生豬定點屠宰企業標準化建設的要求，不斷完善廠區建設，增設設施設備，規范生豬屠宰操作程序，建立健全各項規章制度，配備與屠宰規模相適應的檢驗人員，嚴格落實產品檢驗、追溯、貯運、不可食用生豬產品無害化處理等措施。在質量管控方面，汪記配備著一套健全完備的屠宰加工管理體系。

已有研究表明可以利用包括柵極調控、摻雜以及高壓等在內的多種調控手段驅動拓撲體系發生超導轉變.單層WTe2是二維拓撲絕緣體[150],通過柵極調控在1 K 附近出現超導電性[151,152].最近的理論研究表明該體系的超導態是受空間反演對稱性保護的高階拓撲超導,尚有待于實驗驗證[153].CuxBi2Se3是通過摻雜實現拓撲超導的典型案例.在拓撲絕緣體Bi2Se3中摻入適當的金屬Cu 后,該體系在3.8 K 表現出超導電性[154].隨后Sasaki 等[37]在隧穿電導譜中觀察到與MZM 理論相符的ZBCP信號.此外,在Bi2Se3中摻雜Sr,Nb 等也能誘導超導轉變,并且研究結果表明這類體系也具有一定的拓撲性質[155-159].常壓下Cd3As2是狄拉克半金屬[142,160-165],8.5 GPa 時出現超導轉變(Tc～2 K),并且Tc隨著壓強的增大而升高,在21.3 GPa 時Tc最高達到了4 K[166].同時,在針尖誘導的Cd3As2中還觀察到ZBCP 信號,支持在這一體系出現拓撲超導[167].

在對畜禽養殖過程中飼料是其不可或缺的重要因素。一般情況下，在對畜禽進行管理過程中常常發現很多畜禽指標不合格的現象發生。畜禽得不到充足的飼料時在一定程度上會造成自身生長發育不健全的現象發生，很多畜禽養殖戶一般都使用青飼料來作為補充畜禽的重要營養物，然而，這種飼料的轉化率卻非常低，長時間使用這種飼料在一定程度上對畜禽的健康生長將會帶來不同程度的影響。飼料營養不充足在一定程度上對畜牧養殖也會產生不利影響。因此，相關工作人員應該以一種與時俱進的心態積極創造更多創新型、高效的管理方案，只有這樣才能夠保證畜牧業健康、穩定向前發展。

約瑟夫森結的微波輻射信號也可以通過集成在-樣品上的基于光子輔助隧穿(photon-assisted tunneling,PAT) 的發射探測器來測量[68],如圖7(d)所示.在這樣的配置下,其采集結果不能像圖7(b)中那樣直接觀察關于電壓和頻率的發射信號,而是基于以下公式:

4 馬約拉納零能模的輸運探測

其中,e*為發射過程的有效電荷,VNW為發射結兩端的電壓,f0為發射信號的頻率,ΔDET為探測結能隙,VDET為探測結兩端的電壓.如圖7(e)所示,跨導關于兩個結電壓的峰位可由(9) 式描述,由此可以得到結發射的有效電荷e*.對于常規約瑟夫森結,其有效電荷為2e;對于拓撲約瑟夫森結,其有效電荷為1e.該實驗觀察到了隨著平行磁場的引入,有效電荷e*從2e到1e的轉變,從而驗證了分數約瑟夫森效應.

4.1 零偏壓電導峰

零能量是MZM 最直觀的特征.它可以通過測量體系的態密度得到,在隧穿譜上對應的電導峰嚴格位于零能位置,在不破壞系統拓撲性質的情況下能夠穩定存在,這是與平庸的安德列夫束縛態(Andreev bound states,ABSs) 的最大區別.理想狀況下,當正常電子通過共振隧穿占據能隙內的態時將會產生量子化的電導.因此,量子化的ZBCP是MZM 存在的一個直接證據,并且其電導值和體系的對稱性以及維度都有關系.例如在時間反演對稱破缺的一維拓撲超導體中,其電導值恰好是一個量子化電導G0(2e2/h);若是在時間反演對稱的拓撲超導體中,由于MZM 會形成Kramers 對,其電導值將是2G0[174];在二維、三維拓撲超導體中,對于ZBCP 的討論還會更加復雜.實驗上,由于隧穿測量的器件容易制備,所需要的實驗條件容易實現,因此ZBCP 測量成為表征MZM 的首選方案.目前,實驗上已經在多個體系中觀察到了ZBCP 的存在,如本征的Au2Pb[114]、摻雜的CuxBi2Se3[37]、超導/半導體納米線[38-54]、超導/拓撲絕緣體Bi2Se3[57]、超導/金屬表面態Au[175]、磁性原子鏈[59-61]等.

早在2010 年,Yang 等[57]在利用s 波超導體和三維拓撲絕緣體構建拓撲超導時,在Sn/Bi2Se3界面處利用隧穿譜探測到顯著的ZBCP,如圖3(a)所示,為px+ipy超導電性的存在提供了實驗支持.隨后,Mourik 等[47]在NbTiN/InSb 納米線復合結構 (圖3(c))中觀察到了和MZM 圖像相符的ZBCP.從圖3(d) 可以看出,隨著平行磁場的施加出現了ZBCP,同時在旋轉磁場實驗中也觀察到了磁場接近平行BSO時ZBCP 的消失,這與磁場驅動的拓撲相變圖像吻合.同年在Al/InAs 納米線復合結構中也報道了類似的實驗結果[38].大量實驗觀察到的ZBCP 以及接近量子化的ZBCP[41,46]是這一領域取得的重要成果.但與此同時,理論上認為這些結果也可以通過拓撲平庸的機制解釋,包括非均勻的系統參數[75]、弱反局域化[76]、耦合量子點[77,80]、Kondo 效應[78]、準馬約拉納 (空間上分離的馬約拉納束縛態,但是沒有形成拓撲的MZM[81]) 以及系統的高度無序[83].材料本身質量不夠高、加工過程引入界面的雜質和缺陷以及參數調控的非均勻性是引起平庸機制的重要原因,需要在后續工作中逐步優化.

圖3 在超導復合結構中探測ZBCP (a) Sn/Bi2Se3 復合結構中出現的ZBCP,左、右兩圖分別為歸一化的隧穿電導在不同溫度和磁場下關于偏置電壓Vbias 的關系圖,Δ1,Δ2 標出了兩個不同的能隙結構,在低溫及低場下能觀察到顯著的ZBCP,引自文獻[57].(b) 在超導完全覆蓋的納米線器件中觀測到的MZM 跡象.左圖顯示了Al 完全覆蓋的InAs 半導體納米線器件的假彩色掃描電子顯微鏡 (scanning electron microscope,SEM) 照片,右圖上方顯示了隧穿電導dI/dV 關于通過納米線的外加磁通 (水平軸) 和源漏電壓 (垂直軸) 的二維圖,揭示了零磁通位置的硬能隙,以及一個磁通量子Φ0 位置處的能隙內的零能態,下方顯示了存在MZM情況的模擬結果,引自文獻[177].(c) 第一個在超導/半導體納米線結構中觀察到ZBCP 實驗中所使用器件的SEM 照片.正常金屬電極Au 完全覆蓋InSb 納米線,而超導電極NbTiN 則只覆蓋其中一邊.下面的底門用1—4 標記,引自文獻[47].(d) 圖(c) 中器件在固定磁場情況下,dI/dV 與磁場轉角和偏置電壓V 的關系,其中A 圖為當施加與納米線平行的200 mT 磁場時,ZBCP 最大,當磁場垂直于納米線時,ZBCP 消失,B 圖為在垂直于自旋軌道耦合場BSO 的平面上施加150 mT 的旋轉磁場,ZBCP 在所有角度都存在.最上方的圖像顯示了與A 圖和 B 圖中相應顏色標識處的截線,最右側圖像從上到下分別為: (i) B 垂直BSO,能隙打開,解除費米面簡并,這是實現MZM 的必要條件;(ii) B 平行BSO,不同自旋能帶垂直移動2EZ,在這種配置中,不會出現MZM;(iii) A 圖中旋轉磁場示意圖;(iv) B 圖中旋轉磁場示意圖,引自文獻[47]Fig.3.Detecting ZBCP in superconducting hybrid structures.(a) ZBCP structure observed in Sn/Bi2Se3,the normalized tunnelling conductance as a function of bias voltage Vbias collected at different temperatures (left) and magnetic fields (right),with Δ1 and Δ2 indicating two different gap structures,a significant ZBCP can be observed at low temperatures and low fields,adapted from Ref.[57].(b) MZM fingerprints in full-shell nanowires.Left image shows a false-color SEM image of a full superconducting shell surrounding an InAs semiconducting nanowire.Top right shows a color map of the tunnelling conductance dI/dV as a function of external magnetic flux (horizontal axis) through the nanowire and source-drain voltage (vertical axis),revealing a hard induced superconducting gap near zero magnetic flux and a gapped region with a discrete zero-energy state around one flux quantum Φ0 .Bottom right shows the simulation results for the presence of MZM,adapted from Ref.[177].(c) SEM image of the device used in the first observation of ZBCP in superconductor/semiconductor nanowire structures.The normal metal electrode Au completely covers the InSb nanowire,while the superconducting electrode NbTiN covers only one side.The bottom gates are labelled with numbers 1 through 4,adapted from Ref.[47].(d) The relationship between dI/dV and the angle of magnetic field and bias voltage at a fixed magnetic field.Fig.A shows rotating the magnetic field |B|=200 mT in the plane of the substrate.The ZBCP is maximal when B is parallel to the nanowire and absent when B is perpendicular to the nanowire.Fig.B shows rotating the magnetic field|B|=150 mT in the plane perpendicular to BSO.Now,the ZBCP exists at all angles.The top panels show the linecuts at angles with corresponding colors in Fig.A and Fig.B.The rightmost panels show,from top to bottom: (i) The gap opening lifts the Fermi surface degeneracy when B is perpendicular to BSO,which is a necessary condition for achieving MZM;(ii) when B is parallel to BSO,different spin bands shift vertically by 2EZ,MZM is absent;(iii) schematic of the rotation of B in Fig.A;(iv) schematic of the rotation of B in Fig.B,adapted from Ref.[47].

無序導致的接近量子化的ZBCP 已經被最近的實驗所證實,在相同的實驗參數配置下,同時測量納米線兩端的隧穿譜,僅在一端發現了接近量子化的ZBCP,而在另一端則觀察到了電導谷[84].對于MZM 和準MZM,理論研究指出其ZBCP 的峰值不會超過G0,而由無序誘導的ZBCP 有可能超過這個值.另外,對于真實的MZM,隨著塞曼場的增加可能會出現馬約拉納振蕩[40,176],而對于準MZM則不會出現,這些特征可以作為進一步甄別MZM的判據[85].上述實驗都是基于超導半覆蓋的納米線,其優點是便于在超導覆蓋的區域通過柵極調節載流子濃度或費米面;此外也有完全覆蓋超導的納米線實驗[177],如圖3(b) 所示,這種配置雖然通過柵極難以調節載流子濃度,但是可以有效減小其發生拓撲轉變的磁場,同時降低對朗德g因子的要求,類似Little-Parks 實驗[178].當通過完全覆蓋納米線的磁通為零時,實驗上看到了超導鄰近誘導的硬能隙 (hard gap) 結構,其中沒有額外的亞能隙態 (subgap states);當引入一個磁通量子Φ0(h/(2e),h為普朗克常數,e為元電荷) 時,對應體系的纏繞數為±2π,這時在能隙內觀察到穩定的ZBCP,與理論結果吻合較好.最近的實驗觀測到類似的實驗結果,但給出了平庸的解釋,他們認為實驗中觀測到的ZBCP 結構由隧穿結的長短決定,而與納米線無關[86].相對于短結,在長結中總會形成量子點,當零磁場下的ABSs 能量和超導能隙接近時,在量子點基態從YSR 態向雙重態 (doublet state) 發生轉變的量子相變點附近,可以同時觀察到零號瓣(lobe) 中的硬能隙結構和貫穿整個一號瓣的ZBCP,這個現象會被誤認為是MZM.因此,需要更加完備的實驗來探究ZBCP 的真正起源.

4.2 庫侖阻塞譜

上文介紹的隧穿譜探測只能提供MZM 的局域信息,而利用庫侖阻塞譜可以給出系統的非局域信息,作為驗證MZM 的補充,下文將介紹這方面的研究進展.

圖4(a) 展示了利用庫侖阻塞譜探測MZM 的原理.不同顏色的曲線代表不同的輸運過程.這些過程由EN(NG)=EC(NG-N)2+pNE0決定,式中EN為超導島能量,EC為充電能,NG為柵極引起的電荷變化,N為電子占據數,pN有兩個取值,pN=1 對應奇宇稱,pN=0 對應偶宇稱,E0為最低準粒子態能量.對于正常金屬形成的島,當調節其柵極電壓時,電子將會逐個地進出島;對于超導鄰近的納米線構成的超導島,當體系處于拓撲平庸的狀態時,若E0＞EC,電子將成對地進出超導島(橙色曲線);若E0＜EC則以單電子的形式進出超導島 (綠色曲線),但是隨柵極電壓調控會表現出兩個不同的周期,對應于進出島中的電子數目的奇偶宇稱變化,這個結果反映了進入島中的奇數電子是未配對的,并且要求額外的能量E0來實現偶數電子的配對.不過,對于拓撲體系,不需要這個額外能量,因為此時奇數電子可以占據零能量的馬約拉納態.這在實驗上導致的結果是: 當調節柵極電壓時,可以看到完全等周期的單電子過程 (紅色曲線),前面提到的奇偶變化將會消失[179,180].該現象在實驗上已經由Albrecht 等[181]觀測到,他們發現隨著平行磁場的增加,對應2e 電子輸運的庫侖峰發生劈裂,產生1e 電子輸運,從So,e(奇數和偶數電子的庫侖峰間距) 的圖像上也確認了Se=So的結果,這與理論預期相符.并且,不同長度的超導島器件的庫侖阻塞譜和電子隧穿譜同時顯示了由馬約拉納耦合帶來的馬約拉納振蕩及其振幅關于島長的指數依賴行為,進一步驗證了MZM 的存在.此后的實驗重復了這一結果[180],從圖4(b) 中的二維圖可以直觀地觀察到,隨著B//的增大,2e 周期庫侖峰向1e 周期庫侖峰轉變的過程,下方的So,e圖像顯示了相應的振蕩行為.此外,該實驗還發現了2e 電子輸運情況下島內的奇宇稱行為,圖4(c) 清楚地顯示了2e 周期偶宇稱向2e 周期奇宇稱轉變的過程.他們把這種過程歸結于島中出現了負能量的基態,如圖4(a) 中的青色和紫色曲線所示,當島的基態能量為-EC(紫色曲線) 時,電子輸運過程恰好重新變為2e,但是輸運卻發生在奇宇稱的拋物線之間,這一發現進一步完善了超導島器件的物理圖像.Vaitiek?nas 等[177]在超導完全覆蓋的半導體納米線中也觀察到了類似的結果,他們在單根納米線上制作了多個不同長度的島 (圖4(d)),觀察到從零號瓣到一號瓣發生2e 向1e 轉變的過程,并且觀察到了So,e振蕩振幅與島長度之間的指數依賴關系,結合之前發現的ZBCP (圖3(b)),他們認為該體系中存在MZM.而在近期同樣利用超導完全覆蓋的納米線實驗中[88],雖然也觀察到了類似的等周期的單電子過程,但是在相應的隧穿實驗中,無論是在左端還是在右端都沒有觀察到ZBCP.因此,這里觀察到的單電子過程被解釋為拓撲平庸的機制,即體系的能隙內存在準連續態,它使得整個體系更容易發生單電子過程,數值模擬結果也支持這種解釋.

圖4 利用庫侖阻塞譜探測MZM (a) 利用庫侖阻塞譜探測MZM 的原理;(b) 上圖是電導dI/dVb 關于磁場 B// 和柵極電壓VPG的關系,展示了2e 周期向1e 周期轉變的過程;下圖展示了庫侖峰間距So,e 隨磁場 B// 的振蕩,引自文獻[180];(c) 類似 (b)圖,展示了隨磁場出現的2e 電子輸運過程的宇稱從偶宇稱到奇宇稱的轉變,插圖為轉變區的放大圖,引自文獻[180];(d) 左上圖為利用超導全覆蓋納米線制作的包含6 個具備獨立柵極的超導島器件的SEM 照片;左下圖展示了電導dI/dV 關于磁場 B// 和柵極電壓VG的二維圖,右圖為庫侖峰振蕩振幅A 關于島長度L 的關系曲線,滿足指數關系 A=A0e-L/ξ,引自文獻[177]Fig.4.Using Coulomb blockade spectroscopy to detect MZM: (a) Principal of detecting MZM by Coulomb blockade spectroscopy.(b) Top panel shows the relationship between the conductance dI/dVb and the magnetic field B// and gate voltage VPG,displaying a transition from 2e-periodic Coulomb-peak to 1e-periodic Coulomb-peak.Bottom panel shows the Coulomb peak spacing So,e as a function of magnetic field B//,exhibiting clear oscillations,adapted from Ref.[180].(c) Similar to (b),the parity undergoes a transition from even to odd in the 2e-periodic electron transport process as the magnetic field increases.The inset shows a zoom view of the transition region,adapted from Ref.[180].(d) Top left panel shows the SEM image of six superconducting islands with individual gates constructed on a single full-shell nanowire.Bottom left panel shows the conductance dI/dV as a function of magnetic field B‖ and gate voltage VG.Right panel shows the relationship between the oscillatory amplitude A and the island length L,which satisfies an exponential relationship A=A0e-L/ξ,adapted from Ref.[177].

4.3 非局域電導

除了上述基于庫侖阻塞譜的非局域測量外,理論還提出基于三端器件的非局域電導測量.通常的兩端測量只能探測最接近正常電極處的態,無法給出超導鄰近區域的全局性質,這種測量方式很難區分由平庸機制導致的低能態和真實的MZM.

其中Δ0為超導能隙,D為透射系數,φ為相位差.可以看到在透射率不為1 時,s(p) 波超導體的能量相位關系是2π(4π) 周期的,對應的電流相位關系(current phase relationship,CPR)也同樣是2π(4π) 周期的,圖6(a),(b)分別給出了兩種情況下的能量和電流關于相位的關系.理論上,借助這一點可以在基于拓撲超導的實驗中觀察到4π 周期的超導衍射 (干涉) 圖樣,這一效應也被稱作分數約瑟夫森效應.但實際上,我們很難從實驗上直接觀察到這種現象.因為準粒子中毒[190,191]會使體系的費米子宇稱發生變化,體系的能量將會沿著兩支能譜能量最低的部分演化,其結果是體系的能量相位關系重新回到2π 周期.因此,很難采用直流約瑟夫森效應區分它和常規超導結.為了能夠從實驗上觀察到分數約瑟夫森效應,我們需要在MZM 弛豫時間內進行測量.實驗上可以借助交流約瑟夫森效應觀察約瑟夫森結的微波發射,得到在半個約瑟夫森頻率fJ/2=eV/h處的發射信號;或者利用逆交流約瑟夫森效應觀察奇數Shapiro臺階消失的現象,目前已經在多個體系中觀測到這些現象[62-71].

圖5 非局域電導探測 (a) 用于測量電導矩陣的三端器件配置,兩端正常電極連接到中央接地的超導區域,其中的電勢可以通過柵極控制,引自文獻[186];(b) 在 L?ξ 下,能量空間中可能的散射過程示意圖,引自文獻[182];(c) 電導矩陣關于磁場B 和偏置電壓VL,R 的二維圖,引自文獻[183];(d) 電導矩陣關于磁場B 和偏置電壓VT,B 的二維圖,引自文獻[184]Fig.5.Non-local conductance spectroscopy measurement: (a) Three-terminal device configuration.Two normal electrodes are connected to central grounded superconducting region,where the potential can be controlled by the gates,adapted from Ref.[186].(b) Illustrations of possible scattering processes in energy space when L ?ξ,adapted from Ref.[182].(c) The conductance matrix as a function of magnetic field B and bias voltage VL,R,Adapted from Ref.[183].(d) Two-dimensional plot of the conductance matrix as a function of magnetic field B and bias voltage VT,B,adapted from Ref.[184].

其中的GLL,GRR分別對應兩端的局域電導,而GRL,GLR則對應非局域電導.在L≥ξ(L為超導區長度,ξ為誘導相干長度) 的條件下,不同能量區間系統出現如圖5(b) 所示的輸運過程:|E|＜Δind(E為準粒子能量,Δind為誘導能隙),準粒子將被直接反射回去,對非局域電導無貢獻;Δind＜|E|＜Δ(Δ為電極超導能隙),準粒子被傳輸到另一端,變為電子 (正常傳輸) 或空穴 (交叉安德列夫反射),貢獻非局域電導;|E|＞Δ,超導電極吸收準粒子(傳導到地).基于這一輸運過程,文獻[182]指出非局域電導譜可以用于探測系統的全局性質: 電極超導能隙、誘導超導能隙和誘導相干長度.這使得利用非局域電導譜探測能隙從關閉到打開的拓撲相變過程成為可能.并且,他們的研究進一步指出,在拓撲相變點,非局域電導與能量呈準線性關系,對應于I ∝V2(V為偏置電壓),作者將這樣的系統稱為安德列夫整流器 (Andreev rectifier).

圖5(c) 展示了基于InAs 納米線三端器件測量得到的電導矩陣[183],在局域電導譜中,左右兩端均觀察到了穩定的ZBCP,并且在非局域電導譜中觀察到了在ZBCP 出現前的能隙關閉,以及在能隙關閉處關于偏置電壓的奇函數行為,與安德列夫整流器的物理圖像吻合.但是,此處未觀察到關閉的能隙重新打開,可能與系統的無序性有關.后續在InAs 量子阱的實驗中 (圖5(d)),兩端局域電導譜同時觀察到了穩定的ZBCP、能隙關閉再重新打開的現象,與理論預期十分符合[184].另外,對于強無序和小尺寸系統,理論提出了通過探測馮諾依曼熵的方式來彌補非局域電導探測的缺陷[185].

除上述原理外,非局域電導還可以用來探測局域BCS 電荷,基于如下公式:

◆以“出鏡率極高”而著稱的科普明星——其無所不知、什么主題都能講的背后，不過是天性聰明加上臨陣磨槍翻了幾本書.

其中,α=R,L,E0為ABS 能量,sym (asym) 標記電導的對稱(反對稱)分量≡[Gαβ(V)±Gαβ(-V)]/2.這個公式給出的是局域的BCS 電荷,而dE0/dμ(μ為納米線的化學勢) 則反映整體的BCS 電荷.因此,當兩者差異較大時,表明該ABS 在納米線中心的比重更大,與MZM局域在兩端的行為不符,這可以用于區分馬約拉納束縛態和平庸的ABS[186].另外,由于MZM 是中性的,在馬約拉納振蕩關于磁場的轉折點處,應該沒有非局域的電導.實驗上已經利用這一結論來分辨低能ABS 的拓撲性質[187].

由表3可知，產城融合發展水平（ici）、市場化程度（mar）和農業發展水平（agr）存在單位根，科技進步（tec）、金融支持水平（fin）和人力資本（edu）則拒絕了“存在單位根”的原假設，而各個變量的一階差分都拒絕了“存在單位根”或接受“平穩序列”的原假設，即殘差項無單位根。

4.4 分數約瑟夫森效應

4.4.2 逆交流約瑟夫森效應

(2)圖書借閱類數據。閱讀可以在課堂外拓寬大學專業的深度、增加學生知識面的廣度，有助于學生多方面拓展思維，掌握分析問題和思考問題的新視角和新思維，也是創新能力培養不可或缺的。圖書借閱類數據來源于學校圖書館的數據中心，包括學生借閱書籍報刊的類別、借閱頻率、借閱書籍閱讀的時間以及學生多次借閱的書籍等。

容易驗證這里的γ1,γ2算符都是自共軛的,它們具有和馬約拉納費米子相同的物理.超導體中Bogoliubov 準粒子可以視為電子和空穴的疊加,根據粒子空穴對稱性的要求,能量E處的準粒子產生和湮滅算符應滿足γ(E)=γ?(-E),這意味著在費米能處這個關系將變為γ(0)=γ?(0),從而滿足馬約拉納費米子的自共軛關系.因此,這個零能量的激發模式被稱作馬約拉納零能模.為了實現可觀測的MZM,要求兩個MZM 在空間上分離,否則它們將重新耦合成單粒子態;另外常規的s 波超導體中的電子采用自旋單態配對,這使得它們的疊加不能滿足自共軛條件.為此,需要引入一種等自旋的電子配對機制,其空間波函數最簡單的形式為p 波,相應的體系稱為p 波超導[5].除此之外,還有一些具有不同對稱性的拓撲超導體系[7](見表1),其承載的MZM 也存在差別.譬如一維p 波超導體的兩端分別存在一個MZM,具有時間反演對稱的DIII 類拓撲超導存在MZM 的Krammers 對,而具有手性對稱的一維BDI 類拓撲超導體兩端可以存在多對MZMs[99].值得指出的是,局域存在多個MZMs 會增加對其進行編織的難度[100].

圖5(a) 展示了利用三端器件探測非局域電導的配置,測量基于如下電導矩陣:

圖6 約瑟夫森結的能量 (電流) 和相位的關系以及Landau-Zener 躍遷機制示意圖 (a) 常規約瑟夫森結的能量相位關系 (上方)和電流相位關系 (下方) 示意圖,呈現出2π 周期性,透射率分別為D=1 (橙色曲線) 和D=0.6 (藍色曲線);(b) 拓撲約瑟夫森結的能量相位關系 (上方) 和電流相位關系 (下方) 示意圖,呈現出4π 周期性,透射率分別為D=1 (橙色曲線) 和D=0.6 (藍色曲線);在發生零次 (綠色實線) 和兩次 (藍色虛線) LZT 后,能量 (c) 和電流 (d) 關于相位φ 的關系,(c) 中灰色和紅色區域分別對應于絕熱和非絕熱演化過程,綠色實線與藍色虛線分別代表絕熱極限 (呈2π 周期性) 和非絕熱極限 (呈4π 周期性),引自文獻[74]Fig.6.Energy (current) vs.phase relationship and LZT in Josephson junctions: (a) The energies and the currents in the conventional Josephson junction as functions of the phase difference φ for D=1 (orange) and D=0.6 (blue);(b) the energies and the currents in the topological Josephson junction as functions of the phase difference φ for D=1 (orange) and D=0.6 (blue);energy (c)and current (d) vs.phase φ after zero (green solid line) and two (blue dashed line) LZTs occurred,in (c),the gray and red regions correspond to adiabatic and non-adiabatic evolutions,respectively,the green solid line (2π periodicity) and blue dashed line (4π periodicity) represent the evolution in the adiabatic and the non-adiabatic limits,adapted from Ref.[74].

4.4.1 交流約瑟夫森效應

交流約瑟夫森效應,即向約瑟夫森結施加一個電壓V時,在結區中將會出現高頻 (fJ/2=eV/h)交變電流,并向外輻射信號.圖7(a) 是在HgTe 二維拓撲絕緣體上用Al 制作的約瑟夫森結[65].為了測量約瑟夫森結產生的微波輻射,實驗上將結上的直流信號和交流信號通過偏置器解耦,然后分別進入直流和交流測量線路,其中交流信號通過微波放大器后進入頻譜分析儀得到結的輻射信號.圖7(b)中的灰色直線標注了不同頻率的發射信號,其中fJ,2fJ為常規約瑟夫森結的發射信號,而fJ/2 的信號即為拓撲約瑟夫森結的發射信號,高頻處的振蕩可能來自于電磁環境的影響.可以看出,拓撲結信號明顯強于常規結信號,并表現出顯著的展寬.常規約瑟夫森結的展寬可能來自于配對電流或者準粒子電流的波動以及環境噪聲的影響;而在拓撲結中,它還和宇稱弛豫以及電離到連續譜的弛豫過程有關,更大的線寬意味著更短的相干時間.除了存在使體系從4π 向2π 轉變的機制外,還有使體系從2π 向4π 轉變的Landau-Zener 躍遷機制 (Landau-Zener transition,LZT)[74],如圖6(c),(d)所示.它可以使不同宇稱的兩支能譜在交叉點附近發生躍遷,從而產生4π 周期的能量演化.在單庫珀對晶體管中,很早就觀測到了LZT 現象[73].在圖7(b)實驗中,LZT 發生的激勵電壓存在上限 (VLZ?6 μV),但由于實際的實驗激勵已經遠超這個極限,因此可以排除LZT 過程導致的平庸4π 信號.

生物源于生活，服務于生活.在當前教學中，由于受傳統教學模式的影響，生物教學課時安排較為緊張，生物教師很少組織學生參加野外活動、參觀生產基地等生物知識類的教學活動.由于高中生物教學缺少色彩，學生只能被動、機械地學習生物，自主性學習興趣不高漲，難以有效地將生物知識與生活相聯系，生物思維得不到有效激發.

圖7 交流約瑟夫森效應的探測 (a) HgTe 約瑟夫森結器件的假彩色SEM 照片,藍色為被絕緣層覆蓋的HgTe,紫色為Al 電極,黃色為柵極.并聯電阻RS 使結電壓保持穩定.通過測量跨越結和RI 的電壓,可以直接得到V 和I.射頻信號通過偏置器進入到放大電路中,最后進入頻譜分析儀.引自文獻[65].(b) 拓撲約瑟夫森結輻射功率關于直流電壓V 和探測頻率fd 的二維圖,依次可以看到 fJ/2 ,fJ 和 2fJ 的發射線,引自文獻[65].(c) 欠阻尼約瑟夫森結的發射線,引自文獻[192].(d) 利用片上探測器探測約瑟夫森結的輻射信號,從左到右依次為: (i) 放置在3 個柵極上的納米線約瑟夫森結的SEM 照片,插圖展示了結的假彩色SEM 照片,其中外延Al 殼以青色突出顯示;(ii) 納米線約瑟夫森結 (藍色框) 和檢測結 (紅色框) 之間耦合電路的光學照片;(iii) 兩個并聯的約瑟夫森結構成的微波探測器的SEM 照片,引自文獻[68].(e) 探測器的跨導dIPAT/dVNM 關于探測器電壓VDET 和納米線電壓VNW的二維圖,圖中標出了理論預言的2e (綠色虛線) 和1e (紅色虛線) 電子行為的峰位,在磁場B=650 mT 處觀察到了1e 電子發射行為 (橙色實線),引自文獻[68]Fig.7.Detection of AC Josephson effect.(a) False-color SEM image of HgTe Josephson junction device.Blue represents HgTe covered by an insulating layer,purple represents Al electrodes,and yellow represents the gate.The shunt resistor RS enables stable voltage bias.The measurement of the voltage across the junction and RI is directly yields V and I.The rf signal enters the amplification circuit through the bias T circuit and finally enters the spectrum analyzer,adapted from Ref.[65].(b) The power collected from the topological Josephson junction as a function of the DC voltage V and the detection frequency fd.The emission lines of fJ/2,fJ and 2fJ can be seen in order,adapted from Ref.[65].(c) Emission lines of an underdamped Josephson junction,adapted from Ref.[192].(d) Detection of the Josephson junction radiation signal using an on-chip detector.From left to right: (i) SEM images of nanowire Josephson junctions placed on three gates.The inset shows a false-color SEM image of the junction,with the epitaxial Al shell highlighted in cyan.(ii) Optical image of the coupling circuit between the nanowire Josephson junction (blue box) and the detection junction (red box).(iii) SEM image of the microwave detector composed of two parallel Josephson junctions,adapted from Ref.[68].(e) Transconductance dIPAT/dVNM as a function of the detector voltage VDET and the nanowire voltage VNW.The dashed lines indicate the theoretically predicted peak positions of the 2e (green) and 1e (red) electron behavior.1e electron emission behavior (orange solid line) is observed at a magnetic field of B=650 mT,adapted from Ref.[68].

利用超導鄰近效應在傳統s 波超導體和其他材料形成的異質結中誘導出拓撲超導是目前研究拓撲超導的主流方案.其最早由Fu 和 Kane[15]提出,他們研究了在三維拓撲絕緣體表面的超導鄰近效應,指出在這個體系的界面處將會形成類似px+ipy波超導,當打破時間反演對稱性,將在體系的渦旋處出現MZM.在此基礎上,他們提出了在s 波超導體/量子自旋霍爾絕緣體中出現時間反演對稱的MZM 方案[17].類似的方案,也被其他研究者用于反常量子霍爾絕緣體[168]與拓撲半金屬[169-171].當前尋找MZM 的研究主要集中于s 波超導體/強自旋軌道耦合半導體的復合體系.這一方案需要提供適當的塞曼能使系統發生拓撲相變,它可以通過磁性絕緣體[19]、少層半金屬[24,25]或者施加垂直SOC的磁場[21,22]來實現.這個方案的理想載體是具有強SOC 的半導體納米線或者二維電子氣.其中,基于s 波超導體/強SOC 半導體納米線復合結構的研究方案進展最為引人注目.此外,人們也提出利用具有更強SOC 的金屬表面態來實現拓撲超導[27].在超導襯底上放置磁性原子鏈模擬一維Kitaev 鏈模型是實現拓撲超導的另一途徑,旨在利用Yu-Shiba-Rusinov (YSR) 態雜化出現p 波配對[172,173].

為探測并甄別來自MZM 的信號,實驗上需要利用MZM 自共軛、非局域、零能量以及非阿貝爾統計的特性來產生觀測指標.首先,利用MZM 是拓撲超導邊界的零能激發這一特點,通過隧穿實驗可觀測到ZBCP;由于MZM 在拓撲超導體中對應著單電子的過程而不是庫珀對,因此可以從庫侖阻塞譜中觀察到對應的現象;MZM 在空間上非局域的關聯特性在非局域電測量上也有所體現;不僅如此,由于拓撲超導不同于通常s 波超導的配對性質,基于分數約瑟夫森效應通過 (逆) 交流分數約瑟夫森效應與電流相位關系的測量 (current-phase relationship,CPR) 也可以找到MZM 存在的證據.

此外,根據理論計算,在欠阻尼的約瑟夫森結中,當MZMs 間的耦合強度適中時,除了常規發射線fJ(黃色虛線) 外,還會在發射線fJ/2 處 (黑色虛線) 出現兩條按照貝塞爾函數振蕩的發射線 (藍色-和橙色)[192],如圖7(c) 所示,這可以作為驗證MZM的又一探測手段.

③如果采運本人的診斷方法,可以最大限度的避免醫療資源的浪費。本診斷中有“如果患者“四部27點規律”查體后,不符合“兩部2點規律或兩部2點規律以上”,則不需要拍X光、CT、MRI。這樣先行壓痛點檢查既可避免漏診,又可免除拍X光、CT、MRI的檢查,從而最大限度的避免醫療資源的浪費,

在治療前和治療第2、4、8、12周末采用HAMD評判患者抑郁程度，共24項目，每項按實際情況進行打分，總分＜8分為正常無抑郁癥狀；8～20分為可能存在抑郁癥狀；21～35分為存在抑郁癥狀；＞35分為嚴重抑郁。臨床療效評分：治愈，治療結束后抑郁評分降低超過75%；顯效，治療結束后抑郁評分降低超過50%～74%；有效，治療結束后抑郁評分降低25%～49%；無效：治療結束后抑郁評分降低＜25%或無改變?？傦@效率=治愈率+顯效率。

當兩個拓撲超導體耦合在一起構成約瑟夫森結時,它們的安德列夫表面態將會雜化并在結區中形成ABSs,這些束縛態將會對約瑟夫森電流產生重要影響.因此,可以借助觀測特殊的約瑟夫森信號甄別拓撲超導和常規超導[188].

逆交流約瑟夫森效應,即向約瑟夫森結施加一個微波信號時,在I-V曲線上將會出現一系列臺階形 (Shapiro 臺階) 的直流分量[193].在InAs 納米線中,已經觀測到逆交流分數約瑟夫森效應[62].在3 GHz 下,第1 級Shapiro 臺階隨著垂直BSO方向磁場的增加而逐漸消失,這和分數交流約瑟夫森效應所預測的奇數臺階消失、偶數臺階保留的圖像吻合.后續實驗也報道了該現象,圖8(a) 展示了在三維拓撲絕緣體HgTe 中測量到的逆交流分數約瑟夫森效應結果[63].目前,多數實驗只觀察到第1 級臺階消失,個別實驗觀測到了第3 級乃至第9 級臺階的消失[64,194].僅通過第1 級臺階消失的現象還不能完全歸因于分數約瑟夫森效應,它有可能來源于熱效應[79]和LZT.對此,可以通過觀測磁場驅動的拓撲轉變[62,71]或多級奇數臺階的消失 (偶數臺階保留) 來排除[64,194].需要注意的是,在利用逆交流約瑟夫森效應研究拓撲超導時,微波頻率對拓撲效應的觀察具有重要影響[74,195].在I2π?I4π(I2π,I4π分別為2π,4π 超流大小) 的條件下,當驅動的微波頻率f＜f4π=2eRnI4π/h(Rn為正常態電阻)時,結的動力學特性φ(t) 相對更慢且非線性,對應的電壓變化V(t)是非諧函數,這使得它對4π 分量的響應會更加顯著,實驗上更容易觀察到分數約瑟夫森效應;而當f＞f4π時,V(t)變得接近正弦函數,以至于更傾向于響應2π 分量的信號,實驗上僅能觀察到常規約瑟夫森效應.因此,需要選擇合適的微波頻率觀測體系的拓撲效應.

圖8 探測逆交流約瑟夫森效應 (a) 在三維拓撲絕緣體HgTe 中觀察到的分數約瑟夫森效應.左圖為微波功率f=2.7 GHz 時,電壓分布 (數據點按電壓分組) 關于微波電流Irf 和偏置電壓V 的二維圖,右邊的直方圖清晰地顯示第1 級臺階受到顯著抑制,引自文獻[63].(b) 在頻率frf=0.953 GHz 時的微分電阻dV/dI 關于功率Prf 和電流I 的二維圖,引自文獻[67].20 mT 時在平行磁場 (c) 和垂直磁場 (d) 下觀測到的電壓分布關于微波功率P 和偏置電壓I 的二維圖,40 mT 時在平行磁場 (e) 和垂直磁場 (f) 下觀測到的電壓分布關于微波功率P 和偏置電壓V 的二維圖,引自文獻[71]Fig.8.Detection of the inverse AC Josephson effect.(a) Fractional AC Josephson effect observed in a three-dimensional topological insulator HgTe.Left panel shows a 2D plot of voltage distribution (data points grouped by voltage) as a function of microwave current Irf and bias voltage V at a fixed frequency f=2.7 GHz,with the first step significantly suppressed.Right panel is a histogram showing the same result,adapted from Ref.[63].(b) Differential resistance dV/dI as a function of power Prf and current I at a frequency of frf=0.953 GHz,adapted from Ref.[67].Voltage distribution as a function of microwave power P and bias voltage V under parallel (c) and perpendicular (d) magnetic fields of 20 mT.Voltage distribution as a function of microwave power P and bias voltage V under parallel (e) and perpendicular (f) magnetic fields of 40 mT,adapted from Ref.[71].

除了觀察上述Shapiro 臺階加倍現象外,在微波響應的二維圖中零號臺階第一節點的打開也是4π 超流的證據之一[67],如圖8(b) 所示.從電阻分路結模型 (resistively shunted junction,RSJ) 模擬的結果來看,這種節點打開的現象在理想狀況下也可以出現在其他位置,但在考慮到熱效應后,只出現在零號臺階的位置.利用這個現象可以在高達16f4π的微波頻率下探測4π 超流成分,大大拓展了研究范圍、降低了觀測難度.

此外,Dartiailh 等[87]在InAs 量子阱中觀察到了平庸的第一級臺階消失的現象,并將其歸結于LZT 過程,這里LZT 在能譜交叉點處的概率可以表示為[72]

首先將本文方法所需數據量與文獻[5]中基于矩陣分析的方法、文獻[10]中基于GFFT的方法和文獻[11]中基于Gr?bner基改進的GFFT方法進行對比，m取值為3～8，仍然選取與圖4中相同的6種RS碼進行研究，且每種RS碼對應誤比特率分別為0.02、0.01、0.005、0.002、0.001和0.0004.本文方法在各種條件下所需數據量可由式(32)獲得；對于文獻[5]中方法，其分析矩陣必須滿足行數大于列數，因此所需數據量至少為m2n2；基于GFFT的方法至少需要50組完整碼字，相應的數據量為50mn.最終，得到對比結果如表4所示.可以看出，相同條件下本文方法所需數據量更小.

顯然PLZT強烈依賴于系統的透射率D,直接導致在高透射率的器件中容易觀察到這一現象.有鑒于此,Fischer 等[71]通過施加不同方向的磁場對拓撲和平庸的過程加以區分,并通過擴展的電阻電容分路結模型(resistively and capacitively shunted junction,RCSJ) 對拓撲相變進行界定.圖8(c),(d)分別展示了在20 mT 平行和垂直磁場測量到的結果,其中都觀察到了顯著的第1 級臺階消失現象,但是理論指出垂直磁場的施加不能帶來拓撲相變[26].因此,他們將這里的結果歸因于平庸的LZT過程.進而在更高磁場下(圖8(e),(f)),在平行磁場條件下仍然觀察到第1 級臺階消失的特征,而在垂直磁場時則出現所有臺階.據此,他們指出通過平行磁場施加的磁通在 0.25＜Φ/Φ0＜0.5 時,結中的4π 超流起源于拓撲性質.

4.4.3 電流相位關系

除了上述提到的 (逆) 交流約瑟夫森效應外,直接測量CPR 也可以作為一種探測MZM 的手段.雖然在有限溫度時,CPR 在平衡態下沒有4π周期性,但在較低的溫度下,它明顯偏離正弦函數,并且從(9)式和(10)式來看,這種偏離原則上與透射率沒有太大的關系,這可以用來區分常規和拓撲的CPR[188].另外,在超導與拓撲材料的復合體系中,非正弦的CPR 還反映了高透射率的邊界態貢獻,邊界態的超導鄰近是實現拓撲超導的關鍵[196].因此,CPR 的測量可以作為一種輔助探測MZM的手段.圖9(a) 展示了在二維拓撲絕緣體HgTe中觀察到的非正弦的CPR[197],同時在這個體系中還觀察到了奇數Shapiro 臺階的消失[63],印證了該體系中4π 超流的拓撲起源.

圖9 電流相位關系的測量 (a) 在Nb/3D-HgTe/Nb 中測量到的CPR,相比完全對稱的正弦形式 (黑色實線) 有一定的傾斜,引自文獻[197].(b) 利用掃描SQUID 顯微鏡測量CPR 的原理圖.分別顯示了勵磁線圈 (field coil)、拾取回路 (pickup loop)和感生電流I,引自文獻[197].(c) 利用極不對稱SQUID 測量CPR 的原理圖.其中γ 表示參考結的相位,δ 表示待測結的相位,Ib 為激勵電流,引自文獻[201].(d) 利用單結耦合SQUID 測量CPR 的原理圖.電流I 在結中激勵起超流,并在環中產生磁通.產生的磁通通過磁通變換器耦合到SQUID,引自文獻[203]Fig.9.Measurements of current-phase relationships.(a) Measured CPR in Nb/3D-HgTe/Nb,exhibiting a slight forward skewness compared to the perfectly symmetric sinusoidal form (black solid line).Adapted from Ref.[197].(b) Schematic of measuring CPR using a scanning SQUID microscope.The field coil,pickup loop,and induced current I are shown.Adapted from Ref.[197].(c) Schematic of measuring CPR using a highly asymmetric SQUID.Here,γ represents the phase of the reference junction,δ represents the phase of the measured junction,and Ib is the excitation current,adapted from Ref.[201].(d) Schematic of measuring CPR using a single junction coupled to a SQUID.The current I excites a supercurrent in the junction and generates magnetic flux in the loop.The generated flux is coupled to the SQUID through a flux transformer.Adapted from Ref.[203].

盡管測量CPR 有多種方式,但其核心都是確定超流變化過程中的對應相位,具體方法如下.i) 利用掃描超導量子干涉器 (superconducting quantum interference device,SQUID) 顯微鏡測量.其工作原理如圖9(b) 所示,通過施加磁場在單結SQUID 樣品中激勵超流的同時,測量其互感電流反饋的磁場,通過激勵電流和反饋電流之間的關系得到樣品的CPR[197,198].ii) 將樣品和一個超流遠大于它的結并聯組成一個極不對稱的SQUID[199-201],如圖9(c)所示,此時兩個結相位和磁通的關系為φ2-φ1=2πΦ/Φ0(φ1,φ2分別為兩個結的相位差,Φ為外加磁通),而對應的總的CPR 為Is(Φ)=Is1(φ1)+Is2(φ2)(Is1,Is2分別為兩個結的超流).當Ic1?Ic2(Ic1,Ic2分別為兩個結的臨界超流) 時,可以近似認為φ1≈φc1(結1 臨界超流的對應相位),此時CPR 變為Is(Φ)≈Ic1+Is2(2πΦ/Φ0+φc1) .因此,只要從實驗上得到該SQUID 的臨界超流與磁通的關系,便能夠得到第2 個結的CPR.實驗上,這樣的SQUID 可以通過柵極電壓對兩個結區分別調節或者讓待測結并聯一個超流遠大于它的參考結來實現.iii) 利用互感電路將單結SQUID 耦合到一個SQUID 磁力計來測量通過單結SQUID 的磁通,通過公式Φ=2πVSQUID/VΦL(VSQUID為磁力計的電壓,VΦ為磁通變換器的轉移函數,L為單結SQUID 電感)得到單結的相位差[202,203],如圖9(d)所示,從而得到其CPR.

4.4.4 能量相位關系

除了測量CPR 外,直接測量能量和相位之間的關系也可以用于探測MZM.從常規超導與非常規超導構成的約瑟夫森結的能量相位關系(9)式和 (10) 式可知,對于偏離彈道極限 (D→1) 的情況,在π 相位時,拓撲超導的能隙是完全關閉的,而常規超導則是打開的.因為ABSs 的存在會在點接觸譜上反映出來,因此利用正常電極可以探測結區能隙的變化.圖10(d) 所示的實驗利用點接觸譜,在排除了由于電極的尺寸效應所帶來的信號改變后,得到了和理論模擬結果相符的能隙關閉的點接觸譜信號.圖10(e) 展示了在結區中心處,通過半個磁通時,觀察到的微能隙幾乎完全關閉的點接觸電阻行為.這些結果證實了Pb/Bi2Te3復合結構中受拓撲保護的超導能隙的存在[204].在另一個基于Bi2Te3拓撲絕緣體實現Fu-Kane 約瑟夫森三結模型的實驗 (圖10(a)) 中,用同樣的方法再次驗證了這個結果.除了觀察到微能隙的關閉,該工作還驗證了10 多年前Fu-Kane 模型所預言的約瑟夫森三結的相圖[205],如圖10(b) 所示.這為后續基于該模型進行編織乃至基于表面編碼方式[206]實現通用拓撲量子計算奠定了基礎.

圖10 能量相位關系的探測 (a) Bi2Te3 約瑟夫森三結的假彩色SEM 照片.在Bi2Te3 薄片表面制作了一個由兩個超導回路 (藍色)連接的約瑟夫森三結.使用兩個半匝線圈在回路中施加局部磁通.Au 電極用于檢測三結的中心和末端處的ABSs,引自文獻[205].(b) 在T=0.25 K 處測量得到的dV/dIb 關于電流IR 和IL (施加磁通) 的二維圖,測量結果大體上和理論預測的約瑟夫森三結相圖吻合,引自文獻[205].(c) 利用隧穿結測量能量相位關系的原理圖.超導環 (藍色) 構成SQUID,激勵電流IIN 用作超流干涉 (衍射) 測量,電壓VT 用作隧穿測量,引自文獻[208].(d) Bi2Te3 約瑟夫森結的假彩色SEM 照片.Pb 作為超導電極,Pd 電極用來探測點接觸譜,A、B 和C 分別代表結的兩端和中心,引自文獻[204].(e) 紅色和黑色曲線為接近π 相位時的接觸電阻隨電流Ib 的變化,藍線為正常態電阻,可以觀察到～95%的峰高變化,反映了能隙的關閉.引自文獻[204].(f) 態密度 (density of states,DOSs) 關于能量E 和磁場 ΔB⊥ 的二維圖,圖像顯示了幾條離散的ABSs,引自文獻[208]Fig.10.Detection of energy-phase relationships: (a) False-color SEM image of a Josephson trijunction fabricated on the surface of Bi2Te3 with two superconducting loops (in blue).Local magnetic flux is applied to the loops using two half-turn coils.Au electrodes are used to detect the ABSs at the center and ends of the junction.Adapted from Ref.[205].(b) The dV/dIb as a function of the currents IR and IL (for applying magnetic flux) measured at T=0.25 K,in good agreement with the theoretically predicted Josephson trijunction phase diagram.Adapted from Ref.[205].(c) Schematic of measuring energy-phase relationships using a tunnel junction.The superconducting loop (blue) forms a SQUID,and the excitation current IIN is applied to observe supercurrent interference(diffraction),while the voltage VT is applied for tunneling spectroscopy.Adapted from Ref.[208].(d) False-color SEM image of a Josephson junction in Bi2Te3.Pb is used as the superconducting electrode,and Pd electrodes are used to detect point-contact spectra at points of A,B and C,which correspond to the ends and center of the junction,adapted from Ref.[204].(e) Contact resistance as a function of current Ib near the π phase.The blue line represents the normal state resistance.The peak height change ratio of～95% from 147 Ω (red) to 8 Ω (black) reflects the closing of the energy gap,adapted from Ref.[204].(f) Density of states (DOSs)as a function of energy E and perpendicular magnetic field ΔB⊥,showing several discrete ABSs,adapted from Ref.[208].

實際上,利用隧穿譜測量,也可以直接給出約瑟夫森結中ABSs 能譜關于相位的關系[207].圖10(c)展示了利用隧穿探測能量相位關系的原理圖[208],這里超導電極構成了一大一小結組成的SQUID,并在第一個結 (JJ1) 處增加了超導的探測電極.這種結構的優點在于,它可以同時進行多種測量: 利用隧穿探測電極可以進行隧穿探測,利用SQUID可以進行超導量子干涉實驗,還可以利用柵極對結區調控,將其中一個約瑟夫森結隔離開,實現對另外一個結的單獨測量.這種測量方式可以盡可能多地獲取樣品的信息,為MZM 的存在提供更加準確的實驗證據.因此,它彌補了單一測量方式的不足(隧穿或者約瑟夫森).圖10(f) 展示了基于該方案的測量結果 (利用退卷積從電導譜變換到態密度譜),可以清晰地觀察到存在幾條不同透射率的ABSs 能譜.另外,利用得到的能譜還能進一步提取CPR,并與基于極不對稱結 (調整結區大小或調節柵極電壓) 的測量結果進行比較,從而實現多種測量結果的交叉驗證.

5 總結與展望

MZM 遵從非阿貝爾統計,這是利用其實現拓撲量子計算的基礎,而拓撲超導則被認為是MZM的理想載體.目前,已經在本征拓撲超導和人工拓撲超導研究方面取得了許多令人振奮的進展.在實驗上,人們利用輸運手段已經觀察到了穩定的ZBCP、馬約拉納振蕩、超導島單電子庫侖阻塞譜、分數約瑟夫森效應、非正弦的CPR 等與MZM 相關的特征,這為進一步利用編織操作確認其非阿貝爾統計性質打下了基礎.此外,研究MZM 的輸運手段與當前的半導體制程工藝相兼容,這為今后構建拓撲量子比特,搭建通用量子計算機提供了技術支持.

盡管人們已經觀測到與MZM 相符的諸多輸運行為,但不容忽視的是,當前探測MZM 的實驗結果還存在拓撲平庸的解釋.為了得到更加可靠的MZM 信號,實驗上需要同時進行多種測量手段來相互佐證.這類實驗包括: 同時對納米線兩端進行隧穿探測[84,88,209]、隧穿譜和庫侖阻塞譜的聯合探測[177]、三端器件的電導矩陣探測[183,184]以及約瑟夫森器件上的隧穿探測[208,210]等.同時,實驗上還需要對已有的測量手段進一步優化.譬如,在接觸式探測實驗中,探測電極的引入會增強準粒子中毒過程,對MZM 的實現和探測都十分不利[211,212].為此,可以利用非接觸式的實驗方案來代替接觸式測量,包括約瑟夫森超流譜[213]、微波譜[31,214-216]、掃描SQUID 顯微譜[217,218]和快速電荷感應測量[219,220]等.另外,傳統的低頻探測手段很容易受到準粒子中毒的影響.因此,借鑒超導量子比特的高頻測量有望獲得更加可靠的特征信號[221-223].

選取2017年2月～2018年8月進行冠脈PCI術的心房顫動患者72例作為研究對象，以隨機分配法將其劃分為實驗組與對照組。其中，實驗組男20例，女16例，平均年齡（60.3±5.8）歲，存在高血壓與高脂血癥疾病各16例，8例存在糖尿病，充血性心衰與甲狀腺功能異常各4例，2例存在外周血管性疾病；對照組男19例，女17例，平均年齡（60.5±5.6）歲，16例存在高血壓，15例有高脂血癥，8例存在糖尿病，5例有充血性心衰，4例為甲狀腺功能異常，存在外周血管性疾病者2例。對兩組患者一般資料比較，差異無統計學意義（P＞0.05）。

當實驗上確定了MZM 的存在之后,人們需要通過編織實驗來驗證其非阿貝爾統計性質.理論上已經提出了多種編織MZM 的方案,如約瑟夫森三結[15]、三結納米線[224]、磁通渦旋編織[6]以及手性邊緣模編織[225]等.利用這些編織方案可以構建受拓撲保護的量子門操作,結合基于MZM 的拓撲量子比特,最終有望實現容錯的拓撲量子計算.