中華優秀傳統數學文化融入小學教學的策略

岳增成 文萍

【編者按】將中華優秀傳統數學文化引入小學數學教學，具有十分重要的教育價值?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》指出：課程內容要關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化。一段時間以來，有關數學文化的研究，業內取得了一定的成果。但有關中華優秀傳統數學文化進課堂，具體實施路徑的設定，與課程內容的深度融合，教學設計的系統性、整體性等問題還亟待解決。本期話題圍繞“關注中華優秀傳統數學文化，優化小學數學教學”展開探討。

一、用發展的眼光、整體的視角解讀素材

將中華優秀傳統數學文化融入小學教學首先面對的是素材問題。目前，課程教材中的中華優秀傳統文化的素材大多分布在中國傳統民俗（如服飾、飲食、節慶等）、中國古代數學（如數學名著、數學家、歷史名題等）中，是以片段的形式呈現的，以這些素材為課程資源開展教學很難實現基于數學史的小學數學文化教學的高層次應用——數學文化與數學思維的融通?；跀祵W史的小學數學文化教學的高層次應用是建立在數學文化脈絡上的數學學習，將數學內容賦予文化的意義，將數學文化建立于數學內容之上，既注重數學的思維，又關注數學的文化性，強調數學思維與數學文化的融通。因此，要將中華優秀傳統數學文化融入小學教學，首先要將中華優秀傳統文化置于數學歷史發展脈絡之中，將片段式的素材連續化，用發展的眼光、整體的視角審視其中的數學與文化。

比如記數系統，如果將甲骨文數碼與籌算數碼分開研究，研究的重點將是記數系統的記數規則，但將它們置于歷史的發展脈絡中進行研究，從甲骨文的十進累加法（記數是通過不同的計數單位累加實現的）到算籌的十進位值制（記數是通過基礎數字與數位實現的），同樣是十進制，滿十要進一，但記數符號減少，表示的數卻增多了，記憶負擔減輕的同時，記數的便捷性提高，這些都是因為中華民族以天才的智慧引入了數位，在甲骨文記數中滿十要創造一個新的記數符號，要記錄更多更大的數，需要引進更多的計數單位，而在算籌記數中，滿十要創造一個新的數位，記數符號的個數并未增加。從算籌到算盤，是農業、商業等的發展對算具發展的新需求，從本質上看算盤與算籌是一致的，但從計算速度上看，算盤更勝一籌。

再比如“比”，多版教材都是將比與除法建立聯系來定義比的，并將比與幾何比、配比建立聯系，那有了除法為什么還要有比？從幾何比、配比來認識比，學生感受到的是像不像、是否一樣甜等，較難實現比的存在的數學刻畫與比的意義的外在表現的統一。實際上，比的意義起源有四種，描述與測量的需要、物物交換的需要、合成與分配的需要、自然與美學現象。其中，描述與測量是人類的一種本能；物物交換是整體與整體的穩定關系，是商品自身價值的體現；合成與分配是一種部分與整體的不變關系，體現出的是性質的穩定與公平性；自然與美學是一種幾何關系，體現出的是像不像、美不美的問題。在物物交換方面，如《九章算術》中各種谷物的兌換關系；在合成與分配方面，如《考工記》中不同的銅、錫配比冶煉成的不同合金。中國古代勞動人民在這些方面表現出了對比的認識的先進水平。這兩種比的意義的起源，不僅豐富了比的意義，還實現了比的存在的數學刻畫與比的意義的外在表現的統一。

相較于一般的中華優秀傳統文化素材的解讀，在歷史發展脈絡中解讀中華優秀傳統數學文化雖更具挑戰性，但極具價值。也只有用發展的眼光、整體的視角對素材進行解讀，才能觸及數學內容的本質和數學背后的文化。

二、用推理、重構等方法加工素材

中華優秀傳統文化的人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新等教學功能的實現要建立在相關素材轉化為教學設計、教學設計轉化為教學實踐的基礎之上。在整個過程中，高認知水平教學任務的設計是關鍵，這也是目前影響小學教師開發高水平案例的關鍵。高認知水平教學任務要求學生形成關于數學概念和思想的深層次理解或能夠動手做數學，需要一定程度的認知努力，合理運用相關知識和經驗。面對過程與結果相對完整的中華優秀傳統數學文化素材，可以有多種方法實現課程素材到教學素材的轉化。

方法一是推理還原法，通過任務設計，讓學生通過推理、驗證還原歷史上的方法，在古今對照中理解知識的本質。在幫助學生理解算理的兩位數乘兩位數的拓展課中，如下圖依次呈現用算籌計算56×78的過程，然后讓學生猜測最后一張圖中間部分的數字是多少，并推理得出這個數字是怎么來的。要解決這個問題，首先需要學生按照算籌十進位值的特點推斷出這個數字是3900，然后要打破學生原有的認知結構。在進行兩位數乘兩位數時要將第二個乘數拆分成整十數與一位數，再用第一個乘數依次從低位乘起，促使學生進行大膽猜測，原有的拆分方式無法得出3900，要采用新的拆分方式對56進行拆分，低位算起也無法得出3900，高位算起恰好得出3900。課的最后讓學生對比古今的方法，學生在對比中會發現古今方法的算理相同、算法不同，與古代方法相比，今天的算法用了最少的步驟，保留了整個計算過程。

方法二是重構法，將學生的認知發展順序、知識的邏輯順序與歷史的發展順序融合起來，引導學生經歷知識的發生發展過程。比如中國是最早發明小數的國家，在遇到比1小的問題時，需要不斷創造新的計量單位，但這種方式沒有必要持續下去，此時引入間隔符號，小數就自然產生了，而且實現了整數與小數的統一。在三年級“小數的認識”的教學中，不從生活中的小數入手進行教學，而是從生活中進率為10的單位換算入手，結合數位順序表，大的計量單位換算為小的計量單位是學生的已知，符合退一當十，小的計量單位換算為大的計量單位是學生的未知，符合滿十進一。讓學生將小的計量單位換算為大的計量單位，并將轉化后的數值填入數位順序表后，對個位后的數位進行推理分析。在這個任務中，學生需要創造數位，建立數位之間的關系，并建立小數部分與分數之間的聯系。

方法三是問題提出法，將中華優秀傳統文化素材轉化為數學閱讀素材，供學生閱讀，提出問題，對問題進行分析后予以解決。比如，在課前呈現土圭之法的閱讀材料：“冬至這一天日影長，用8尺（184.8厘米）長的圭表來測算日影，日影長是一丈三尺五寸，約合現在3.12米，夏至這一天測算日影長應該是一尺五寸，約合現在35厘米，土圭測影子的方法為后來測算24節氣提供了一個比較科學的方法”。學生閱讀后，進行問題提出。再通過建立分類標準將學生提出的問題劃分為土圭之法的歷史、工具、測量、應用等類別，并構思問題解決的方案，即以什么樣的順序、借助何種工具、以何種方式、在什么樣的情境下進行問題解決。如果學生要解決土圭之法的歷史問題，便可以小組合作的方式，在課下完成調查，在課上進行匯報。師生通過討論確定解決方案后，由學生執行，最終完成項目學習。

將中華優秀傳統數學文化素材轉化為高認知水平的教學任務的方法還需要進一步探索，但高認知水平的教學任務需要學生的大膽猜測、深度參與、認知結構的解構與重構、推理與驗證。

三、用多種課型融合素材

目前，已有一些應用中華優秀傳統數學文化的嘗試，但是這些嘗試大多與拓展課相融合。事實上，中華優秀傳統數學文化可以與多種課型相融合。

在拓展課方面，《義務教育數學課程標準（2022年版）》已為我們提供了一些經典案例，如年月日的故事、土圭之法的故事、度量衡的故事等。也可開發其他跨學科的主題活動，如“中國古代音樂與數學”，從五音不全開始，借助數學閱讀引發學生對傳統音樂的思考，進而聚焦于音樂背后的數學原理——三分損益法，讓學生用數學的思維思考中華傳統文化，從用耳定音到用數學定音，學生在音樂理論的發展中，感悟優秀傳統數學文化。還可開發項目學習，比如“從天平到桿秤”，學生要成功制作天平，便要經歷單位重量確定的復雜過程，學會利用不同單位重量砝碼的組合確定物體的重量。在從天平演化為桿秤的過程中，學生可以探究杠桿原理，學會利用距離的遠近確定物體的重量。

在復習課方面，教師可以從知識測評入手，從測評中發現教與學的不足，從而進行針對性的復習。比如讓學生解釋[34]÷[23]=[34]×[32]的原因，以考查學生對分數除法算理的理解，并根據測評的結果引入中國古代的經分術，幫助學生從運算一致性的角度理解分數除法的算理。

在新授課方面，將中華優秀傳統數學文化與教學重點、難點相融合，幫助學生理解重點、化解難點。比如分數的發展，中國古代經歷了從量到特殊的率，再到一般的分數的過程。在這個過程中，特殊的率，比如一半[12]、少半[13]、大半[23]，是分數發展的關鍵一環，也是分數發展從量到率的一次飛躍，在教學中，可以讓學生從多類型的分物中識別出特殊的分數，并從部分與整體的關系的角度解釋這些特殊的分數，從而幫助學生理解分數關系的屬性，跨越從量到率的學習難點。

在練習課方面，可以從歷史名題入手，進行變式，從而幫助學生更好地認識、理解、應用中國古代數學中的各種“模型”。比如，《算法統宗》中的龜鱉同池問題：“三足團魚六眼龜，共同山下一深池。九十三足亂浮水，一百二眼將人窺?；虺鰶]，往東西，倚欄觀看不能知。有人算得無差錯，好酒重酌贈數杯?！睂⑵渥鳛榫毩曇耄寣W生識別出雞兔同籠的模型，進而呈現其他歷史名題或改編的題目供學生識別、應用、鞏固模型。

需要注意的是，在中華優秀傳統數學文化與多種課型融合時，前者是自變量，可以對其進行不同的加工以適合不同的課型。同時，為了凸顯中華優秀傳統數學文化，需要以其作為主線重構教學。

要將中華優秀傳統數學文化融入小學數學教學，在實踐層面，需要寬廣度、深層次的融合，在用發展的眼光、整體的視角解讀素材中的數學思維與數學文化的基礎上，利用推理、重構等方法將素材轉化為高認知水平的教學任務在各種課型中加以應用，最終實現中華優秀傳統數學文化的多元教學功能。同時，還需要解決教師開發案例時的“無米之炊”問題，小學數學教育共同體要合力構建中華優秀傳統數學文化的資料庫。在理念層面，要突破中華優秀傳統數學文化僅與民族認同等情感態度價值觀目標相匹配，僅與拓展課相結合的刻板印象，需要更全面、深刻地認識其教育價值的多元性與應用課型的普遍性。教師要避免將中華優秀傳統數學文化與其他民族的文化對立起來，要將其置于多元文化的情境中，才能更好地彰顯中華優秀傳統文化。此外，理念的更新與實踐的改進是相輔相成的，用理念引領實踐、在實踐中更新理念，在實踐、反思中更好地將中華優秀傳統數學文化融入小學教學。

（作者單位：杭州師范大學經亨頤教育學院 玉溪師范學院數學與信息技術學院）

本文系云南省教育廳科學研究基金項目“HPM視角下職前教師專業發展的研究與實踐（課題編號：2021J0660）”的研究成果。