基于探究能力發展的操作課教學實踐
——以“正方形的割補問題”為例

浙江體育職業技術學院 (311200) 徐羽

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》提出,選擇能引發學生思考的教學方式,改變單一講授式教學,注重發揮情景設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用,使學生在活動中逐步發展核心素養[1]. 基于此,發動學生自主思考,積極動手探究成為初中數學課堂不可或缺的重要教學形式. 基于探究能力發展的視角進行操作課的設計,有助于體現數學知識的學習規律,提高學生的應用能力、創新能力.

1 內容和內容解析

1.1 內容

素材出自浙教版八年級下冊課本第五章“特殊平行四邊形”的第3 節“正方形”課后的設計題,如圖1 所示.

1.2 內容解析

浙教版教材中“設計題”設置的初衷是為學生提高分析和解決問題的能力,并在數學中進行探索、實踐和創新提供了機會[2].

在同版教材八年級上冊課本第二章“特殊三角形”的第7 節“探索勾股定理”中同樣安排了設計題,主題是勾股定理的證明. 教材配套的教學參考書中建議教師借此設計題介紹畢達哥拉斯的證明方法(借助正方形的剪切組合). 兩道設計題都用到了正方形剪拼前后面積的不變性,上下冊的內容遙相呼應,符合學生認知的螺旋上升結構.

2 學生學情分析

學生已經完成了平行四邊形、特殊平行四邊形章節的學習,具備在正方形中借助勾股定理尋找或構造特定長度線段的能力.

紙片的拼剪對學生來說是非常熟悉且有趣的游戲. 不過,剪切之后如何拼成正方形,而且剪痕(分割線)數要最少,這需要學生將實際問題轉化為數學問題并進一步思考. 學生具備一定的自主探究與合作學習能力,但是如果問題解決的參與度不高或者不完整的話,在利用已知方法解決新問題以及提出新想法方面會有所不足.

根據以上分析,確定本節課的教學重點: 確定分割線(剪痕),形成解題思路;教學難點: 將實際問題轉化為數學問題并能進行類比遷移.

3 教學目標設置

本節課教學目標設置如下:

(1)通過剪拼活動前后的尋找分割線以及事后問題的證明,復習特殊四邊形相應的知識內容;

(2)借助方格紙,引導學生“以形定數”,總結“分割線”的尋找思路,培養學生的推理歸納能力;

(3)通過問題串的設置,將問題中的數量關系由特殊過渡到一般,培養學生用數學的眼光發現問題,通過知識的遷移,“以數馭形”,提高解決問題的能力.

4 教學策略分析

美國研究者Tulving 在研究重復測試和重復學習對記憶的不同影響中發現,學習-測試-測試-測試(STTT)模式在記憶效果上優于學習-測試-學習-測試(STST),而學習-學習-學習-測試(SSST)模式效果最差. 在深度理解效果上則是STST〉STTT〉SSST.心理學中測試效應告訴我們, 課堂學習滿堂灌,課后輔以作業練習是低效率的學習模式. 教師應當合理安排方法總結的時間節點,通過設置同層次的不同問題和同一問題的不同層次表述來調動學生學習的積極性,借助心理效應,達到更好的學習效果.

操作性的數學實踐課堂,要讓學生動手更要讓學生動腦.通過實踐幫助理解,理解之后又能進一步指導實踐. 要達到這一目標,需要提高學生的參與度,讓盡可能多的學生更為完整地參與到問題解決的全過程當中.

5 課堂展示過程

課前向學生發放印有大小相同正方形格子的A4 紙和空白A4 紙以及一張平行四邊形紙片(角)各一張.

5.1 問題提出

問題1: 怎樣用最少的分割線把一個平行四邊形紙片割補成一個矩形?

預設學生能很快作出分割方案: 如圖2 所示.

討論: 如果沒有“用最少的分割線”這一條件,會有什么影響?

形成想法: 如果沒有限制條件的話可以“隨意”割補,剪幾刀都可以. 那樣目標矩形的形狀不再唯一,但是面積不會改變.

問題2: 怎樣用最少的分割線吧一個矩形割補成含有角的平行四邊形?

預設學生能夠較快作出分割方案: 如圖3 所示.

討論: 結合這這兩題總結你是怎樣想到這些分割線的?請選擇其中一個問題證明最后割補的圖形符合目標圖形要求.

形成想法: 抓住起始圖形和目標圖形的幾何特征,借助分割線在起始圖形上構造目標圖形的關鍵元素后進行割補.

設計意圖: 起始的問題相對容易. 在解決問題的過程當中,讓學生明確“用最少的分割線”這一條件的意義,與此同時,明確了面積這一重要幾何量在此類問題中的不變性. 要求學生給出證明目的是引導學生將拼剪過程當中的數量關系提取出來并明確解決問題之后是需要推理論證的,這是與日常剪紙游戲不一樣的地方.

5.2 問題對比

問題3: 如何用最少的分割線把一個長為2 寬是1 的長方形紙片割補成一個正方形? 請用發下來的方格紙嘗試.

預設學生能較快作出分割方案: 如圖4 所示.

問題4: 圖5 是由8 個全等的邊長為1 的正方形構成的圖形. 能否只剪兩刀,將它分成三塊,拼成一個大正方形?

預設學生通過討論交流,合作嘗試,在問題3 的基礎上明確: 借助面積的不變性,得知目標正方形的邊長為由此可見,剪痕應為2×2 方格的對角線. 最后可以給出分割方案. 如圖6 所示.

設計意圖: 通過問題3,引導學生通過數的思考引導解決形的問題. 問題4 難度增加了,所以明確剪兩刀分成三塊組成大正方形,以求降低問題難度,讓學生圍繞數形結合的思考難度相對一致且更為連續. 學生通過幾個問題的嘗試,已經熟悉“找——剪——拼”這一操作流程. 通過角度與長度兩方面特征來確定分割線,通過對互余或者互補角的組合以及相等邊的重合來完成大正方形的拼圖.

5.3 獨立嘗試

問題5: 圖7 都是由5 個邊長為1 的正方形構成的圖形,任選一種圖形用最少的分割線將其剪拼成一個大正方形.

設計意圖: 問題5 的設置是一方面為了學生可以全員參與,讓每一個同學可以自主選擇問題,獨立的完成問題提升了問題的解決能力也提高了信心. 動作快的同學可以完成多個圖形的剪拼. 同學之間亦可相互比對. 另一方面,通過對5個小正方形的不同排列方式,讓學生在確定長度為的剪痕中比較不同的拼剪方法.

5.4 問題提升

問題6: 如圖8,一大一小兩個正方形,請用最少的分割線將其剪拼成一個大正方形并給出數學證明.

經過之前五個問題步步鋪墊,層層推進,此時給出設計題的最后一問. 會有學生注意到問題5 中的兩層圖形和這個問題形狀極其相似. 不同之處在于前者大正方形面積恰為小正方形面積的4 倍,而后者更具有一般性,正方形的邊長關系不再確定.解決該問題,需要學生將實際問題進一步抽象,在前題所得經驗基礎上抓住問題的前后聯系點,運用類比手段,遷移解題方法,進一步提高數學知識的應用能力.

預設部分學生可以給出拼割方案,如圖9 所示.

5.5 課堂總結及作業布置

小結: 在今天的拼剪活動中,你有那些收獲?

(1)類比歸納簡單問題,會給解決復雜問題帶來思路;

(2)數與形是一體兩面的關系. 圖形中暗含有數或者數量之間的關系,還可以依靠數來思考圖形問題;

(3)剪切問題不是僅僅依靠嘗試就可以的,需要數學的思考找到最少的分割線,完成后要通過數學證明來檢驗.

作業布置: 圖10 所示為三個全等的正方形構成的幾何圖形,請你切成最少的塊數,使其能拼成一個大正方形. (答案如圖11)

設計意圖: 學生的探究活動不應該隨著課堂的結束而結束. 該作業題不再提及正方形的邊長(對比問題5),相信此時學生已經心中有“數”,會主動以數馭形,完成拼剪要求. 雖然正方形的個數在減少,但是問題的復雜程度在增加. 由此題所引,部分同學會去思考如果正方形的個數是其他數目的時候,又會出現怎樣的拼剪方案.

6 教學反思

課堂教學方式應當是多種多樣,多姿多彩的. 或注重啟發引導,或強調合作探究,不一而足. 豐富的教學方式,多樣的教學手段,合理的問題編排,目的都是讓學生可以在實踐、探究、體驗、反思、交流等學習過程中積累活動經驗、感悟基本思想[1].

當數學課堂上有機會讓學生“動手”探究且活動可以伴隨課堂始終的時候,如何不失時機的讓學生“動腦”? 如何設置問題讓學生更好地經歷數學觀察、數學思考、數學表達? 如何通過引導,讓學生體會到數學是認識、理解、表達真實世界的工具? 相信只要教師在教學過程當中,積極思考,精心準備,勇于嘗試,定會給出美麗答卷,讓我們的學生在獲得解題經驗的同時也能提升數學智慧,發展核心素養.