數學運算策略的“三板斧”

江西省修水縣第一中學 (332400) 劉敏

數學運算是數學學科六大核心素養之一,如何正確理解數學運算,如何提高學生的運算能力,是我們在一線教學中急需解決的問題;筆者十多年的教學經驗發現許多學生對數學運算的理解不透徹,運算效率低下,只注重結果,不注重解題思路和解題邏輯;下面筆者通過一些實例就如何掌握一些常見的運算策略做出闡述,望能拋磚引玉!

1 通法不通,回歸本質

案例分析: 此解法通過消元,求導取得最值,是一種常規解法,也是一種通法,貌似毫無瑕疵,但是計算相當復雜,對學生的計算能力要求很高,此時,通過對該試題的深層次的分析和思考發現,這道題的結構和常見的均值不等式應用聯系緊密. 如果選擇雙換元思想,問題則迎刃而解.

2 變換角度,優化運算

案例分析: 此解法是通過變二元為一元、再換元,轉化為熟知的一元問題,再次換元利用均值不等式求得最值,此方法要求學生熟練掌握轉化與化歸思想和具備較強的計算能力,在較短的時間內完成困難重重,也就是第一板斧有些失效了. 我國數學家華羅庚曾說:“數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔離分家萬事休”,既然從代數的角度運算很困難,那我們換一個角度,從幾何的角度看.

利用幾何意義來求,直線AB過定點Q(a,b),與x軸,y軸分別交于點B和點表示的幾何意義就是ΔABC的周長,設ΔOMN的周長為l,由于OC是∠MON的平分線,E,F分別為切點,ΔABC的旁切圓為圓o,如圖1

圖1

圖2

圖3

3 對比分析,反思總結

案例3在ΔABC中, 設角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c, 記ΔABC的面積為S,且4a2=b2+2c2,則的最大值為___.

案例分析: 解法1 通過作高AH輔助線找到高h和邊長a的關系式,此方法對學生的直觀想象能力要求很高,不容易想到,似乎我們的第二板斧也失效了,再看看第一板斧的解法二和解法三; 也是學生最容易想到的.解法2 通過觀察已知條件,變三元為二元,再利用三角換元,最后轉化為只含一元的二次函數模型,然而這種轉化與化歸的思想方法太難, 同時對學生的代數計算能力要求比較高.解法3 通過消元變二元為一元,再換元轉化成二次函數,跟解法二一樣,這種轉化與化歸的思想需要學生在解題中多運用. 但是仍然會有很大難度,對于這種題型,有沒有一種可以讓大部分同學都可以有信心做出來的方法呢? 最好是能在課本中找到一種更本質的方法. 答案是有的,果不其然,在人民教育出版社普通高中課程標準試驗教科書A 版選修4-4 知識模塊坐標系與參數方程第一講“坐標系”第1 節“平面直角坐標系”中的例1,課本中給出的方法是利用坐標法求解,借助坐標法我們來看解法四.

解法四:

如果我們在平時的教學中告知學生多歸納總結,不斷反思,我們就可以得到這一類題的一個快速而且準確的解題模板,波利亞說過:“當我們成功的解決了一個好問題之后,我們應當去尋找更多的好問題,好問題如同某些蘑菇有些相像,它們能成堆的生長,找到一個以后,應當在周圍找找,很可能在附近就有好幾個”,就是需要能夠用程序化的思想理解與表達問題. 這就是第三板斧——模型化策略

4 教學反思

數學運算是解決數學問題的基本手段. 數學運算是演繹推理,是計算機解決問題的基礎. 現在的很多高中生計算能力很差,往往認為計算就是“死算”,而不注重多個思路的歸納總結,導致真正考試的時候要么不會,要么會而不全;新課程標準把數學運算作為六大核心素養之一,培養高中生運算能力迫在眉睫,廣大中學教師在教學中應培養學生規范化思考問題,培養優秀的運算品質,只有這樣,才能真正讓素養落地.