構建復數模型妙解數學問題

廣東省中山市煙洲中學 (528401) 閆偉

《普通高中數學課程標準(2020 年修訂)》中明確指出:數學源于對現實世界的抽象,基于抽象結構,通過符號運算、形式推理、模型構建等理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律[1]. 其中,“模型構建”是解決數學問題的一種有效途徑,但是在實際教學中卻較少得到重視.“模型構建”是通過對一類問題的抽象與推理,構建出解決問題的模型,實現復雜問題簡單化,從解題的角度來說避免了知識的零碎化,極大提高了解題效率.

復數是高中數學的重要組成部分,盡管在高考的比重不大,但是因為復數的代數形式、幾何形式、向量形式、三角形式以及指數形式與三角、幾何、代數等學科有著密切的聯系;其變換靈活,集數與形于一身,是我們解決數學問題的重要工具. 下面根據函數、三角函數、不等式、數列、二項式以及平面幾何、解析幾何試題的結構特征,建立復數模型,并運用復數及其相關知識解決高考模擬試題與自主招生試題,以期培養學生的建模素養與探究精神.

1 函數最值問題

例1已知x,y∈R, 且x+y+1 = 0, 求(x-2)2+(y-3)2的最小值.

解析令z1= (x-2)+(y-3)i,z2= 1-i,于是得到|z1|2=(x-2)2+(y-3)2,|z2|2=2,

由|z1|2|z2|2= |z1z2|2可知2((x-2)2+ (y-3)2) =((x-2)+(y-3))2,又因為x+y=-1 代入得到(x-2)2+(y-3)2的最小值為18,此時x=-1,y=0.

評注根據所給二元函數的特征,構造相應的復數,將其化成與復數模有關的問題,并利用|z1|2|z2|2= |z1z2|2解題,求解過程簡捷、高效.

評注本題采用了復數換元法求函數的最值,根據三個根式的特點,都是兩數的平方和,恰當的構造復數,進而結合復數的模的性質來消元求最值,復數的模的性質是解決代數問題的一大利器.

2 三角函數問題

例4若sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0. 求證: sin 3A+ sin 3B+ sin 3C= 3 sin(A+B+C);cos 3A+cos 3B+cos 3C=3 cos(A+B+C).

證明由題設條件,構造復數

根據復數相等的條件可知, sin 3A+ sin 3B+ sin 3C=3 sin(A+B+C);cos 3A+cos 3B+cos 3C=3 cos(A+B+C).

評注復數與三角函數的聯系主要依賴于復數的三角形式,借助復數的輻角運算可以巧妙地解決,本題根據題設條件構造相應的三個復數,利用復數的運算性質結合復數相等的條件求證結果.

3 不等式問題

評注結合不等式左邊的結構特征: 多個根式相加,根式中都是兩個數的平方和, 自然聯想到復數的模, 因此,構造復數借助的復數的性質: |z1| + |z2| +···+ |zn| ≥|z1+z2+···+zn|來證明,方便迅速.

4 平面幾何問題

圖1

圖2

評注復數的幾何意義是復平面上的點, 因此通過復平面可以實現復數與平面幾何之間的轉化; 本題根據條件AC⊥CD,AC=CD構造復數結合復數乘法的幾何意義建立相應的關系式,進而求得D點的軌跡——圓,再根據D點的軌跡求得兩點間的最大距離.

評注本題求解三角形的面積實質上解決D點到BC的距離問題,根據題設條件CA=CD,∠ACD= 60°構造復數利用復數的乘法幾何意義建立關系,進而結合三角函數有界性求最大距離,借助復數求解使得解題過程簡潔,極大降低了運算帶來的復雜度.

5 解析幾何問題

例 8如圖 3 所示,已知A(2,0),B點為半圓x2+y2=1(y≥0)上一動點,點C在x軸上方且ΔABC是BC為斜邊的等腰直角三角形,問B在何處時,O,C兩點距離最遠,最遠距離是多少?

圖3

解析設∠AOB=α(α∈[0,π]), 將平面坐標系視為復平面, 設點A,B,C對應的復數分別為zA,zB,zC,則zA= 2,zB= cosα+ i sinα, 因為AB=AC且∠BAC=90°,由復數乘法的幾何意義可知

6 二項式問題

評注賦值法是解決二項式展開式中的系數和的常用方法,由已知表達式特點構造復數,通過借助復數進行賦值并結合棣莫弗公式,實現高效解題.

7 數列問題

評注本題考查了數列和組合計數原理的相關知識,難度較大,先由題設求得{bn}通項的組合數,再根據組合表達式構造相應的二項式和復數,進而結合復數的運算性質進行轉化求解,較用組合知識解答避免了分類討論的復雜性,解題過程相對簡潔,明了.

結束語

以上例題足以說明構造復數模型求解數學問題的優越性,表明復數在高中數學中有著廣泛的應用. 利用復數模型解題的關鍵是通過觀察題設條件,構建契合解題需要的復數,并借助復數的相關知識進行求解,這就要求學生熟練掌握復數的有關性質并巧妙靈活地應用. 伴隨著新一輪的課程改革,對學生思維能力的要求越來越高,各類試題的變化也越來也靈活,通過機械刷題已經無法適應當下的高考. 因此,教師要轉變教學觀念,進而增強解題的靈活性,提高解決問題的能力和數學思維的修養.