同構視角下的數列求和與求通項

山東省濱州實驗中學 (256600) 李俊嶺 陳鳳華

“同構”是源于抽象代數中的一個專業術語,指的是具有保持結構的雙射. 換句話說,是描述具有不同表現形式的同一結構. 所謂同構思想,就是通過觀察代數式的結構特征,利用代數運算性質構造出統一的形式,進而抽象出函數或方程等熟悉的數學模型,然后或是脫去母函數的外衣,把函數值的關系轉化為自變量的關系,或是利用方程解的知識實現變量表達形式的轉化,從而化繁為簡,化難為易,化生為熟,實現解題過程的優化.

數列是一種特殊函數, 其呈現方式主要有兩種: 遞推關系與通項公式. 用遞推關系來呈現數列, 給出了項與項之間的內在關系, 給出了數列的變化規律和構造過程, 很多情況下對這種項與項之間的關系式, 通過適當變形, 易構造成變量不同, 但結構相同的兩個式子, 進而抽象出一個常函數模型來求解通項問題. 同時, 通項公式an=f(n)(n∈N*) 是數列的項關于項數的函數, 其中f(n) 多可拆分成g(n)-g(n-1) 的形式, 再結合前n項和Sn與an的關系an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*),則有Sn-g(n) =Sn-1-g(n-1), 從而通過同構構造常數列{Sn-g(n)},結合S1-g(1)的值,即可求得Sn. 本文探究了“同構思想”在數列中求和與求通項公式的一些妙用,以期拓展思維,培養學生抽象和化歸的思維能力,提升綜合素養.

一、“同構思想”在由遞推關系求通項公式中的應用

要想用同構的方法由遞推關系求通項公式,其關鍵是構造常數列,即通過代數變形構造形如f(n) =f(n+1)的等式,得到常數列{f(n)}(n∈N*),再由f(n) =f(1)求通項公式.

由上可知,對遞推式中加減的關于n的式子拆分也是構造常數列的關鍵,下面通過實例對常見拆分方法進行探究.

例2已知數列{an} 滿足a1= 2,an+1=an+ 2n(n∈N*),求數列{an}的通項公式.

解析由an+1=an+2n=an+n(n+1)-(n-1)n得an+1-n(n+1) =an-(n-1)n,即數列{an-(n-1)n}為常數列. 又a1- 1 × 0 = 2, 得an- (n- 1)n= 2, 即an=n2-n+2.

評注對形如an+1=an+λn+μ(n∈N*,λ,μ為常數)的遞推式中,所含的一次式進行拆分,要將其升冪到二次式才能實現同構,即

對于例2 中的遞推式求通項,常規方法是累加法,本文不再贅述.

評注形如an+1=qnan(q／= 1)的遞推式求通項,常規方法是累乘法. 這里通過構造常數列,使得解答過程更加的簡潔.

二、“同構思想”在數列求和中的應用

知道數列的通項,求其前n項和,是數列中最為常見的題型. 由數列前n項和的定義與上文對數列{an}的通項拆分方法,可以通過構造常數列來求Sn.

比如,在等差數列{an}中,an=pn+q(n∈N*,p,q為常數),為求其前n項和Sn,由

例4在數列{an}中,已知an=(2n+1)·3n(n∈N*),求數列{an}的前n項和Sn.

解析由變式3 中的方法,an=n·3n+1-(n-1)·3n,即Sn-Sn-1=n·3n+1-(n-1)·3n(n≥2),進一步整理得Sn-n·3n+1=Sn-1-(n-1)·3n,即數列{Sn-n·3n+1}為常數列. 又S1- 32= 0, 所以Sn-n·3n+1= 0, 即Sn=n·3n+1.

評注對于“差比數列”求前項和,常規的方法是錯位相減,即轉化為等比數列求和. 但過程煩瑣,計算復雜,學生難以得出正確答案. 通過構造常數列,大大簡化了求解過程,提高了正確度. 同時要看到,這種對通項拆分構造常數列與裂項相消的在形式上相近,但本質不同. 在“同構思想”指導下的裂項要求必須把an=f(n)拆分成an=g(n)-g(n-1)的形式,進而有Sn-g(n)=Sn-1-g(n-1),要保證Sn的角標與項中n的取值相一致,才能實現同構,而裂項相消中的裂項只需把有關項順次相消,項中n的變化未必鄰項連續.

變式5在數列{an}中,已知an=n2·3n(n∈N*),求數列{an}的前n項和Sn.

解析由

三、結束語

在學習中,換一種視角去觀察和思考所研究的對象,會有不同的感受與認識,把這些不同的感受和認識聯系與對比,又會產生新的認識,形成更高的觀點,使我們達到更高的境界. 將同構的思想引入到數列中來,也就是從代數和函數兩個角度進一步認識數列. 數列作為代數傳統意義上的內容,豐富的代數運算和代數變形應是處理相關問題的重要途徑,而在教學中,往往演變成了過多依賴套公式求和、求通項,以及求解其他數列問題,對學生的數學運算素養和數學思維能力的提高是不利的. 在同構思想的指導下,根據解題目標,對通項公式、遞推式進行代數變形,構造同一結構的代數式,讓學生體會數學內容是通過相關形式表達和發展的,從而對代數知識形成正確的認識,也為進一步的代數知識學習奠定基礎. 再就是在數列的概念、通項公式、前n項和等知識中,函數思想貫穿始終,數列的同構實際上是對函數思想的進一步應用. 我們在對項數和項之間的對應關系的探究中,獲取規律,抽象出同構式,既是在變化和動態中,尋找兩個量始終不變的函數關系. 教學中只有不斷地為學生創設情景,對有關數學思想方法不斷地去思考、探究、總結、提煉、應用,學生才會真正地對其理解與掌握.