再探圓錐曲線中的一類三線斜率關系

四川省名山中學 (625100) 高繼浩

文[1]探究了橢圓和雙曲線中一類三線斜率關系,得到了如下核心結論:

此結論結構美觀,但E1、E2兩點是關于y軸對稱的,這使筆者思考: 若E1、E2兩點不關于y軸對稱,則k1、k2、k三者之間的關系又如何? 經探究得到:

命題1已知橢圓= 1(a＞b＞0)和E1(λ1a,0)、E2(λ2a,0)(λ1,λ2／=±1)兩點,A為橢圓上動點,直線AE2與橢圓交于另一點B, 直線E1A、E1B與直線x=μa(μ／=λ1,λ2)分別交于M、N兩點,若直線ME2、NE2、AB的斜率分別為k1、k2、k,橢圓的離心率為e,則

證明如圖1, 顯然k1k2k／= 0, 設直線AB的方程為x=my+λ2a(m／=0), 與橢圓的方程聯立, 消去x得(b2m2+a2)y2+ 2λ2ab2my+a2b2(λ22-1)= 0, 設A(x1,y1),B(x2,y2),則

圖1

圖2

命題2-4 的證明與命題1 類似,從略.

對拋物線進行探究得到:

命題5已知拋物線y2=2px(p＞0) 和E1(λ1,0)、E2(λ2,0)(λ1,λ2／=0) 兩點,A為拋物線上動點, 直線AE2與拋物線交于另一點B, 直線E1A、E1B與直線x=μ(μ／=λ1,λ2)分別交于M、N兩點,若直線ME2、NE2、AB的斜率分別為k1、k2、k,則