一道解析幾何分點弦問題的深入探究

安徽省合肥市肥東縣城關中學 (231600) 王東海

在解析幾何研究中,直線與圓錐曲線相交問題一直是高考及各地模考的熱點和難點,這其中分點弦定值問題頗受命題專家的青睞. 事實上,分點弦定值問題就是在撲朔迷離的變化中去尋找分點弦比值之和、差的不變性. 正如張冀宙教授所言: 數學中到處都是變與不變的矛盾統一,數學研究變化,卻以找到其中的不變性作為歸宿. 尋找并欣賞數學中無處不在的不變性質,是把握數學的鑰匙之一.

1 考題呈現

題目(2023 年江蘇省高三二模)已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過焦點F的直線l交拋物線于M,N兩點,交y軸于E點,當點M的橫坐標為1 時,|MF|=2.

(1)若直線l的斜率為1,求弦長|MN|.

易得第(1)問C:y2=4x,|MN|=8. 第(2)問可以利用同構方程、直線參數方程、極坐標方程解答,得λ1+λ2=-1.試題平中見奇,內涵豐富,是具有研究性學習價值的好題.

2 背景探究

近年來,命題者開始挖掘高等幾何中一些素材來命制高考和模考中的圓錐曲線試題. 本文探討的模考題的命題背景是高等幾何中的極點和極線這塊內容. 為了能夠闡述清楚,先來探討一下本題涉及到的概念和性質:

定義1給出線段AB的內分點C和外分點D, 若, 則稱C,D調和分割線段AB(或線段AB被C,D調和分割),也稱點列A,B,C,D為調和點列.

定義2設兩點C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調和分割,則稱C,D是關于圓錐曲線Γ的一對調和共軛點.

定義3一點P關于圓錐曲線Γ的所有調和共軛點的軌跡為一條直線p,此時稱直線p為點P(關于Γ)的極線,點P稱為直線p(關于Γ)的極點.

如圖1, 此題中焦點F對應的極線恰為準線直線l交準線于S點,則由上述極點極線知識可知,M,N,F,S成調和點列,即有

圖1

再化簡此式得-2λ1-1=2λ2+1,從而解得λ1+λ2=-1.故而本題的命題背景實際上是極點極線理論的進一步推導.

事實上,掌握了以上命題背景,還可命制類似于考題的試題,比如將y軸換成其它直線,或將拋物線換成其它圓錐曲線等.

3 一般性探究

能否將試題第(2)問中的拋物線推廣至一般的拋物線?能否將焦點與準線推廣至一般的極點和極線呢?

4 類比探究

5 拓展探究

6 高考溯源

題1(2018 年高考北京卷第19 題)如圖2,已知拋物線C:y2=2px(p＞0) 經過點P(1,2), 過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y于N,設O為原點,求證:為定值.

圖2

證明設點A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx+1. 聯立直線l和C方程并消去y整理得:k2x2+(2k-4)x+1=0. 則