2023 年高考新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22 題的解法探究及溯本探源

陜西省榆林市吳堡中學(xué) (718200) 郭蒙

1 試題呈現(xiàn)

題目1(2023 年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第22 題)

(1) 證明: 當(dāng)0＜x＜1 時,x-x2＜sinx＜x.

(2) 已知函數(shù)f(x) = cosax-ln(1-x2),若x= 0 是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

此題是2018 年全國卷Ⅲ理科數(shù)學(xué)第21 題的姊妹題,該題目是:

溯源1(2018 年全國卷Ⅲ理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x,(1)略;

(2)若x=0 是f(x)的極大值點,求a的取值圍.

2018 年導(dǎo)數(shù)題號稱當(dāng)年最難的一道壓軸題,今年這道高考題,立意更新穎,內(nèi)容更豐富,考察函數(shù)單調(diào)性、極值等相關(guān)問題,將對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性等緊密聯(lián)系在一起,全面滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和應(yīng)用性的考察要求,發(fā)揮數(shù)學(xué)科目在人才選拔中的重要作用,是全面發(fā)展的素質(zhì)教育,育人理念,是高考從知識立意、能力立意到素質(zhì)立意的轉(zhuǎn)變,故而是一道非常精彩的壓軸題,難度較大,創(chuàng)新性極高,具有很強的選拔性[1].

2 解法探究

2.1 第(1)問的證明

證明設(shè)g(x) = sinx-(x-x2) = sinx-x+x2,x∈(0,1),g′(x) = cosx-1+2x,g′′(x) = 2-sinx＞0,因此g′(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞增,g′(x)＞g′(0) = 0, 故g(x) 在(0,1)上單調(diào)遞增,g(x)＞g(0) = 0, 即x-x2＜sinx. 設(shè)m(x) =x-sinx,x∈(0,1), 因為m′(x) = 1-cosx≥0,所以m(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞增,m(x)＞m(0) = 0, 因此sinx＜x,綜上,原不等式成立.

評注第一問常規(guī)題型,突出對基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的考察要求,第一問的結(jié)果為第二問作鋪墊,可以降低第二問的難度.

2.2 第(1)問的解答

當(dāng)x∈(0,x0)時,h(x)＜0,f′(x)＜0,因此f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,因為f(x)為偶函數(shù),所以f(x)在(-x0,0)上單調(diào)遞增,符合題意,圖象如右圖所示.

(2)當(dāng)a=0 時,

f(x)=1-ln(1-x2)≥1-ln 1=1=f(0),不滿足題意,舍去.

評注由于f(x)為偶函數(shù),只需討論f(x)在(0,1)上的情況,又cos(-ax)=cosax,只需討論a≥0 的情形,利用第(1)問結(jié)論,將三角函數(shù)放縮為一次和二次函數(shù),降低了試題的難度,由于函數(shù)的極值點是函數(shù)的局部性質(zhì),因此只需考慮函數(shù)在x=0 附近的情況.

其中o((x-x0)n)為(x-x0)n的高階無窮小量,此公式又稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式. 泰勒公式的作用在于任意一個可導(dǎo)函數(shù)都可用多項式函數(shù)來逼近,為解決一些復(fù)雜函數(shù)問題帶來新的視角,也為高考導(dǎo)數(shù)壓軸題提供命題的立意與背景,利用高觀點對其進行溯本探源是很有必要的. 當(dāng)x0= 0 時的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 常見的泰勒公式有:

極值的第二充分條件[3]設(shè)若函數(shù)f(x) 在點x0的某鄰域U(x0;δ) 內(nèi)一階可導(dǎo), 在x=x0處二階可導(dǎo), 且f′(x0) = 0,f′′(x0)／= 0. (i)若f′′(x0)＜0, 則函數(shù)f(x)在x0取得極大值;(ii)若f′′(x0)＞0,則函數(shù)f(x)在x0取得極小值.

極值的第三充分條件[3]設(shè)若函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)存在直到n-1 階的導(dǎo)函數(shù),在x=x0處n階可導(dǎo),且f(k)(x0)=0,(k=0,1,2,···,n-1),f(n)(x0)／=0,則(i)當(dāng)n為偶數(shù)時,函數(shù)f(x)在x0取得極值,且當(dāng)f(n)(x0)＜0 時取極大值,f(n)(x0)＞0 時取極小值;(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時,函數(shù)f(x)在x0處不取極值.

評注利用大學(xué)數(shù)學(xué)分析知識,很容易得到參數(shù)a的范圍,可以利用此法來探路,再利用分類討論完美解答此題,為學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊.

3 結(jié)語

今年這道高考題,考察學(xué)生對極值點概念的理解,彰顯了試題綜合性的要求,是一道非常精彩的壓軸題,難度較大,創(chuàng)新性極高,發(fā)揮了數(shù)學(xué)科目在高考中的選拔功能,我們用8種方法探究問題,激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神. 用高觀點來指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)是很有必要的,可以將問題化難為易,變得簡單明了,很多問題只有在高觀點下才能得到更深刻的理解,只有厘清高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合點,深入剖析高考熱點問題,才能準(zhǔn)確把握高考命題的新方向[4]. 在高三一輪復(fù)習(xí)時,老師們應(yīng)重視基礎(chǔ)知識,強化基礎(chǔ)知識的落實,為二輪復(fù)習(xí)做好鋪墊,重視通性通法,重視知識的形成過程,淡化技巧,做完題要反思,體會出題人的意圖,明確考察的知識與能力,落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),重視導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列等的多元融合,適當(dāng)滲透高觀點去探究問題的本質(zhì),開闊解題思路,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),希望本文對讀者的學(xué)習(xí)有一定的啟發(fā)作用.