2023 年高考新課標Ⅰ卷第17 題的解法分析

廣東省惠州市教育科學研究院 (516001) 李曉波

2023 年的高考已落下帷幕,今年的新課標Ⅰ卷第17 題題目簡明而清新,突出考查學生的三角函數知識與數形結合思想及數學思維的嚴謹性,要求學生能深刻理解三角形的本質,三角形中邊與角的關系. 它看起來難度不大,但答題情況并不理想,筆者按自己的解答撰文評析,并對此題進行了拓展改編,供讀者參考.

題目(2023 年高考新課標Ⅰ卷第17 題)在ΔABC 中,A+B =3C,2 sin(A-C)=sin B.

(1)求sin A;(2)設AB =5,求AB 邊上的高.

一、試題分析

從試題自身來看,主要考察了正余弦定理、誘導公式、兩角和與差的三角函數值,同角三角函數關系、三角形面積公式等. 本試題構建了一個銳角三角形模型,通過預設一些邊角關系,求線段與角的值.

從思想方法來看, 主要考察化歸思想與數形結合思想.從核心素養來看,主要考察邏輯推理、直觀想象、數學運算素養,從關鍵能力來看,主要考察了邏輯推理能力、運算求解能力.

從命題思路來看,在第(1)問中,命題者通過構建三角形中的2 個角的關系,需要解題者利用三角形內角和這一隱形條件, 也是考查三角形的本質, 解出一個角C, 再構建一個2 sin(A-C) = sin B,即三個角的三角函數關系,考查學生化歸的能力,通過公式和∠C 的值,最終把三個角關系,化為一個角的三角函數,即求解sin A 的值.為

第(2)問中,命題者通過構建一個面積是確定的三角形,來求一邊上的高. 學生需要利用第(1)問的結論,即角的值,結合第(2)問條件AB的值,通過正弦定理或余弦定理,確定三角形的邊,從而求出AB邊上的高,當然也可以用等面積法來求高.

還可以看出,命題者為了降低難度,構建了一個銳角三角形,減少了學生分類的困難.

二、解法分析

首先,考慮第(1)問的4 種解法.

圖1

圖2

三、試題的改編

原題的模型是一個靜態的問題,只涉及三角形的內部特征,筆者嘗試在不改變原始條件的情況下,把靜態問題變成動態問題,由三角形內部擴展到外部.

改編題已知在ΔABC中,A+B= 3C,2 sin(A-C) =sinB.

(1)求sinA;

圖3

(2)設AB=5,若D為三角形ABC的外接圓上的一點,且點D在劣弧AC上,求SΔACD

解法2(幾何法)記ΔABC的外接圓圓心為O.

如圖4,作OM⊥AC,則M為AC的中點, 延長OM至與交于E, 當D與E重合,SΔACD的面積最大, 2R=此時則

圖4

評析此改編方式把一個靜態的三角形變成了一個動態的三角形,由只分析三角形內部到三角形外部.