2023 年高考乙卷理科第20 題的探究與溯源

甘肅省蘭州市第六中學(xué) (730060) 焦永垚

一、試題呈現(xiàn)

二、拓展探究

這道高考試題中線段MN的中點(diǎn)(0,3)恰好為橢圓的上頂點(diǎn),經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),此結(jié)論在一般的橢圓中也成立,于是有如下結(jié)論:

三、探究延伸

為了更進(jìn)一步探明試題所蘊(yùn)含的一般本質(zhì),下面先介紹關(guān)于調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束的幾個(gè)定義和性質(zhì).

定義1[1]對(duì)于線段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D, 若滿足, 則稱AB調(diào)和分割線段CD或者點(diǎn)列A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列.

定義2[1]設(shè)兩點(diǎn)C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調(diào)和分割,則稱C,D是關(guān)于圓錐曲線Γ 的一對(duì)調(diào)和共軛點(diǎn).

定義3[1]一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ 的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線p,稱p為點(diǎn)P(關(guān)于Γ)的極線,點(diǎn)P稱為直線p(關(guān)于Γ)的極點(diǎn).

特別地,當(dāng)P在Γ 外時(shí),其極線p是從點(diǎn)P所引曲線Γ的兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在直線)[1].

定義4[1]若A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列,過(guò)此點(diǎn)列所在直線外任一點(diǎn)P作射線PA,PB,PC,PD,則稱這四條射線為調(diào)和線束.

性質(zhì)1[1][2]如圖1, 如果PA,PB,PC,PD為調(diào)和線束,且PD平行于AB,則PC必平分線段AB.

圖1

有了以上這四個(gè)定義和一個(gè)性質(zhì),我們就可以把上述高考試題的結(jié)論推廣到更一般的情形,得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì):

結(jié)論4已知點(diǎn)T(m,n)為圓錐曲線Γ 外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T引Γ 的兩條切線TA,TB,切點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)T的一條割線l與Γ 交于P,Q兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作切線TA的平行線,與直線AP,AQ的交點(diǎn)分別為M,N,則|BM|=|BN|.

證明如圖2, 設(shè)直線PQ與AB交于點(diǎn)E, 因?yàn)锳B為點(diǎn)T所對(duì)應(yīng)的極線, 所以T,P,E,Q是調(diào)和點(diǎn)列, 則AT,AP,AE,AQ是調(diào)和線束, 又因?yàn)镸N//AT, 所以由性質(zhì)1 可知點(diǎn)B是MN的中點(diǎn),故|BM|=|BN|.

圖2

如圖3 所示,若將結(jié)論4 中的條件“過(guò)點(diǎn)B作切線TA的平行線, 與直線AP,AQ的交點(diǎn)分別為M,N”改為“過(guò)點(diǎn)T作直線AB的平行線, 與直線AP,AQ的交點(diǎn)分別為M,N”,結(jié)論仍成立,于是就有如下結(jié)論5:

圖3

結(jié)論5已知點(diǎn)T(m,n)為圓錐曲線Γ 外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T引Γ 的兩條切線TA,TB,切點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)T的一條割線l與Γ 交于P,Q兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T作直線AB的平行線,與直線AP,AQ分別交于點(diǎn)M,N,則|TM|=|TN|.

證明過(guò)程與結(jié)論4 類(lèi)似,略.

四、試題溯源

由性質(zhì)1 可知,上述結(jié)論4 與結(jié)論5 的本質(zhì)是一樣的,因此前文的高考試題與下面這幾道高考題同根同源:

題源1(2022 年高考乙卷理科第20 題) 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn), 對(duì)稱軸為x軸、y軸, 且過(guò)A(0,-2),兩點(diǎn).

(1)求E的方程;

(2) 設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,-2) 的直線交E與M,N兩點(diǎn), 過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T, 點(diǎn)H滿足證明: 直線HN過(guò)定點(diǎn).

分析易得橢圓E的方程為下面來(lái)分析第(2)問(wèn).

如圖4,點(diǎn)P(1,-2)對(duì)應(yīng)的極線為即此方程恰好是直線AB的方程, 所以直線PA,PB都與橢圓E相切,又AP//MH,所以由結(jié)論4 可得T為線段MH的中點(diǎn),故點(diǎn)H在直線AN上,即直線HN過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

圖4

題源2(2017 年高考北京卷理科第18 題)已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1). 過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).

(1) 求拋物線C 的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

(2)求證: A 為線段BM的中點(diǎn).

分析易得拋物線C 的方程為y2= x. 對(duì)于第(2)問(wèn), 如圖5, 直線DP 的方程為,易得此直線恰好與拋物線C 相切, 過(guò)點(diǎn)D 的另一條切線為y 軸,切點(diǎn)為O,且MB//OD,所以由結(jié)論4 可得A 為線段BM 的中點(diǎn).

圖5

題源3(2020 年高考北京卷第20 題) 已知橢圓過(guò)點(diǎn)A(-2,-1),且a=2b.

(1)求橢圓C 的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)B(-4,0)的直線l 交橢圓C 于點(diǎn)M,N,直線MA,NA 分別交直線x=-4 于點(diǎn)P,Q,求的值.

分析易得橢圓C 的方程為下面來(lái)分析第(2)問(wèn). 如圖6, 過(guò)點(diǎn)A 作x 軸的垂線, 交直線MN 于點(diǎn)E,與橢圓C 的另一個(gè)交點(diǎn)為A′. 點(diǎn)B(-4,0)對(duì)應(yīng)的極線,即x = -2,此方程恰好是直線AA′的方程,所以直線BA,BA′都與橢圓C 相切,又PQ//AA′,所以由結(jié)論5 可得B 為線段PQ 的中點(diǎn),故

圖6

五、感悟反思

從歷年的高考試題可以看出, 很多高考圓錐曲線試題的命制都以極點(diǎn)與極線、調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)與線束的理論為指導(dǎo). 雖然這些知識(shí)不屬于高考考查的內(nèi)容,但是了解極點(diǎn)與極線、調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束的相關(guān)知識(shí),能夠幫助學(xué)生快速明確解題方向,就如本文的這道高考試題,如果學(xué)生了解調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束的相關(guān)知識(shí),就很容易預(yù)見(jiàn)點(diǎn)B 就是線段MN 的中點(diǎn),這就為學(xué)生指明了解決問(wèn)題的方向. 另外,在高三備考復(fù)習(xí)中, 教師和學(xué)生要重視往年高考題的導(dǎo)向作用,因?yàn)樵S多高考試題都可以從往年的高考題中找到原型,就如本文的這道高考題,如果學(xué)生考前對(duì)題源1、題源2 及題源3這類(lèi)高考題的解法、命題背景、一般規(guī)律等做過(guò)總結(jié)和歸納,那么在面對(duì)例1 時(shí)就能夠居高臨下,直入主題,從而提高解題的成功率.