變式教學錘煉思維
——對2023 年一道函數與導數高考題聯想探究

安徽省太湖中學 (246400) 李昭平 安徽省岳西中學 (246600) 查美玲

1 試題簡析

題目(2023 年新課標Ⅰ卷第19 題) 已知函數f(x) =a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明: 當a＞0 時,

本題第(1)問討論f(x)的單調性, 考查導函數的符號,對參數a分類討論即可,屬于基本問題. 第(2)問則是含有參數a的指數函數和正比例函數的復合型函數問題,考查函數不等式的證明,也是常見的問題. 對此題做聯想探究,獲得以下結論.

2 聯想探究

2.1 逆向思考

◆ 對高考題中的第(1)問作逆向思考,題設與結論互換并適當改變,得到

聯想1若函數f(x) =a(ex+a)-x在(-∞,0)內單調遞減,則實數a的取值范圍是____.

解析依題意f′(x) =aex-1 ≤0 對?x∈(-∞,0)恒成立,即所以a≤1. 故實數a的取值范圍是(-∞,1].

聯想2若函數f(x) =a(ex+a)-x在(0,+∞)內單調遞增,則實數a的取值范圍是____.

解析依題意f′(x) =aex-1 ≥0 對?x∈(0,+∞)內恒成立,即所以a≥1. 故實數a的取值范圍是[1,+∞).

◆ 對高考題中的第(2)問作逆向思考,題設與結論互換,得到

聯想3已知函數f(x) =a(ex+a) -x. 若f(x)＞在x∈R 上恒成立,則實數a的取值范圍是____.

2.2 改變條件

◆ 將高考題中的條件變為“f(x)的最小值為2”,則得到

聯想4若函數f(x) =a(ex+a)-x的最小值為2,則實數a的值是____.

解析易得f(x)min=f(-lna) = 1+a2+lna. 因此1+a2+lna=2,a2+lna-1=0. 令g(a)=a2+lna-1,a＞0. 則,g(a)在(0,+∞)內單調遞增. 又g(1) = 0,所以a2+lna-1 = 0 有唯一解a= 1. 故實數a的值為1.

◆ 將高考題中的條件變為“關于x的方程a(ex+a)-x=2 有且僅有一個實數解”,則得到

聯想5若關于x的方程a(ex+a)-x=2 有且僅有一個實數解,則實數a的取值范圍是____.

解析令g(x) =a(ex+a) -x- 2, 依題意g(x)有且僅有一個零點.g′(x) =aex- 1. 則當a≤ 0時g′(x)＜0,g(x) 在R 上單調遞減. 又x→-∞時g(x)=aex+a2-x-2→+∞,且g(a2-2)=aea2-2≤0,故此時g(x)在R 上存在唯一零點. 當a＞0 時,由g′(x)=0 得= -lna.x∈(-∞,-lna)時g′(x)＜0,g(x)單調遞減;x∈(-lna,+∞)時g′(x)＞0,g(x)單調遞增. 因此g(x)≥g(-lna)=a2+lna-1. 又x→-∞時g(x)→+∞,x→+∞時g(x)→+∞, 所以由a2+lna-1 = 0 解得a=1,此時g(x)有唯一零點.

綜上可知,方程a(ex+a)-x=2 有且僅有一個實數解時,實數a的取值范圍是(-∞,0]∪{1}.

2.3 類比引申

◆ 將高考題已知函數中的參數a變換位置, 即變成f(x)=ex+a-ax,類比引申得到

聯想6已知函數f(x)=ex+a-ax.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明: 當a＞0 時,

解析(1)f′(x)=ex-a,x∈R.

①當a≤0 時,f′(x)＞0 恒成立.

②當a＞0 時, 由f′(x) = 0 得ex=a, 即x= lna.當x∈(-∞,lna) 時,f′(x)＜0; 當x∈(lna,+∞) 時,f′(x)＞0.

綜上所述,當a≤0 時,f(x)在R 上單調遞增;當a＞0時,f(x)在(-∞,lna)內單調遞減,在(lna,+∞)內單調遞增.

◆ ex與lnx是一對孿生兄弟,將高考題已知函數中的ex變成lnx,類比引申得到

聯想8已知函數f(x)=a(lnx+a)-x.

3 反思啟示

3.1 變式教學的價值. 以上我們從一道最新高考題出發,得到9 個聯想. 在整個過程中,融觀察分析、直覺猜想、邏輯證明于一體,恰當運用到復習課堂中,讓學生經歷一次再發現的過程,學生的解題能力和數學素養得到提高. 變式教學能將數學學科的科學之美、思維之美、聯想之美、對稱之美、和諧之美展示出來,增強學生的積極情感和學習熱情. 這正是數學新課程倡導的教學理念和方法.

3.2 變式教學的方式. 一般有兩種,一是利用課本題,剖析思路、總結方法、運用升華,即我們常說的“源于課本、變于課本和高于課本”. 在教學過程中, 對課本中一些經典的題目,要進行深刻的探究. 對于可以一題多解的題目,鼓勵學生交流討論,歸納各種方法的共性,有利于學生對數學思想的感悟和數學方法的掌握. 教師還可以引導學生進行變式訓練,交換條件和結論是否依然成立,改變題目條件由特殊情況聯想到一般情況是否適用等等,讓學生在問題解決的過程中體會變與不變,感悟問題的本質. 教師還可以引導學生變式設疑,調動起學生的積極思維,引導他們深入思考,有效避免單一、重復的題海戰術. 二是利用一些具有代表性、典型性、示范性和拓展性的好高考題或好模考題,對其思考、發掘、研究,通過特殊聯想、逆向聯想、類比聯想、引申聯想、混合聯想等思維方式,錘煉數學思維,拓寬解題空間.