簡約而不簡單平和而不平淡
——2023 年高考新課標Ⅰ卷第22 題的解法探究與縱橫探索

江蘇省徐州市第一中學 (221140) 許麗

題目(2023 年高考新課標Ⅰ卷第22 題)在直角坐標系xOy中,點P到x軸的距離等于點P到點的距離,記動點P的軌跡為W.

(1)求W的方程;

(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上, 證明: 矩形ABCD的周長大于

1. 問題分析

第(2)問敘述非常簡練,但是包含眾多變化,三點的位置不明確.

實際上的構圖就是過曲線上一點作兩條互相垂直的直線,這在圓錐曲線中是無比尋常的構圖方式,解決起來是否也會得心應手呢?不妨設A,B,D三點在W上, 且AB⊥AD,如圖1.

圖1

2. 解法探究

視角1 設斜率

這是一個雙變量求最值問題. 我們可以采用主元法,先將a看成變量,處理的基本思路有兩種.

思路1(函數的性質)考慮絕對值函數

利用單調性確定其最小值:

注: 以上去絕對值后得到關于k的式子,都只展示了一種求最值的做法,其實都可以用基本不等式、均值不等式或導數進行解決.

視角2 設點

3. 考題溯源

與本題最有淵源的就是下面這道競賽題,改正方形為長方形,提高了運動的靈活性,變面積為周長的探求,增加了模型的復雜度.

競賽題源(1998 年上海市數學競賽試題)已知拋物線y=x2上有一個正方形的三個頂點A,B,C,求這種正方形面積的最小值.

事實上,這類問題主要研究的是過曲線上同一點且互相垂直的兩弦,是圓錐曲線中的一類經典問題,常考常新.

課本題源(選擇性必修第一冊教材習題)在平面直角坐標系xOy中,已知直線y=x-2 與拋物線y2=2x相交于點A,B. 求證:OA⊥OB.

本題中的直線若換成y=k(x-2)仍然有OA⊥OB成立,換句話說就是滿足OA⊥OB的直線AB過定點(2,0).下面這道高考題就把這種過定點的結論隱藏在|DQ|為定值的探究中.

(1)求C的方程;

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足. 證明: 存在定點Q,使得|DQ|為定值.

通過溯源,更顯命題者的匠心,考題看似親切小巧,實則內涵豐富,反映出新高考“平和中有新意、靈活中見潛力、實踐中出真知”的命題追求,意在引導中學把教學重點從總結解題技巧轉向應用知識解決問題,著力發展學生的核心素養.

4. 縱橫探索

推廣到一般的拋物線,可得如下命題:

命題3 的證明留給有興趣的讀者.