遵循概念形成路徑 提升問題解決能力

張銀德 李娟

解決行程問題的關鍵是理解速度模型。這對四年級學生來說有一定的難度。如何通過《速度、時間和路程》一課的教學，讓學生更好地理解速度概念，建構速度模型，獲得變式應用能力，而非僅僅學會套用相關公式呢？

一、教學內容的學理分析

《速度、時間和路程》是人教版數學四年級上冊第四單元《三位數乘兩位數》的內容。整個單元有5個例題和2個練習，《教師教學用書》建議用6課時教學。從課時分配來看，《速度、時間和路程》原則上只有1課時；從教材編排來看，作為與乘法相關的常見數量關系，“速度、時間和路程”與“單價、數量和總價”的地位看似相同、實則不同，對于“單價、數量和總價”，學生在生活中常常見到，有經驗、有感受，而對于“速度、時間和路程”，學生是說不清道不明的；從數量關系來看，“單價、數量和總價”與個數有關，“速度、時間和路程”與物理量有關，后者的理解難度更大。

對于本課的教學，《教師教學用書》建議“結合生活實際理解概念內涵”，“結合概念意義，自主建構數量關系”；《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，“感悟模型中量綱（即單位）的意義，提升問題解決的能力”。筆者認為，理解速度概念和學會解決問題的方法是學生問題解決能力提升的“一體兩面”，二者相輔相成、缺一不可。要想提升學生的問題解決能力，教師就要遵循概念的形成路徑，引導學生把握速度概念的本質，以靈活解決不同變式的實際問題。

二、教學實施的實踐路徑

1.喚醒已有認知，初識概念

學生學習速度概念之前往往存在僅根據行進終點的遠近判斷速度快慢的認知誤區。基于此，教師可以結合學生的生活經驗，創設“比快慢”的問題情境，引導學生從“僅根據行進終點的遠近判斷速度快慢”的初始經驗展開學習，并觀測學生的實際認知水平，動態調整后續教學，逐步引導學生糾正、完善、深化對速度概念的認知。

課堂上，筆者出示如下行程圖，引導學生依次思考以下4個問題。

①通過看圖，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？②如果小牛7分鐘跑了700米，小熊7分鐘跑了900米，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？③如果小牛跑350米用5分鐘，小熊跑350米用7分鐘，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？④如果小牛5分鐘跑了300米，小熊10分鐘跑了600米，你能判定小牛和小熊誰跑得快嗎？這4個問題緊扣主題、逐層深入：問題①僅有“路程”一個量，問題②有“時間、路程”兩個量且“時間”相同，問題③有“時間、路程”兩個量且“路程”相同，問題④有“時間、路程”兩個量且均成倍數關系。這樣的問題情境符合學生的認知基礎，能喚醒學生的已有經驗，使學生通過對比、辨析，初步感知速度概念，認識到比快慢的前提是要“對齊”一個量，即固定時間或固定路程。同時，在筆者的點撥下，學生還意識到這與度量中的零刻度對齊、計算中的數位對齊道理相通。

解決以上問題的過程中，筆者重點關注的不是學生獲得問題本身的結果，而是學生思維素養的提升。想明白比較快慢的道理是學生后續解決稍復雜行程問題的基礎。

2.復雜問題驅動，建立標準

維果茨基認為，概念的學習有“遷移、給概念下定義、在新情境中解決問題”三個困難。要深化學生對速度的認知，教師還要創設更復雜的問題情境，將學生的思維引向深入。

課堂上，小牛、小熊的故事還在繼續。此處，筆者引入了一個新朋友——小象，創設了如下圖所示的稍復雜的問題情境。

怎樣用數學的方式表達問題情境中的數學信息是學生首先要解決的問題，也是學生提升問題解決能力的關鍵。筆者引導學生先根據路程畫出3條線段，再分別根據時間把線段平均分段，并標注相關數據（如下圖）。

從線段圖中可以看出，小牛和小熊的路程相同、時間不同，小熊和小象的時間相同、路程不同。筆者引導學生通過“對齊”一個量展開分析，解決“小象和小熊”“小牛和小熊”誰跑得快的問題，以強化學生對速度的認知。隨著“小牛比小熊跑得快”“小象比小熊跑得快”結論的揭曉，新的問題“小牛和小象誰跑得快”產生了。面對新問題，學生的原有認知既是學習支架又可能成為學習障礙。基于此，筆者幫助學生解構舊概念，建立更完善的評判速度快慢的標準。

具體如何做呢？筆者引導學生觀察表示時間的數字（6和8）特征，想辦法“對齊”時間這個量。學生提出可以比較24分鐘內小熊和小象所跑的路程：小象8分鐘跑了544米，24分鐘應跑“544×3=1632”米；小牛6分鐘跑了432米，24分鐘應跑“432×4=1728”米。這說明小牛比小象跑得快。

教學設計從最初只考慮路程這一個量過渡到對比相同時間內的路程，學生通過稍復雜問題的解決，加深了對速度、時間和路程之間關系的理解。

3.提升價值定位，提煉模型

一般地，我們認為這節課是問題解決的課型，為什么筆者的教學設計更傾向于概念教學呢？因為速度相關問題的解決過程就是學生形成速度概念的過程。學生需要在解決簡單問題的過程中初步感知概念，然后在解決稍復雜問題的過程中深入理解概念、建立思考模式，再在變式問題的對比分析中提煉基本模型，形成計算公式。這是速度概念形成的基本路徑。

在學生學會分析、解決稍復雜問題后，筆者呈現變式問題：小貓4分鐘跑了20米，小狗7分鐘跑了56米，小貓、小狗誰跑得快？筆者引導學生觀察之前小牛、小熊、小象跑步情況的線段圖，學生發現“6分鐘”是由6個1分鐘累加起來的，“8分鐘”是由8個1分鐘累加起來的。筆者進一步引導學生嘗試比較單位時間內的路程，即比較小貓和小狗1分鐘所跑路程的長短，以此判定速度快慢。小貓4分鐘跑了20米，平均每分鐘跑了“20÷4=5”米；小狗7分鐘跑了56米，平均每分鐘跑了“56÷7=8”米。所以小狗比小貓跑得快。這個問題的解決基于“每分鐘跑5米”與“每分鐘跑8米”的對比。

從最初只考慮路程這一個量到對比相同時間內的路程，再到對比單位時間內的路程，學生采用歸納的學習方式將速度概念的本質提煉出來，理解了“速度是單位時間內走過的路程”的真正含義，建構了“速度=路程÷時間”的模型，并由此變式得出“路程=速度×時間”“時間=路程÷速度”的模型。

后續，筆者引導學生通過畫一畫的方式表示“5米/分”。在學生只畫1段線段表示1分鐘走5米的情況下，筆者引導學生畫2段、標注“2分鐘走10米”來表示，畫3段、標注“3分鐘走15米”來表示，使學生深度體會到“速度是單位時間內走過的路程”。

（作者單位：張銀德，棗陽市王城鎮中心學校；李娟，棗陽市教學研究室）

責任編輯? 劉佳