理解概念本質 建構數學模型

璩燕

行程問題是關于“速度、時間、路程”三者之間關系的問題。行程問題的教學有利于學生發展邏輯思維，提高運用多種方法解決問題的能力。教學中，如何引導學生借助“線段圖”等分析復雜行程問題中的數量關系？如何幫助學生深入理解速度、時間、路程三者之間的關系，更好地解答不同變式的相關實際問題？如何結合解題方法的教學，培養學生的求異思維？本期，我們討論如何更好地教學行程問題。

“速度”不同于可以直接用工具度量的“路程”和“時間”，它是通過“路程”和“時間”間接度量的，是路程和時間的比。數量關系的學習重點不僅是數學表達，更重要的是理解每個數量的意義。因此，建立“速度”概念是理解“速度×時間=路程”數量關系的關鍵。

一、立足除法視角，凸顯速度概念本質

立足除法視角理解“速度”概念是一種行之有效的學習路徑。“路程÷時間=速度”的數量關系式能夠凸顯速度“歸一量”的本質。基于此，筆者借助“路程與時間的比等于速度”這個數量關系，幫助學生建構“速度”概念，理解“速度”的本質。

課堂上，筆者先出示“A車行駛560千米，B車行駛480千米，C車行駛480千米”，并提出問題“你知道哪輛車行駛得最快嗎”，通過制造認知沖突，引導學生生成數學思考，得出如下共識：要比較哪輛車速度最快，既要知道它行駛了多少路程，又要知道它行駛了多長時間。隨后，筆者補充“A車行駛了8小時，B車行駛了8小時，C車行駛了6小時”，并請學生思考哪兩輛車可以不計算直接比較快慢。學生共同梳理出以下兩種比較方法。①相同路程比時間：路程相同，時間越短，則速度越快。②相同時間比路程：時間相同，路程越遠，則速度越快。學生經過比較發現：A車比B車快，C車比B車快，要想知道三輛車中哪輛車最快，就要比較A車和C車誰更快。A車和C車行駛的路程不同，時間也不同，該如何比較呢？學生基于已有的“每份數、份數、總數”和“歸一問題”的認知經驗，自然而然想到用除法算式解決問題：560÷8=70，480÷6=80。筆者進一步追問：“80和70分別表示什么？為什么要比較它們每小時行的路程呢？”學生思考后回答：當路程和時間都不相同時，可以想辦法把時間都變成1小時，就方便比較了，計算速度就是要把“時間不同”轉化為“時間相同”。

然后，筆者安排學生獨立完成以下練習：①“神舟十一號”飛船在太空中5秒飛行了約40千米，“神舟十一號”飛船的速度約是多少？②張叔叔騎自行車去游玩，2小時騎行了16千米，張叔叔騎自行車的速度是多少？在學生匯報完成情況并交流后，筆者引導學生思考：張叔叔騎車和“神舟十一號”飛船在單位時間內都行駛了8千米，它們的速度一樣嗎？學生結合問題情境發現雖然都是8千米，但是它們用的時間不同。隨后，筆者啟發學生將兩個“8千米”進行區分，規范速度單位的寫法，試讀速度單位，認識速度單位由長度單位和時間單位復合而成。由此，學生進一步體會到速度與路程、時間的密切聯系，學會用數學語言描述“速度”概念，即單位時間內經過的路程叫做速度。

最后，筆者借助現實情境設計了兩個問題，幫助學生感受“速度”的快慢。①350千米/時、340米/秒、300000千米/秒，猜一猜它們分別是誰的速度？學生通過交流，認識到這幾種速度可能分別是高鐵的速度、聲音的傳播速度和光的速度。②從北京到廣州的鐵路全長大約是2400千米，六十多年前蒸汽機車的速度大約是60千米/時，三十多年前內燃機車的速度大約是120千米/時，“復興號”高鐵的速度大約是350千米/時，看到火車速度的變化，你有什么感受？筆者借助火車提速的情境，引導學生應用數學模型分析、解決問題，體會模型的應用價值。

二、創設豐富情境，構建數量關系模型

常見數量關系的學習要建立在學生的經驗基礎之上，通過呈現富有啟發性的現實情境，讓學生用數學的眼光去尋找、發現數量之間的關系，逐步抽象出數學模型。

筆者在引導學生結合上文提到的兩道除法算式（560÷8=70、480÷6=80）歸納出“路程÷時間=速度”的基礎上，組織學生完成以下兩組練習，并思考路程、速度、時間之間的關系還可以怎樣表達。①汽車每小時行駛70千米，4小時行駛多少千米？小林每分鐘走60米，10分鐘走多少米？②一只蝸牛每小時爬行10米，爬行70米需要多長時間？聲音每秒傳播340米，傳播1700米要用多長時間？

基于已有的認知經驗，學生分別列出兩道乘法算式（70×4、60×10）和兩道除法算式（70÷10、1700÷340）。針對學生列出的算式，筆者進一步追問：為什么用乘法（除法）？路程、時間、速度之間的關系還可以怎樣表達？通過交流，學生明晰了1小時是1個70千米，4小時就是4個70千米，求路程就是求4個70千米是多少，所以速度與時間相乘就是路程；同理，1個10米用1小時，70里面有幾個10米就有幾小時，求時間就是求70里面有幾個10，因此路程除以速度就是時間。

學生將“每份數×份數=總數、總數÷每份數=份數”與“速度×時間=路程、路程÷速度=時間”進行類比，發現它們都可以寫成“一乘兩除”的形式，這意味著無論知道其中的哪兩個量都可以求出第三個量。這個過程有助于學生體會模型思想，從本質上把握數量關系的結構。

三、擴充數學模型，促進結構化學習

在大單元教學的引領下，筆者依托《速度、時間、路程》的教學，帶領學生理解三個數量關系式以及三者之間的聯系，靈活運用數學模型解決生活中的實際問題。

在構建數量關系式之后，筆者組織學生討論：“速度、時間和路程三者之間的關系和我們之前學習的哪些知識有聯系？它們有什么共同點？”學生認為，“速度”和以前學習的“單價”都可以看作“每份數”，“時間”和“數量”相當于“份數”，而“路程”和“總價”是相乘得到的“總數”在不同情境下的不同表達。這些數量關系具有一致性，都可以歸納為因數、另一個因數、積三者之間的關系。依據學生的思考，師生共同梳理出如下圖所示的思維導圖。學生在關聯、重組、凝聚中展開結構化學習，從“單一、割裂、點狀”的思維邁向“整體、融合、拓展”的結構化思維，學會了用整體、聯系、發展的眼光看問題。

對于常見數量關系的教學，筆者通過教學實踐探索出一條有效的學習路徑：立足除法角度，凸顯速度“歸一量”的本質，建立速度概念；創設豐富情境，從具體問題情境中抽象出數學模型，再變換問題情境，將數學模型應用到現實問題中，以此深化模型的內涵，拓展模型的外延；溝通“速度、時間、路程”與“每份數、份數、總數”的內在聯系，擴充數量模型，形成初步的模型意識和應用意識。

（作者單位：武漢市光谷喻家山學校）

責任編輯? 張敏