基于阻抗模型的工業機器人磨拋柔順控制

王曉永，解海亮

（1.內蒙古第一機械集團股份有限公司，內蒙古 包頭 014030；2.華中科技大學 國家數控系統工程技術研究中心，武漢 430074）

0 引言

為了避免智能化加工設備加工過程中工具與工件之間的接觸狀態切換引起振動與沖擊，國內外研究機構提出柔順控制策略[1-2]。1985年，N.Hogan[3]提出在系統操作過程中，僅僅考慮運動學量的相互匹配是不夠充分的，同時應該考慮2個物體的阻抗特性。由此提出了阻抗控制，實現了操作過程中的運動學約束、動力學交互、抓取和避障的統一方法，建立起力與位置、速度、加速度之間的關系。A.Lopes等[4]采用基于位置的阻抗控制策略，設計了一款末端恒力控制裝置，通過調整阻抗模型中剛度參數、阻尼參數及慣性參數，使得末端執行器在受到作用力時表現出不同的動態響應，以達到順應未知加工狀況的目的。2018年，Duan J.J.[5]提出基于追蹤誤差采用自適應的方式實時修改阻抗模型參數，以達到對期望力的動態追蹤。2019年，Zhou P.等[6]針對航空發動機復雜葉片提出采用模糊控制算法結合經典PID理論，以實現自適應恒力打磨，改善銑削后的葉片表面質量。周亞軍[7]將ATI公司的六維力傳感器集成到機器人控制系統，為機器人磨拋系統增加力感知功能，實時監測磨拋過程中的磨拋力，采用基于位置的阻抗控制策略對末端執行器的位置進行補償，改變工件與工具之間的接觸變形量，達到恒力加工的目的。張琛[8]利用六維力傳感器獲取機器人末端執行器與打磨工件之間不同接觸狀態下的實際接觸力，進而建立起與末端執行器相接觸的環境剛度模型。基于環境剛度模型，結合力覺感知系統修正末端執行器的位置，達到恒力打磨的目標。2019年，在采用基于位置的阻抗控制時，針對環境剛度模型未知的情況，Liang X.Q.等[9]提出通過在線估算環境位置及環境剛度來設計機器人運動軌跡，然而機器人始終存在位置跟蹤誤差，為了減少力追蹤誤差，采用迭代學習控制算法來減少位置追蹤誤差。Sun T.等[10]針對獲取準確機器人動力學模型難度較大這一問題，提出了一種變阻抗控制方法，所提出的阻抗控制器可以采用PID形式實現，具有結構簡單、易于實現和保證控制穩定性的優點?；赥ikhonovs定理，證明了閉環控制系統具有半全局實際指數穩定性。以五桿并聯機器人為例，說明了所提變阻抗控制器的有效性。Zhang X.[11]采用變阻抗控制策略，通過改變期望剛度和期望阻尼來提高機器人與環境交互的順應性和魯棒性。針對機器人與環境交互問題，提出了一種基于神經網絡的變阻抗控制器，通過變阻抗控制誤差的收斂增強系統的魯棒性。Xiong G.[12]提出了一種7自由度冗余度機械臂阻抗控制方法。在關節中間描述了冗余度機械臂的阻抗運動，建立了關節空間下的阻抗方程。為成功獲取關節角速度，設計了高增益觀測器，驗證了所提控制方法的穩定性。

然而，上述應用于航空發動機葉片存在力跟蹤效果差、抗沖擊特性差或響應速度慢等問題，都無法很好地解決加工具有自由曲面、變厚、非對稱特點的復雜構件的問題。此外，現有的末端磨拋執行器控制策略[13]難以實現工藝參數的自律調整，基于材料去除模型的主動柔順控制策略研究又十分匱乏。因此研究基于模型驅動的智能柔順控制策略，對實現磨拋執行器的磨拋工藝自律調整具有重要意義。

1 磨拋執行器動力學建模

力位混合控制[14]和阻抗控制都是在被控對象運動中實現對外界接觸力柔順響應。因此需要首先考慮機器人柔順磨拋執行器的動力學模型，即在受到外界作用力下，磨拋執行器的伺服電動機輸出力矩與磨拋執行器運動過程中運動量參數之間的定量關系。常用的動力學建模的方法有牛頓-歐拉迭代法及拉格朗日法。其中牛頓-歐拉公式被認為主要是用來解決在動力學建模中遇到的力平衡問題，而拉格朗日動力學方程則是一種從系統能量的角度進行動力學建模的一種方法。本文將基于拉格朗日法建立機器人柔順磨拋執行器的動力學方程。

磨拋執行器結構如圖1所示。由于磨拋執行器的浮動方向與重力方向互相垂直，因此磨拋執行器的勢能函數為一常量函數。磨拋執行器運動的動力來源于伺服電動機，因此基于能量守恒原理且考慮摩擦力f與外力Fext，將伺服電動機的驅動力矩τ與激勵力矢量F之間進行轉換：

圖1 浮動磨拋執行器三維模型

式中：x為磨拋執行器浮動方向上的位置；Fext為外力；Ff為摩擦力；η為能量從伺服電動機傳遞至磨拋執行器的磨拋功能模塊造成的能量損失。

滾珠絲杠螺母副運動傳遞規律公式為

式中，l代表滾珠絲杠的導程。

將式（2）代入磨拋執行器動力學方程得：

令I=ml/η，τf=fl/η，τext=Fextl/η，則式（4）轉變為

由于機器人柔順磨拋執行器的結構簡單，同時方便拆卸，因此通過解體稱重的方式獲得磨拋執行器的動力學模型參數，磨拋執行器的磨拋功能模塊硬件組件的質量數據如表1所示。

表1 磨拋功能模塊硬件組件的質量 kg

2 基于阻抗模型的柔順控制算法

對于磨拋執行器與葉片之間的法向接觸力的大小，可以通過適當調節磨拋執行器在葉片型面法線方向的位置來調節。常用的一種方法是根據磨拋執行器感知到的接觸力來調整自動化設備的位置，從而動態調節磨拋執行器與接觸物體之間的接觸力。實現力的控制有兩種方法：一是基于位置的阻抗控制；另外一個則是基于力矩的阻抗控制。本文主要研究基于位置的阻抗控制策略。

基于位置的阻抗控制算法的實現過程如下：首先采用離線的方式規劃出設備的參考軌跡x0，由自動化設備的位置控制環實現對參考軌跡的追蹤。在追蹤離線編程軌跡的同時，采用阻抗控制算法將設備與外界的接觸力信息Fext與期望接觸力Fd之間的差值轉換為自動化設備的軌跡修正量Xa：

在下一個位置控制周期內，由自動化設備的位置控制環追蹤經過修正后的軌跡信息xd=x0-xa。因此，這種控制模式是通過位置伺服控制內環及阻抗力控制外環的結合來實現的。這種阻抗控制方法容易在現有的大多數位置控制系統的自動化設備上實現?；谖恢玫淖杩箍刂茖崿F框圖如圖2所示。

圖2 基于位置的阻抗控制框圖

基于位置的阻抗控制算法的力控制外環實現過程如下：

接下來對基于位置的阻抗控制算法的內環位置控制環展開介紹。針對位置控制環的開環運動方程，即上文推導出的機器人磨拋執行器的動力學方程式（7）。

將內環位置控制環的控制規律分為基于模型的控制部分和伺服控制部分等2個部分。基于模型的控制部分的表達式為

式中，α和β為常數或函數。如果將τ′作為新的系統輸入，那么可選擇α和β是系統簡化為單位慣量構成的系統。對于這種控制規律結構，系統方程為

因此，為了在τ′輸入下將系統簡化為單位慣量，系統中的α和β選擇如下；

對上述條件進行整合后可得

式（10）是一個單位慣量的運動方程，可以作為被控系統的開環動力學方程。根據離線編程生成的任務軌跡θ0（t）及經過柔順控制算法計算出的軌跡修正量θa（t），得到了經過柔順后的期望軌跡θd（t）。所以軌跡生成器在任意時間t都會有一組θ¨d、θ˙d、θd，定義e=θd－θ為期望軌跡與實際估計之差。因此機器人柔順磨拋執行器的基于位置的阻抗控制系統內環位置追蹤環控制框圖如圖3所示。

圖3 位置控制環框圖

由伺服控制規律得出的軌跡方程為

將式（13）與單位慣量運動方程聯立后可得

對機器人磨拋執行器浮動功能模塊的工作過程及運動傳遞過程進行分析，確定伺服電動機控制參數。磨拋執行器力感知功能模塊工作過程為：當推動打磨模塊轉接板時，會對滑動拖板與磨拋功能模塊轉接板之間的4個傳感器產生擠壓或者拉伸變形，從而產生力信號。力傳感器輸出的電壓信號被送到信號放大器，在放大處理之后傳遞給數字采集卡。由上位PC機調用數字采集卡的三方庫接收經過信號放大器處理后的傳感器檢測信號。

柔順浮動功能模塊的運動傳遞過程為：伺服電動機通過聯軸器帶動滾珠絲杠副轉動，滾珠絲桿螺母副的螺母與安裝在滑動拖板上的螺母座之間緊固連接。其中運動傳遞過程中伺服電動機的轉速n與滑動拖板的移動速度v之間的關系為v=nl，l為滾珠絲杠的導程。

伺服電動機速度控制輸入信號模擬量電壓與伺服電動機轉速之間的關系如下：伺服電動機最大輸入電壓為+12 V，+6 V對應的是伺服電動機的額定轉速3000 r/min。其中伺服電動機的輸入電壓信號與運動控制卡輸出的DAC量值之間的對應關系為：0～10 V對應0～32 767。因此假設控制的電動機轉速為n，伺服電動機速度控制輸入信號模擬量電壓為V，對應的輸入DAC值為：

調用運動控制卡的三方庫修改DAC的數值，即可修改伺服電動機的轉速，完成了柔順浮動功能模塊的伺服電動機的調速工作。

綜合以上基于位置的阻抗控制算法的力控制外環及位置控制內環，機器人柔順磨拋執行器的控制系統框圖如圖4所示。

圖4 機器人柔順磨拋執行器控制系統框圖

3 系統穩定性分析與模型參數整定

接下來利用李雅普諾夫第二方法對上文中提到的基于位置的磨拋執行器控制系統的穩定性進行分析，同時利用自動控制系統相關的知識針對磨拋執行器設計的控制系統進行控制性能分析。

3.1 李雅普洛夫第二方法

系統的穩定性是系統的重要考核指標之一，李雅普諾夫對于系統穩定性的判定提出了兩種方法：李雅普諾夫第一方法稱為間接法，第二方法稱為直接法。前者通過求解系統微分方程，根據其解的特性來判斷系統的穩定性，但由于系統微分方程建立的難度較大，同時復雜系統微分方程求解的難度系數也相對較大，所以李雅普諾夫第一方法的應用受到了極大的限制。本文采用李雅普諾夫第二方法。

李雅普諾夫函數是一個表征系統能量的函數，被記為V（x，t）。這個函數與系統的位置x1、x2、…、xn及時間t有關。物理系統的能量衰減特性采用能量函數的導數V˙（x，t）進行表述。所以李雅普諾夫第二方法是從能量的角度判斷系統穩定性，分析過程如下：首先構造系統的能量函數，然后根據能量函數的特性及描述能量耗散函數的特性來進行系統的穩定性分析。因為直接法不需要對系統的微分方程進行求解，因此在某種程度上降低了復雜系統穩定性判斷的難度，同時直接法相對簡單，所以受到控制系統設計領域的學者青睞，并被廣泛使用。

李亞普諾夫第二方法中提出：對于一個定常系統x˙=f（x），t≥0，其中f（0）=0，如果該系統的能量函數V（x，t）的一階導函數V˙（x，t）存在而且連續，且V（0，t）=0，并且對于系統的狀態空間X中的一切非零點x滿足以下條件：1）V（x，t）為正定；2）V˙（x，t）為負定；3）當‖x‖→∞時V（x，t）→∞。

按照李雅普諾夫理論得到結論，該系統為大范圍漸進穩定性的定常系統。

柔順磨拋執行器的控制系統是由基于位置的阻抗控制的力控制外環及位置追蹤控制內環組成。本文采用的是運動控制卡實現位置追蹤功能，因此磨拋執行器的控制系統的內環位置追蹤環是穩定的。本文接下來主要分析的是基于位置的阻抗控制的力控制外環的穩定性，如果外環是穩定的，則機器人柔順磨拋執行器的控制系統即為穩定控制系統。

基于位置控制的阻抗控制系統的力控制外環的傳遞函數為

因此控制系統外環的微分方程為

下面對該微分方程進行求解，為減少振蕩，針對該二階系統設計過阻尼的響應形式，所以Δ=D2-4KM＞0。該非齊次線性微分方程對應的特征方程的根計算結果λ1、λ2如下所示：

該微分方程的初始條件即系統的初始狀態，即當t=0時，x（t）=0，v（t）=0。計算該非齊次線性微分方程的特解：

根據李雅普諾夫第二方法，設定能量函數為

因此當t=0時，V（t）=0；當t≠0時，V（t）≥0。因此V（t）為正定。

由于λ1、λ2＜0，因此當t≠0時，V˙（t）≤0，因此V˙（t）為負定。由李雅普諾夫第二方法可知控制系統是穩定的。

3.2 模型參數整定

為方便對系統動態性能進行分析，在自由空間內（即機器人磨拋執行器沒有與外界發生接觸）時，將磨拋執行器近似簡化成為一個具有質量彈簧并且有阻尼的物理系統。當磨拋執行器到達任務工作區且與外界環境之間發生接觸時，此時將與磨拋執行器相接觸的物體簡化成為一個剛度為Ke的輕質彈簧，簡化模型如圖5所示。

圖5 接觸狀態模型簡化圖

機器人磨拋執行器與外界環境發生穩定性接觸的運動過程如下：首先，在初始t0時刻，此時磨拋執行器沒有受到外界作用力，因此根據基于位置的阻抗控制算法，磨拋執行器在期望磨拋力Fd的作用下會向初始平衡位置A點運動；當磨拋執行器與外界物體發生接觸時，記為t1時刻。此時由于受到了外界剛度為Ke的物體干擾，磨拋執行器會在反饋回來的實際作用力Fext與期望力之間的差值的驅動下運動到新的平衡位置B點。選取機器人磨拋執行器與外界物體發生接觸的一瞬間，記為初始時刻t=0，則整個機器人磨拋執行器與外界環境發生穩定性接觸過程的運動微分方程可以描述為：

第一，執行依據不明確并不是當事人造成的，很大程度上的原因應該歸咎于人民法院，是其生產了不合格的產品(執行依據)。如果執行依據不明確的法律后果是不予立案的話，無疑是讓當事人來承擔執行依據不明確的法律后果，這對當事人來說是不公平的。

當x（t）＞l時，

當x（t）≤l時，

在系統的初始狀態時x（0）=0，x˙（0）=0。當磨拋控制器與環境接觸的時刻，即x（t）≤l時，對上述方程整理可得

對應的特征方程為

它的兩個特征根為：

該方程對應的特解為

該微分方程的通解如下：

1）當與機器人磨拋執行器相接觸的物體剛度很小的時候，即Ke比較小，此時D2-4（Kp+Ke）M＞0。則微分方程的通解為

由于對應的λ1、λ2＜0。因此系統最終收斂至初始位置x（0）=0其收斂速度主要取決于特征值的大?。碊和M）。

2）當與機器人磨拋執行器相接觸的物體剛度很大的時候，即Ke比較大，此時D2-4（Kp+Ke）M＜0，則λ=α+iβ。其中：

因此該微分方程的通解為

通過微分方程的解可以看出，接觸的物體剛度較大，系統會出現振蕩的過程。不難看出，當α的絕對值越大時，系統衰減的速度越快，系統收斂到穩定狀態的速度也越快。

綜上所述，與機器人磨拋執行器相接觸的物體剛度很大時，需要通過調整參數D和M，增大α絕對值的同時降低β絕對值。要使得α絕對值增加，可以增加系統阻尼系數D或減小質量系數M；要使得β絕對值減小，可以增大D值、減小系統彈簧系數Kp值或者增大M值。一般物理系統的質量系數M是定值，所以通過調節系統的阻尼參數來調節α與β。與機器人柔順磨拋執行器接觸的機器人剛度為Ke=5，根據二階系統的控制參數整定方法，同時根據以上分析，確定基于位置的阻抗控制模型參數，如表2所示。

表2 基于位置的阻抗控制模型參數表

4 仿真結果與分析

在Windows系統PC機上，基于C++語言，利用QT設計了現場工程師與葉片磨拋設備之間進行數據與指令交互的操作軟件，在操作軟件中集成本文設計的機器人柔順控制系統。航空發動機葉片以壓氣機葉片為例，其主要特征包括葉盆、葉背、葉緣、安裝板、葉身與安裝板之間的轉接圓角及榫頭。

4.1 試驗平臺搭建

航空發動機葉片的磨拋加工過程順序如下：葉片裝夾→工具工件坐標系標定→利用磨拋設備對葉片葉背進行粗磨→利用磨拋設備對葉片葉盆進行粗磨→利用磨拋設備對葉片進氣邊進行粗磨→利用磨拋設備對葉片排氣邊進行粗磨→更換目數更高的細砂帶→按同樣的順序進行精拋→磨拋完成→卸載葉片。面向航空發動機葉片磨拋搭建的機器人磨拋加工實驗驗證平臺如圖6所示。

圖6 機器人磨拋加工實驗驗證平臺

4.2 葉片磨拋加工驗證

從葉片表面質量來看，進行磨拋加工之前的葉片型面表面存在著上一步葉片銑削加工留下的銑削刀紋。在采用自主設計的磨拋執行器對葉片進行磨拋加工之后，葉片型面的銑削刀紋不僅完全被去除，同時葉片型面邊緣的進排氣邊區域沒有出現過磨的現象，葉片表面型面完整度好，不存在手工磨拋出現的接刀痕，型面一致性好。而且磨拋加工之后的葉片葉盆部位的表面粗糙度為Ra0.26 μm，葉背部位的表面粗糙度為Ra0.3 μm，均滿足葉片磨拋加工表面粗糙度Ra0.4 μm以內；葉片型面輪廓度磨拋加工精度為-0.03～0.05 mm，滿足葉片磨拋加工型面尺寸要求的-0.05～0.05 mm，接下來以葉背磨拋為例介紹具體實驗結果。

首先進行葉片磨拋加工路徑規劃，利用機器人離線編程軟件InteRobot生成航空發動機葉片葉背的磨拋加工路徑，磨拋路徑規劃參數如表3所示，磨拋路徑展示如圖7所示。

表3 葉背磨拋路徑規劃參數表

圖7 葉背磨拋路徑示意圖

針對航空發動機葉片葉背的磨拋工藝參數如表4所示。

表4 葉背磨拋工藝參數表

葉片葉背磨拋加工過程中實際接觸力如圖8所示，實際接觸力的最大值為1.433 N，最小值為1.359 N。

經檢測，葉片經數控機床銑削之后，葉背表面布滿著密集的銑削刀紋，經過磨拋加工之后的葉片表面光滑平整，沒有出現明顯的接刀痕跡，表面質量及型面尺寸均滿足葉片磨拋工藝需求。驗證了本文提出的磨拋執行器柔順控制方法的可行性。

5 結論

本文采用基于位置的阻抗控制算法及控制規律分解的系統設計方法，設計了磨拋執行器的柔順控制系統，基于阻抗控制算法及力傳感系統建立力控制外環，基于動力學模型、伺服單元及運動控制卡建立了位置控制內環，實現了機器人柔順磨拋執行器對外界接觸力的柔順響應；最后利用李雅普諾夫第二方法分析了磨拋執行器的控制系統運行的穩定性，提高了系統穩定性，可確保葉片磨拋加工過程中磨拋力的穩定性。以壓氣機葉片為對象進行實驗，通過對葉背磨削前后參數進行對比，驗證本文所提出的柔順控制算法能夠實現提高葉片表面磨拋加工質量及葉片型面尺寸精度的目的。