立足身邊事，書好數學情
——一元二次方程在利率問題中的應用

北京教育科學研究院 丁明怡

北京市陳經綸中學分校 曲 靜

北京市朝陽區教師發展學院 張 東

一、教學內容分析

（一）內容分析

本節課是“23．1實際問題與一元二次方程”的第一節課，在數學知識的應用、思想方法的滲透、核心素養的培養等方面有著很重要的示范和引領作用。教學中以課本為參考，以結構化、情境化、活動化為原則創設真實情境，討論如何用一元二次方程解決實際問題。

（二）學情分析

學生已經學習了一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程（組）解法及其應用；一元二次方程的解法；對列代數式、建立數學模型、尋找實際問題中的等量（不等）關系有一定的經歷和經驗，具備了一定的總結歸納的能力，但還是有一部分學生反饋，在解決實際問題時不能找出各要素之間的關系，建立正確的數學模型有很大困難。因此筆者在教學中以學生的認知為前提，在情境中提出問題、理解問題、解決問題，讓真實情境與數學問題相結合，從而讓學生經歷數學建模的基本過程，發展學生的核心素養。

（三）教學目標

（1）能根據借款問題中的數量關系，列出一元二次方程，并知道要根據問題的實際意義，檢驗結果是否合理；（2）經歷將借款問題抽象為數學問題，并建立一元二次方程模型解決利率問題的探究過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，發展模型觀念；（3）感受用一元二次方程模型描述“利率問題”數量關系，感受數學與現實生活的密切聯系，體會如何用數學語言表達現實世界，培養勇于探究的精神；（4）從數學角度體會加強網絡金融管理的必要性，滲透社會主義核心價值觀。

（四）教學重難點

重點：建立一元二次方程模型解決“利率”問題；難點：理解題意，建立正確的數學模型解決問題。

二、教學過程

（一）借助情境，發現問題

情境引入：

網絡借貸是互聯網經濟下新生的借貸模式，由于其簡單的審核、高速的放款吸引了不少年輕人借貸，可最終還是有人付出了沉重的代價。廣州某高校大二的學生小金就深受其害，3個月的時間，她借的2000元錢在精心設計之下，利滾利竟變成了總欠款達11萬多。

2017年12月小金因為急需用錢，在網絡上查找到一家自稱專門為在校學生提供借貸的網絡APP平臺L。平臺L稱貸款的周利率是30%，但是采取借一押一的方式，就是如果一周內還不上借的2000元，欠款就變成4000元。小金當時認為自己有兼職工作，一周能還上欠款及利息，但事實是沒有還上。于是小金在平臺L的介紹下又通過別的APP平臺借錢，用借來的錢還平臺L的款，但還錢時只能先還欠的利息，利息還完后才能還本金。3個月后，雖然小金已經還了2萬多但是總欠款額已經達到了11萬多。無奈之下小金只能告訴父母，讓父母幫助來解決問題。

教師追問：上面的案例中，很顯然小金掉進了網絡金融陷阱了，在現實中類似小金這樣的案例很多。你覺得一般情況下借款后需要償還的還款總額與哪些因素有關？

師生活動：學生思考并發表自己的看法，教師肯定學生分析的原因，并逐漸引導學生總結提煉成數學因素。

學生1：與利率的多少有關。

學生2：與貸款總額和貸款的時長也有關。

學生3：還與計算利息的方式有關，比方說是單利計算還是復利計算，是不是需要“利滾利”。

學生4：與還款的方式也有關，還要看是向誰借的錢，如果不是正規渠道可能還有一些額外的條件。

教師：同學們說得都很好，概括起來實際還款總額一般與借款本金、借款期限、借款利率和還款方式等因素有關。當然以上只是一種理想化的數學分析，影響實際還款總額的因素可能還有很多。

設計意圖：（1）創設真實的情境，引發學生對于現實問題的思考；

（2）分析影響還款總額的因素，引導學生用數學眼光觀察現實世界、用數學思維分析現實世界，進而用數學語言表達現實世界。

（二）分析問題，理解題意

教師提問：如果平臺沒有要求小金“借一押一”，借款本金只是2000元，按照上述周利率30%計算，其間沒有提前還款的情況下，“利滾利”兩周后小金要還款總額是多少？

師生活動：教師出示情境，學生先獨立思考然后回答上面的問題。

學生1：借款利息＝本金×利率×借款時間，因為是按照周利率計算，所以兩周后小金的還款總額是本金加利息，即3380元；

學生2：兩周后總還款額是3380元，首先在第一周后利息是600元，還款總額是2600元，因為是“利滾利”即“復利”，所以在第二周時借款本金就變成了2600元，即第一周的利息變成第二周本金的一部分，也會生成利息。所以兩周后還款總額是3380元；

為了幫助學生理解每一周應還款總額的構成情況，教師做演示如下（見表1）：

表1 每周應還款總額的構成

設計意圖：以現實情境為背景，拉近學生與實際問題的距離，激發學生探究的興趣。以具體的借款金額、借款利率、借款時間為例，解釋“利滾利”的意思，幫助學生解除理解上的困惑，加深對問題的理解，從而為后面建立一元二次方程模型做好鋪墊。

教師追問：如果按照上述條件，小金在前三周里都沒有還款，那么在第三周后小金的還款總額應是多少？

師生活動：學生思考并解決問題，師生達成共識。

設計意圖：再一次感受題意，檢驗學生是否理解。

（三）提煉模型，解決問題

探究：小金畢業后就參加了工作，但試用期工資很少且不提前發放，所以日常開銷就成了問題。她吸取上學時的教訓，決定向爸爸借5000元錢。但爸爸為了激勵小金，決定按月（不足一個月時按一個月計）復利計息（即“利滾利”），如果2個月試用期滿后一次性還清本息，則小金需還給爸爸6050元。那么爸爸向小金收取的月利率是多少？

分析：設每月利率為x，用代數式表示，第一個月后的利息為______元，應還款總額為______元，第二個月后的利息為______元，應還款總額為______元。

師生活動：學生先獨立思考然后組內討論，分析問題并解決問題，按照分析的提示討論完成代數式的表示部分，找到關系并列出方程，教師鼓勵學生講出自己的困惑，逐步讓學生分析找出等量關系并列出方程。

解：設每月的利率是x

解得x1＝0．1，x2＝－0．12（不合題意，舍去）

答：每月的利率為0．1，即10%。

設計意圖：學生根據理想化的模型用一元二次方程解決實際問題，并能根據實際意義，檢驗方程解的合理性，從而初步感知模型的建立過程。讓學生感知數學建模是連接數學與現實的基本途徑，從現實生活中或具體問題情境中抽象出數學問題，并用數學符號表示其中的數量關系和變化規律，也就是用數學語言表達現實世界。

問題1：如果按照上面的利率計算，經過三個月后小金一次性還完本息，那么她最終還給爸爸多少錢？

答：經過三個月后小金還給爸爸6655元。

師生活動：學生計算出3個月后的還款總額，感知如果不盡早還款，隨著時間的推移；按上述方式還款的話，還款總額會非常大。教師讓學生復盤還款總額的計算過程。

（四）類比探究，發現規律

問題2：如果借款本金為m元，每月的利率為x，按照“復利”計算，一次性還清本息且期間不還款，則經過n個月后還款總額為______元。

設計意圖：本部分內容是探究的延伸內容，目的是讓學生把問題思考更進一步，體會模型思想。因為涉及的模型超過了2次，所以這里沒有要求學生列方程解決實際問題，只是要求學生列出代數式，用數學符號表示現實問題，體會模型的意義。

（五）思維拓展，提高能力

問題3：由于小金努力工作，在向爸爸借了5000元滿一個月后拿到一筆獎金，小金非常高興當天就還給爸爸2000元。又過了一個月后，小金又給了爸爸4800元作為還款。那么，如果按照“復利”計算，小金付給爸爸的平均月利率是多少？

師生活動：學生獨立思考并給出解法，在討論中學生爭議比較大的是第二個月開始時的本金怎么表示，經過師生的共同討論后，學生明白了該如何計算。

解：設平均月利率為x

解得x1＝0．2，x2＝－1．8（不合題意，舍去）

答：平均月利率為0．2，即20%。

設計意圖：在探究的基礎上設置不同層次的問題，對實際問題進行變式，加深學生對問題的理解，進一步用一元二次方程解決實際問題，從而也讓學生感知“高利率”借款的可怕。

（六）小結反思，提升認識

教師與學生一起回顧本節課所探究內容，并提出下面的問題。

問題：本節課在探究“復利”借款問題時，都經歷了怎樣的過程？你有哪些收獲和感悟？你對一元二次方程的作用有哪些體會？

學生1：經過這節課的學習，我發現借貸問題也可以變成數學問題來研究，可簡單也可以復雜，并理解了其中的借款本金、借款利率、借款期限、還款方式等對最后還款額的影響，還有列方程可以解決一些實際問題。

學生2：通過這節課的學習，我體會到網絡借貸陷阱的可怕，自己一定要保持清醒的頭腦，在自己能力范圍內理性消費。

學生3：我知道了該怎么列一元二次方程解“復利”問題，一定要清楚借款時的本金和利率是多少，還款方式是什么樣的……

設計意圖：通過思考、交流讓學生對本節課內容進行回顧，培養學生歸納概括能力。教師可以從學生的總結中提煉本節課的一些核心關鍵詞，如一元二次方程解決實際問題、列式、檢驗等。總結過程中，讓學生積極主動參與，在研究情境問題中探究建立數學模型的過程，動手動腦，交流中感悟，研究中提升，培養模型觀念等數學素養。

（七）作業及目標檢測設計

小金將2萬元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1萬元用于教育投入，剩下的1萬元及所得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款利率不變，到期后本金和利息一共1．32萬元，則這種存款方式的年利率是多少？

設計意圖：為了促進學生更好地理解利率問題，作業題保持了與課堂一致的情境，是課堂問題的續延，但在問題中加入了新的影響元素，思維力度各有不同，多層次多角度地拓展學生的思維。

三、反思

本節課依托問題情境，使學生經歷從實際問題中建立數學模型、求解模型、驗證反思的過程，形成模型觀念。其中在創設問題情境方面具有以下四個特點。

一是情境的真實性。本節課以網絡上比較熱的網絡貸款為大背景，以真實故事為情境，探討利率問題，源于實際的案例激發了學生的學習興趣，使學生充分感受到數學就在身邊。

二是情境中問題的挑戰性。創設情境后，教師并沒有直接給出具體的數學問題，而是提出具有一定真實性、復雜性的思考問題“你覺得一般情況下還款總額與哪些因素有關？”通過這一問題，引導學生關注分析數據的規律性。

認識到在建立數學模型研究一個復雜問題時，通常可以先從影響此問題的有關因素入手進行分析，明確了影響因素后方能有的放矢，建構有關模型。這一問題，對于學生有一定挑戰性，引起了學生的認知沖突，也給學生指明了數學建模的思考方向。

三是情境中問題的發展性。本節課圍繞借款情境，教師提出一系列拓展性問題。從已知借款本金、借款利率、借款期限，求還款總額，到反過來已知借款本金、借款期限、還款總額，求借款利率；從具體數字規律，到一般字母規律；從一次性還款到提前部分還款，圍繞一個情境，不斷提出思維進階性問題，讓學生充分經歷運用代數式、方程等模型解決問題的過程，體會不同模型的應用條件，增強學生建立模型表達數量關系、解決問題的能力，感悟“數學是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言”。

四是情境的育人價值。本節課選取發生在校園里的真實案例為情境，讓學生充分感知發生在身邊的網絡陷阱的可怕，它提醒自己時刻保持清醒頭腦、辨別真偽、理性消費，不僥幸不貪小利，用自己的智慧和勞動換取自己想要的生活，從而也體會到了國家對網絡管理的必要性與合理性。

核心素養是學生在認識真實世界、解決真實問題過程中所表現出的關鍵能力與必備品格。因此核心素養的培養離不開真實問題，讓我們一起注重情境設計，讓學生的核心素養在與真實問題有關的活動中逐步得到發展。