基于數學文化視角的情境設計與實踐
——數學模型在探究“漏壺計時”問題中的應用

北京教育學院 賈小宇

北京市景山學校 洪 曄

北京教育學院 伍春蘭

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”“數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能”。義務教育數學課程標準的理念強調“實施促進學生發展的教學活動”“學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”。通過創設真實情境，引導學生“發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”，逐步形成核心素養。我們以上述觀點為創設數學文化視角情境的依據，深入挖掘教材中具有文化背景的素材，讓學生在動手制作的情境中，真切感受到我國古代科技和文明的成果，經歷運用數學建模思想解決問題的完整過程，積累數學活動經驗，提升應用意識和模型觀念。

一、教學背景分析

（一）內容分析

以“漏壺計時”為主題的數學探究活動，改編自義務教育教科書（人民教育出版社）數學八年級下冊“一次函數”一章的課后習題8（圖1）。我們設計了“漏壺計時”問題的探究情境，內容包括課前學習漏壺的相關知識、學生自己動手制作漏壺、探究漏壺如何更加精準計時、改進自己制作的漏壺?；顒右詫W生自己制作漏壺為情境，使學生經歷數學建模的完整過程。

圖1 人民教育出版社數學八年級下冊的一道習題

圖2

圖3

圖4

（二）學情分析

“漏壺計時”數學探究活動，是在學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組、不等式的解法及一次函數圖象和性質的基礎上，適合一次函數實際應用的探究活動。

通過訪談的形式，了解學生是否聽說過數學建模，對于利用數學模型解決問題的過程是否熟悉。受訪的學生中50%表示：自己之前曾在書中或是網絡上看到過數學建模的信息和相關比賽，但沒有參與過，希望數學建模解決的問題是和自己生活實際相關，并且能夠全程參與設計。90%的學生表示不了解數學建模的過程。

另外，通過前期調研可以看出，學生對一次函數章節的知識掌握較好，具備了利用數學模型解決問題的知識基礎。但數學活動經驗不是很豐富，而且計算機操作水平也有限。

（三）教學目標

（1）能從制作漏壺的過程中發現問題、提出問題；經歷建立模型、求解、檢驗的全過程；

（2）能分析出漏壺制作過程中影響計時精準性的因素，建立漏壺中水面高度與時間關系的函數模型；

（3）能夠體會數學的應用價值，增強模型觀念、創新意識，通過小組學習提升合作交流能力以及參與實踐活動的動手能力。

（四）教學重、難點

教學重點：通過建立漏壺水位與時間的函數關系，經歷并初步感知數學建模的完整過程。

教學難點：分析影響因素之間的量化關系，并建立符合實際觀測值的模型。

二、教學過程

（一）創設情境，提出問題

背景：在參觀國家博物館時，學生了解了中國古代的計時工具——漏刻。從最早的漏刻，到最常用的“一刻之漏”（每漏完一壺水的時間為一刻，大約14．4分鐘），再到由四個銅壺構成的滴漏，更精確地記錄一天十二個時辰。通過參觀，學生知道了漏刻計時的原理，但對漏壺是否真能準確報時還是存有疑惑。學習完一次函數后，受義務教育教科書（人民教育出版社）數學八年級下冊“一次函數”一章的一道習題的啟發，師生決定自制漏壺探究其中的奧秘。

學生先從網絡中查找并觀看了介紹中國古代計時工具的視頻，以及閱讀了關于漏壺的文字材料，清楚了漏壺的工作原理，了解到標記水面隨時間下降高度是泄水型漏壺計時的關鍵。于是學生分組制作泄水型漏壺，并著手探究。

活動1：創設情境，提出問題

各組學生分享自制漏壺及探究的過程，展示計時方法。

甲組利用一個圓柱形的透明塑料瓶，制作了一個簡單的泄水型漏壺（瓶高20cm，瓶底直徑約10cm）。用針穿透瓶底，在底部形成一個直徑大約1毫秒的小洞。接下來，通過注水實驗，在塑料瓶上標記刻度線，表示水面高度與時間之間的關系。先封住小孔，將水倒入瓶中，使最初水面高度距離瓶底為8．6cm。下面是每隔30秒鐘記錄的水在瓶中的水位高度：

表1 每隔30秒水在瓶中的水位高度

利用這組數據，甲組學生在瓶身上標記了水位線，每條水位線之間的間隔表示30秒鐘的時差，總共可以記錄2．5分鐘的時間。

通過小組間對各自漏壺的計時展示，學生發現不同漏壺計時精準性之間存在差異，于是尋求誤差產生的原因和改良方法。師生展開討論：用了不同的瓶子做泄水型漏壺，刻度標記不同，誰記錄得更準呢？

學生1：我認為瓶底的直徑不同，導致刻度標記不同。

學生2：我認為小洞大小不同，導致刻度標記不同。

學生3：我認為注水量不同，導致刻度標記不同。

學生4：通過大家的分析，我認為瓶底直徑比較小、洞口更小、注水多的漏壺計時更準。

教師將學生的想法加以提煉，歸納出有效問題：（1）使用自制的圓柱體泄水型漏壺，能否借助壺底到水面的高度來刻畫時間？（2）影響計時精確度的主要因素是否為瓶底直徑、漏水洞直徑、漏壺蓄水量？

設計意圖：學生以圓柱體泄水型漏壺為研究對象，獲得了幾組水面高度和泄水時間，通過展示交流，引發學生改進漏壺以減少誤差的思考，聚焦研究問題。

（二）依托情境，抽象問題

將小組展示交流提出的問題細化，形成了下列三個活動（活動2－活動4）

表2 活動2和活動3問題細化表

活動4：選擇模型，解決問題

分析：由于漏水速度理解為依賴時間的變量，且在制作漏壺的水杯標準統一、小孔孔徑固定、初始蓄水量一定的情況下，通過描點擬合，尋找漏水速度與時間之間的函數關系v（t）。

表3

運用Excle的圖表趨勢線功能，擬合為一個一次函數v＝πr2（－0．72t＋3．72）。

學生在漏水速度不均勻的情況下建立了水面高度與時間關系式后，教師追問：如何檢驗結果的合理性？學生思考并舉手發表自己的看法；教師給予點撥和肯定，同時介紹一些結果檢驗的方法。

設計意圖：設計活動2和活動3的目的是使不同水平的學生有不同層次的發現，加深對問題數量關系的理解?；顒?通過從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，發散學生思維，提高分析問題、解決問題的能力。其次，強調模型解的檢驗，促進模型的優化。另外，進一步感知用數學的語言描述世界。

（三）歸納概括，加深理解

活動5：歸納利用數學模型解決實際問題的一般步驟

定量資料用 M（Q25，Q75）表示，使用 Excel表格整理數據，SPSS19.0進行數據分析，不符合雙變量正態分布采用Spearman秩相關分析，設定檢驗水準為α=0.05的雙側檢驗。

問題：通過前面的經驗積累，你能否總結出解決實際問題的一般步驟？

學生思考后舉手回答，教師在學生的歸納下進行完善，最終形成核心板書：

從真實情境提出問題、解決問題的過程：

設計意圖：通過小結，歸納提升，幫助學生理清思路，形成解題思路。

（四）拓展延伸，提升能力

活動6：結合物理知識，建立非勻速漏水情況下水面高度與時間的函數表達式

問題：是否可以借助物理知識，對水位高度變化和漏水速度進行機理分析？

分析：通過查閱有關流體力學文獻，引用小孔漏水速度以及水位高度關于時間的物理表達式：，y，其中h為初始液面高度，g為常量（g＝10N／kg），SA為漏壺內液體橫截面積，SB為小孔橫截面積。

設計意圖：拓寬學生視野，為學優生創設跨學科及深度學習的機會。

（五）提煉總結，感悟收獲

活動7：學生談感悟

問題：通過本學時的學習，同學們都有哪些體會和感受？

學生暢所欲言，教師點評。

設計意圖：通過小結，回顧建模全過程，加強學習反思，幫助學生養成系統整理知識的習慣。

（六）作業設計，優化模型

【實踐性作業】改進自己設計的漏壺

【探究性作業】進一步驗證活動3中學生的觀察與猜想：隨著壺底到水面高度y的減小，小孔水流速度也減小。如果要讓小孔的水流速度恒定，漏壺應該做成什么形狀呢？

三、反思

以“漏壺計時”為主題的數學教學活動來源于課本一道習題。原題目要求選出符合對應關系的函數圖象，并注明了不考慮水量變化對壓力的影響。題目中為何要強調這個限制條件？不考慮這個因素又如何？在古代人們是如何利用漏壺計時的？學生的好奇與困惑正是老師在備這道習題時容易忽視的。教師的目的是選出正確答案即可，而對于學生而言，他們想從這個問題中知道更多，包括數學知識與文化，數學思想與方法，數學與其他學科的聯系等。顯然，教師可對題目所包含的各種信息做進一步深入地挖掘。

因此在設計該主題數學教學活動時，我們考慮從不同視角解析“漏壺計時”問題：（1）從數學文化視角選材；（2）從漏壺制作和成品展示的角度創設情境；（3）從數學建模視角解決問題。

首先，學生通過在博物館的參觀和資料閱讀，獲得了比習題中更加豐富的關于漏壺知識，初步了解了漏壺和計時工具的發展歷史，感受了數學與人類社會生活、數學與物理、天文等學科的緊密聯系，從而激發了他們對“漏壺計時”原理的探究興趣。接下來，在制作漏壺的親身體驗中，學生們學到了古人的智慧，積累了漏壺計時的操作經驗，收集了許多關于漏壺水位和時間的相關數據，為進行建?；顒幼龊昧藬祵W及跨學科知識的儲備。

在課堂的小組介紹漏壺制作過程和成品展示活動中，學生將自己的作品進行了組間比較，自然提出哪種漏壺設計更能精確計時的問題，進入了預設的問題情境中。結合前期的準備工作，通過對教學情境的預設，建模各環節相關問題的提出、分析和解決，學生便進入用數學建模的思想來解決問題的情境中，由教師引導體驗完整的建模過程。由此可見，設計符合學生經驗的真實問題情境，有利于學生發現和提出問題，分析和解決問題，促進學生綜合發展。

最后，教學設計中也有一些待完善之處。例如創設情境對于數學實驗也有一定的挑戰。由于在真實情境下進行模型的建立、求解和解的檢驗，需要必要的數據收集工作。在分析數據的過程中會涉及數據擬合技術。如何說明擬合的效果涉及了統計學的知識，對學生們來說比較陌生，因此在建模過程中教師需要做適當介紹和解釋。

從數學文化角度創設真實情境，不但可以使學生經歷數學建模的完整過程，感受數學的應用價值，培養實踐能力，還能通過了解中國古代科學技術，增強學生的民族自豪感。