研學(xué)巧鑒典韻，素養(yǎng)深植情境
——等腰三角形在確定生活中方向問題的應(yīng)用

北京教育科學(xué)研究院 丁明怡

北京市興華中學(xué) 張 蕊

北京市大興區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 鮑 靜

一、內(nèi)容分析

幾何直觀是初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。本節(jié)課重在落實(shí)如何“根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)，利用圖形分析實(shí)際問題，探索解決實(shí)際問題的思路”。

本部分內(nèi)容是前期所學(xué)知識的深化與拓展，是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力的良好紐帶，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本節(jié)課是基于中國古典著作《淮南子·天文訓(xùn)》中的一段文字記載（見圖1），在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的一節(jié)應(yīng)用課。其文化背景彰顯了數(shù)學(xué)的魅力，與地理學(xué)科的結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用。

圖1

二、學(xué)情分析

八年級學(xué)生的形象思維能力較強(qiáng)，喜歡通過觀看圖片或視頻，小組合作交流，動手實(shí)驗(yàn)等方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

學(xué)生在閱讀實(shí)際背景下的文字材料，缺少專注力和提取主要信息的能力，從實(shí)際情境中抽象數(shù)學(xué)圖形的意識和能力薄弱。本節(jié)課為文化背景下的一節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用課，文字語言較多，描述的活動比較抽象，學(xué)生缺少豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，因此本節(jié)課教師設(shè)計(jì)了演示視頻和小組討論等活動來輔助學(xué)習(xí)。

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）應(yīng)用等腰三角形知識解決簡單的實(shí)際問題。

（2）經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象出幾何模型并解決問題的過程。探索在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的角度提出問題，運(yùn)用多種學(xué)科知識解決問題的方法。

（3）感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)合作交流、動手實(shí)踐、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀能力。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用等腰三角形的知識解決實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)語言的描述準(zhǔn)確畫出幾何圖形。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教學(xué)內(nèi)容：引入本節(jié)課的主題——利用“立桿驗(yàn)影”法確定平面內(nèi)的方向。

問題1

（姜子藝同學(xué)）在剛剛結(jié)束的校運(yùn)動會上，各班的方隊(duì)和精彩紛呈的展示活動，展現(xiàn)了各班同學(xué)朝氣蓬勃的精神面貌，令人印象深刻（見圖2）。

圖2

運(yùn)動會結(jié)束后，我一直在思考一個問題，希望同學(xué)們幫助我想想該如何解決。各班同學(xué)在入場時，為了保證各班方隊(duì)以“由北向南”的方向前進(jìn)，都借用了操場上的指向南北方向的跑道線入場，如果在操場上沒有跑道線的地方進(jìn)行展示時，又該如何畫出這條南北方向的直線呢？

學(xué)生活動：觀看照片，回顧與交流生活中確定方向的方法。學(xué)生能想到的方法很多，比如觀察太陽、北斗星的位置，觀察建筑的朝向等。

教師活動：教師對學(xué)生的方法進(jìn)行歸納，引出本節(jié)課的主題。

生活中有很多確定方向的方法，觀察太陽所處的方向是人們熟知的一種辨別方向的方法?；仡櫱懊娴膯栴}，如果站在操場上觀察太陽來確定方向，我們并不能十分準(zhǔn)確地確定操場上的東西或南北方向。今天這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)一種新的確定平面內(nèi)方向的方法——“立桿驗(yàn)影”法。

設(shè)計(jì)意圖：選擇熟悉的、貼近現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)可信的情境和學(xué)生感興趣的話題引入，利于降低學(xué)生的陌生感，激發(fā)學(xué)生的求知欲，深刻體會數(shù)學(xué)知識來源于生活。

（二）方法初探，解決問題

教學(xué)內(nèi)容：完整經(jīng)歷應(yīng)用“立桿驗(yàn)影”法確定平面內(nèi)的方向的過程。

問題2

日出時太陽所處方向是____，桿的影子所指方向是____方向；日落時太陽所處方向是____，桿的影子所指方向是____方向。

學(xué)生活動：

（1）全班同學(xué)觀看常樂同學(xué)課前拍攝的陽光下如何“立桿”的視頻（見圖3），了解“立桿”的方法，理解太陽、桿、桿的影子的關(guān)系。

圖3

（2）學(xué)生思考生活中太陽日出和日落的方向，通過閱讀和分析《淮南子·天文訓(xùn)》中的日出和日落的方向與節(jié)氣的關(guān)系的相關(guān)記載，全班交流后解決用方位角表示日出和日落時太陽所處方向的問題。

《淮南子·天文訓(xùn)》一章中相關(guān)記載譯文如下：

冬至?xí)r，太陽從東南方升起，向西南方落下，夏至?xí)r太陽從東北方升起，向西北方落下，春分和秋分時，太陽從正東升起，正西落下。

（3）利用太陽、桿、桿的影子的關(guān)系，全班交流后解決用方位角表示桿的影子的方向問題，學(xué)生板書作圖。

設(shè)計(jì)意圖：初步感受將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際情境中提出和發(fā)現(xiàn)問題的能力。觀看本班學(xué)生拍攝的演示視頻，更加貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)、感受此方法的真實(shí)可信，更利于學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與方法。

問題3

日出時，若在地面上點(diǎn)A處立一根桿，在地面上沿著這根桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B，A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），點(diǎn)B處立第二根桿；日落時，沿著第二根桿的影子的方向取一點(diǎn)C，使C，B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立第三根桿，連接AB，BC和CA。

想一想：圖中的幾何圖形是________，你判定的依據(jù)是____________________________________________。

師生活動：

（1）學(xué)生自主閱讀并獨(dú)立思考作圖，再板書分享。

（2）教師組織全班交流討論，確定圖形的準(zhǔn)確形狀，如圖4。在作圖過程中，根據(jù)兩次測量的距離都是十步，很容易確定圖形的形狀是等腰三角形。但是部分學(xué)生作圖時沒有考慮到日出與日落時桿的兩條影子的夾角是一個銳角，導(dǎo)致所畫三角形不準(zhǔn)確，如圖5所示。

圖4

圖5

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象出幾何圖形的過程，鍛煉學(xué)生的閱讀能力和準(zhǔn)確作圖的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

問題4

確定CA的中點(diǎn)D，你的方法是什么？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立完成作圖后全班分享（見圖6）。

圖6

設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生多種方法作圖，鼓勵學(xué)生從不同角度解決問題，提高作圖能力和獨(dú)立分析問題的能力。應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)證明所作點(diǎn)為中點(diǎn)時，提高學(xué)生的語言表達(dá)的能力。

問題5

如圖7，若確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，那么直線CA表示的是什么方向呢？為什么？

圖7

圖8

圖9

師生活動：回顧課前引入的問題并交流，教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識中直線的垂直與生活中方向中的垂直相結(jié)合，進(jìn)而解決問題。

設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，鍛煉獨(dú)立思考和解決問題的能力。感受實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題的互相轉(zhuǎn)化，體會方法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識和思想方法。

（三）方法再探，深化理解

教學(xué)內(nèi)容：小組合作進(jìn)一步探究“立桿驗(yàn)影”法，從測量工具和測量時間兩個方面設(shè)計(jì)改進(jìn)方案。

問題6

回顧“立桿驗(yàn)影”法確定平面內(nèi)方向的過程，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)知識解決的實(shí)際問題呢？

師生活動：

回顧“立桿驗(yàn)影”法解決問題的過程，并進(jìn)行歸納和總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)方法，梳理思路，為后續(xù)進(jìn)一步探究做準(zhǔn)備。

問題7

在學(xué)習(xí)了“立桿驗(yàn)影”法之后，如果在操場上沒有跑道線的地方畫出南北方向的直線，你會自己選擇哪些工具和時間呢？

師生活動：

（1）常樂同學(xué)在了解了“立桿驗(yàn)影”法之后，利用周末去體驗(yàn)了一下這個方法并錄制了視頻，課堂上與全班同學(xué)分享視頻后，交流了他在操作過程中遇到的困難。

（2）全班同學(xué)圍繞測量工具和時間的改進(jìn)展開討論。

（3）針對測量時間的改進(jìn)問題，由于學(xué)生缺少相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，教師給學(xué)生展示了一些不同時間時陽光下桿的影子的照片，引導(dǎo)學(xué)生歸納影子的角度的變化規(guī)律，進(jìn)而設(shè)計(jì)改進(jìn)方案。

參考：下面三幅圖分別展示了同一天中三個時刻桿的影子。

設(shè)計(jì)意圖：在對問題解決與數(shù)學(xué)思想深度理解的基礎(chǔ)上，體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探究的樂趣，對問題中蘊(yùn)含的規(guī)律進(jìn)一步進(jìn)行探究，養(yǎng)成合作交流和質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，鍛煉學(xué)生語言表達(dá)的能力。

（四）總結(jié)反思，歸納提升

教學(xué)內(nèi)容：對本節(jié)課所學(xué)的知識和學(xué)生的收獲進(jìn)行總結(jié)。

師生活動：

（1）教師首先引導(dǎo)學(xué)生從知識層面對本解課進(jìn)行小結(jié)。

（2）有人說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個新時代公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)，你同意這種說法嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生談?wù)剬σ陨嫌^點(diǎn)的理解。

（3）教師介紹“立桿驗(yàn)影”這種方法的出處，對學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)史”方面的教育。

設(shè)計(jì)意圖：

從知識的應(yīng)用、問題解決的過程、題目涉及的文化背景三個方面對本節(jié)課進(jìn)行了梳理和總結(jié)。梳理知識的同時，歸納了解決問題的方法，提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識。

（五）布置作業(yè)，拓展提高

A層（鞏固基礎(chǔ)）

《周髀算經(jīng)》中記載了一種確定東南西北方向的方法，大意是：（題目略）

B層（課后實(shí)踐）

繼續(xù)完善“立桿驗(yàn)影”法改進(jìn)方案，課后小組驗(yàn)證各組的方案。

設(shè)計(jì)意圖：分層布置作業(yè)，讓基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生鞏固知識和方法的應(yīng)用，有所收獲。完善和檢驗(yàn)本組的改進(jìn)方案這項(xiàng)作業(yè)作為課堂學(xué)習(xí)的深化和延伸，承擔(dān)著提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)的作用。如果由一個學(xué)生來完成會過于復(fù)雜，因此需要分工合作和多視角探究，從而真正發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，提高他們的團(tuán)隊(duì)合作的能力。