例談因式分解中的數(shù)學(xué)思想

陳錦鋼

【摘? 要】? 因式分解不僅是初中數(shù)學(xué)中重要的恒等變形，還是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段與工具.對于因式分解的學(xué)習(xí)，既要掌握常見的基本方法，還要領(lǐng)悟方法中滲透的數(shù)學(xué)思想.本文通過實例，探討因式分解中滲透的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；因式分解；數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想作為一種數(shù)學(xué)意識，在對其領(lǐng)會的基礎(chǔ)上并加以運動，可以加深對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理與解決.隨著時間推移即使數(shù)學(xué)知識出現(xiàn)遺忘，數(shù)學(xué)思想仍然能夠?qū)δ闫鹱饔?在因式分解中蘊藏了整體思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想、換元思想等等，如果能夠在領(lǐng)會的基礎(chǔ)上靈活運用，往往可以快速解決因式分解問題.

1? 整體思想

整體思想是指從整體上去看待問題并思考問題，強調(diào)對問題整體結(jié)構(gòu)的研究，聚焦于問題整體結(jié)構(gòu)的特征，將問題中的式子、圖形借助彼此之間的關(guān)聯(lián)視為一個整體，實現(xiàn)化復(fù)雜為簡單，變困難為容易.

例1? 因式分解：.

分析? 把看作一個整體，借助完全平方公式進行分解，再利用平方差公式達到徹底分解.

解

.

整體思想分解因式，是將分解的多項式中的某些項看作一個整體，然后加以分解.

2? 類比思想

類比思想是指具有相同或相似特征的兩個物體間的對比，從某一類事物的某些已知特征去類推到另一個事物的相應(yīng)特征的思維活動.類比思想是由新信息引起對已有知識的聯(lián)想，在新舊信息間找相似和相同的地方.

例2? 分解因式：（1）

（2）.

分析? （1）類比平方差公式可以先提取后再計算（2）對比完全平方差公式可以提取再計算.

解? （1）

（2）

.

類比思想在因式分解中應(yīng)用十分廣泛，常表現(xiàn)在因式分解與整式乘法對比、因式分解與乘法的分配律對比、因式分解與乘法公式的對比.

3? 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指對未知解法或難以解決的問題，在觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選取合適的方法進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成已有知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題的數(shù)學(xué)思想.

例3? 因式分解（1）；

（2）-.

分析? （1）在上添上和這兩項后，利用分組分解法，再使用平方差進行分解.（2）根據(jù)多項式特點，把3拆成，再借助平方差、平方和公式求解.

解? （1）原式=

=-

=.

（2）原式

=

=

=.

轉(zhuǎn)化思想是針對某些多項式從直觀上無法利用因式分解的一般步驟進行時，必須借助適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，如添項、拆項等適當(dāng)?shù)淖冃危趴梢岳靡蚴椒纸獾挠嘘P(guān)方法進行.

4? 換元思想

換元思想是指將某個式子視為一個整體，然后用一個變量去替代它，從而簡化問題.換元的關(guān)鍵在于構(gòu)造元和設(shè)元.

例4? 因式分解：.

分析? 借助十字相交法將進行因式分解，然后調(diào)整因式位置，轉(zhuǎn)化為，再借助換元法令，將原式進行轉(zhuǎn)換求解.

解

.

設(shè)，則.

原式

.

在多項式的因式分解過程中，借助換元，能夠?qū)崿F(xiàn)將復(fù)雜的多項式轉(zhuǎn)變成形式簡單、便于分解的多項式，進而實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化.

5? 結(jié)語

因式分解的本質(zhì)是將一個多項式分解成幾個整式乘積的形式.它是整式乘法的相反方向的變形.把握因式分解中的數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)解題的靈魂.

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