分式化簡(jiǎn)求值
——整體思想巧代入

文／楊 穎

分式化簡(jiǎn)求值是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中重要的題型之一，我們常常會(huì)因?yàn)榉椒ㄟx擇不當(dāng)而多走彎路，因此，熟練掌握分式化簡(jiǎn)的技巧顯得格外重要。下面，我們通過(guò)幾個(gè)例題，著重介紹“整體代入法”，希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

【分析】通過(guò)計(jì)算解出a與b的值，再代入，過(guò)程復(fù)雜且耗時(shí)。若我們利用“整體代入法”，先將變形為2b+a=4ab，尋找相同字母系數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，就可以達(dá)到整體代入的目的。當(dāng)然，除了可以將條件變形，我們也能先將結(jié)論變形，把分式的分子、分母同時(shí)除以ab（ab≠0），然后用“整體代入法”搭橋，問(wèn)題也能得到解決。

解：由題意得，a≠0，b≠0。

方法一：

【分析】本題若直接代入計(jì)算比較復(fù)雜。通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)完全平方公式化成含xy、x+y的形式，同時(shí)，x、y的值也為“整體代入”創(chuàng)造了條件。

【分析】我們觀察到本題條件與結(jié)論都是分子為乘積、分母為和的形式，不妨先將的兩邊同時(shí)“取倒數(shù)”，然后變形整理，求出的倒數(shù)的值。我們把這種解法叫作“倒數(shù)法”。

解：由題意得，x≠0，

我們發(fā)現(xiàn)，使用“整體代入法”時(shí)一般有以下特征：將字母部分看成一個(gè)整體直接代入；將條件進(jìn)行適當(dāng)變形后代入；利用完全平方公式等方式轉(zhuǎn)化與“次”有關(guān)的代數(shù)式。其實(shí)“整體代入法”不僅在分式化簡(jiǎn)求值中作用極大，同時(shí)在圖形與幾何、解方程等版塊中的作用也至關(guān)重要。