融合尺規作圖教學　助力學生素養發展

朱燕

【教學內容】

人教版四年級下冊第五單元“三角形”中的“三角形的三邊關系”。

【設計理念】

《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增了“會用直尺和圓規作三角形，探索三角形的三邊關系，并說出其中道理”的要求，意在讓學生把頭腦中想象的圖形畫出來，在畫圖過程中逐步發展核心素養。在本課的學習中，作圖前學生的想象，是孕育空間觀念的搖籃；作圖時留下的痕跡，是學生思考過程的體現；作圖后進行觀察驗證，是發展幾何直觀和推理意識的最佳時機。

【教學目標】

1.理解三角形的三邊關系，能用三邊關系解決實際問題或解釋生活現象。

2.在尺規作圖的操作中，積累“判斷三條線段能否圍成三角形”的活動經驗，經歷“猜想—操作—驗證”的過程，發展空間觀念、幾何直觀和推理意識。

3.體會數學與生活的聯系，提高學習興趣。

【教學重點】知道三角形的三邊關系，會用三邊關系解決簡單的實際問題。

【教學難點】理解三角形的三邊關系，能靈活解決生活問題或解釋生活現象。

【教學流程】

一、情境導入，猜想三角形的三邊關系

師：如圖所示，小明從家去學校，走哪條路更近呢？為什么？（出示教材例3主題圖）

學生通過觀察、測量、討論，得出答案——直著走最近。

小結：兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫作兩點間的距離。

師：根據這一結論，想一想小明從家到郵局哪條路最近？從學校到郵局呢？這三條路剛好圍成了三角形，你發現這個三角形的三條邊有什么關系嗎？

預設：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

師：是不是所有的三角形三條邊都有這樣的關系呢？今天這節課我們就一起來研究三角形的三邊關系。

（板書課題）

二、尺規作圖，驗證三角形的三邊關系

（一）出示線段，學習尺規作圖的驗證方法

1.猜想三條線段能否圍成三角形。

師：這里有3條不同長度的線段（3cm、5cm、6cm，圖略）。請同學們想象一下，如果我們用圓規先截取最長的一條，在紙張的空白處畫出同樣長的線段，然后以這條線段為基準，再用圓規截取、畫出另外兩條線段，它們能圍成三角形嗎？

2.畫圖驗證，總結尺規作圖的驗證方法。

師：老師給你們每人一把直尺和一副圓規，你能用畫一畫的方法來驗證它們能否圍成三角形嗎？

學生畫圖驗證，教師巡視指導。

匯報：誰愿意來介紹你是怎么畫圖驗證的？

學生一邊展示自己的畫圖作品，一邊描述作圖方法。

追問：其他同學聽懂他的方法了嗎？

小結尺規作圖的驗證方法：（1）先用圓規截取最長線段的長度，與直尺配合在空白處畫出同樣長的線段a。（2）用圓規截取第二條線段的長度，針尖對準線段a的一端畫出圓弧，則針尖到圓弧任意一點的距離就是這條線段的長度。（3）用圓規截取第三條線段的長度，針尖對準線段a的另一端畫出圓弧。若兩個圓弧有交點，且交點在直線外，則能連線畫出三角形；若兩個圓弧的交點在直線上或沒有交點，則無法連線，不能圍成三角形。

（二）尺規操作，歸納推理三角形的三邊關系

師：你們都學會這種驗證方法了嗎？那這4組線段能否圍成三角形？請同學們四人小組分工合作，利用尺規畫一畫驗證。（出示教材例4）

追問：為什么第二組和第三組都圍不成三角形？

預設：因為兩邊之和等于第三邊，會重合；兩邊之和小于第三邊，夠不著會斷開。

追問：既然兩邊之和小于或等于第三邊都圍不成三角形，那三條邊必須滿足什么條件才能圍成三角形呢？

追問：三角形任意兩邊之和大于第三邊的“任意”能否省略呢？

四人小組討論，按順序依次表達自己的想法，形成結論，由組長總結匯報。

預設：不能省略。第二組和第三組就是反例。兩

邊之和大于第三邊，有可能圍不成三角形。

反例1：4+9>5，5+9>4，4+5=9。（圖略）

反例2：3+10>6，6+10>3，3+6<10。（圖略）

小結：“任意”不能省略。

（三）深入驗證：演繹推理三角形的三邊關系

師：雖然這4組線段中，只有“任意兩邊之和大于第三邊才能圍成三角形”，那是不是所有三角形任意兩邊之和都大于第三邊？有什么好辦法進行驗證嗎？

方法1：合情推理，畫出多個三角形，先量一量、比一比，再通過計算驗證。（圖略）

方法2：演繹推理，利用“兩點之間，線段最短”的基本事實進行驗證。因為“兩點之間，線段最短”，所以a+b>c，a+c>b，b+c>a，即三角形任意兩邊之和大于第三邊。

追問：這幾種驗證方法中，你們更信服哪種驗證方法？說一說理由。

預設：更信服第二種驗證方法，因為它能證明所有三角形都符合三角形三邊關系，第一種舉例子的方法不完整，因為例子是舉不完的。

小結：舉例子的方法屬于合情推理，這種推理可用來發現規律，但不能證明規律，因為例子是舉不完的。而根據“兩點之間，線段最短”的基本事實證明三角形的三邊關系屬于演繹推理，可以用來證明規律。

三、聯系生活，應用三角形的三邊關系

（一）學以致用，解釋生活中的現象

師：同學們，我們已經知道了三角形的三邊關系，你能解釋這些生活中的現象嗎？（四人小組分工合作）

小結：前兩幅圖，人們雖然運用了三角形三邊關系走了捷徑，但第一幅圖中的游客破壞了環境，第二幅圖中的叔叔有生命危險，是不可取的。第三、四幅圖中描述的事件合理利用了三角形的三邊關系，為我們的生活帶來了便利和好處，我們要像這樣合理運用知識造福世界，便捷生活！

（二）解決問題，對比提煉簡便方法

師：工人叔叔有三根鐵棒（長度為3cm、4cm和6cm），他能否將其焊接成一個三角形？為什么？

預設：這三根鐵棒能焊接成一個三角形。

方法1：尺規作圖。

方法2：因為3+4>6，4+6>3，3+6>4，所以能圍成三角形。

方法3：只要判斷3+4>6就可以了，因為4+6>3，3+6>4，必然成立，所以只要判斷“較短”兩邊之和大于第三邊，就能判斷三根鐵棒能圍成三角形。

師：你們更喜歡哪種方法？說一說理由。

小結：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是三角形三條邊的本質關系，比較“較短兩邊之和是否大于第三邊”是判斷三條線段能否圍成三角形的簡便方法。

四、推理想象，拓展三角形的三邊關系

出示題目：已知三角形兩條邊分別是5 cm和8 cm，第三條邊可能是多長？

第一層次：結合實例，嘗試推演有限個數的整數結果。

師：怎樣驗證這些答案是否正確？

預設：計算驗證或尺規作圖驗證。

第二層次：想象、理解無限個數的數學結果。

師：請同學們想象一下，把這些圖中8cm的這條邊合并在一起會怎樣？

學生思考后，出示圖2。

追問：仔細觀察這幅圖，你有什么發現？

第三層次：動態展示，形成更深層的三角形三邊關系。

師：是這樣嗎？我們讓這幅圖動起來。（課件展示：動態的三角形）

追問：看了動態的三角形，你又有什么發現？

小結：是的，當三角形兩條邊的長度固定不變時，不管三角形的第三條邊怎么變，都一定滿足“兩邊之差<第三邊<兩邊之和”。（如圖3所示）

五、課堂總結，了解學生的收獲與體會

師：這節課你有什么收獲？回想一下我們是如何探究三角形的三邊關系的？