一道“大夢杯”福建省數學水平測試題的解法與推廣

河北省秦皇島市第一中學(066006) 趙成海

題目(2022年“大夢杯”福建省青少年數學水平測試)若正數a,b,c,滿足則=____.

這是一道填空題,難度也不大,對于同學們而言,容易得到其解決方法,但如果對本題多角度地深入思考,發現此題蘊含的價值很高,讓我們一起來分享探究過程,體驗新收獲的喜悅,并求解以此為背景編擬的相應題目.

一.解法分析

分析一題設中三個條件,三個變量a,b,c,其常規思路是通過解三元方程組,求出a,b,c的值,進而可求的值.

解法1(消元法)由得得即代入到abc=1 中,得解得進而從而.

解法2(整體代換)由abc=1 得得從而3b?1=17?b,即以下同解法1.

分析二觀察題目所涉及的各個表達式,其特點具有輪換性,因而可以考慮三式乘積,即的不變性,由此入手進行探究,發現結果與三式求和具有某種等量關系,從而使問題得解.

解法3

解法4先通過abc=1,三式分別化簡為:三式再相乘,則有

即3×17×(c+cb)=(2+3+17+c+cb),解得也就是.

二.思考探究

思考1由解法3,解法4 的運算過程,不難發現,在已知abc=1 前提下,對于三式,是可以知二求一的,從而考慮一般情況,則有

推廣1若正數a,b,c,滿足那么m,n,p滿足關系式:mnp=2+m+n+p.

證明考慮解法3,或解法4,不難證明.

思考2若對賽題逆向思考,即會想到:是否可以推出abc=1 呢?

探究由

即(abc?1)2=0,因而abc=1,可見逆命是成立.

將探究的結論一般化,得到:

推廣2若正數a,b,c,滿足那么有結論.

①若mnp?(m+n+p)<2,abc無解,

②若mnp?(m+n+p)=2,則abc=1,

③若mnp?(m+n+p)>2,則通過解關于abc一元二次方程,abc可求.

由此,我們可以得到如下變式:

變式1若正數a,b,c,滿足從而abc=1.

變式2若正數a,b,c,滿足則則abc=2或

思考3如果改變條件中abc的值,又會如何?

嘗試若正數a,b,c,滿足則=____.

從而,新問題依然可解,考慮一致性,我們將后續條件的系數隨之做出改變,并且一般化如下:

推廣3若正數a,b,c,滿足那么有結論mnp=k(1+m+n+p+k).

證明通過abc=k,化簡三式為:那么

即mnp=k(1+m+n+p+k).

從而m,n,p,k中知三求一,當然與推廣2 相類比,需要注意在求k值時,畢竟解一元二次方程,需要分類討論,因為其值存在與否也是有條件限制的.基于推廣3,有:

變式3若正數a,b,c,滿足則p=____.

解p3=8(1+3p+8),即p3?24p?72=0,得p=6.

思考4對于思考3 及推廣3 的求解,也可以將已知條件再做系數上的變式.

推廣4若正數a,b,c,滿足其中t為正常數,那么有結論mnp=t3+1+t(m+n+p).

證明已知化為那么

即mnp=t3+1+t(m+n+p).

從而,可考慮如下的問題:

變式4若正數a,b,c,p,滿足則p=____.

解p3=9+6p,即p3?6p?9=0,得p=3.

變式5若正數a,b,c,滿足=____.

解.

思考5將推廣3 與推廣4 結合,則有:

推廣5若正數a,b,c,滿足其中t為正常數,那么有結論mnp=k[t3+k+t(m+n+p)].

證明已知化為那么

即mnp=k[t3+k+t(m+n+p)].

從而,可以考慮如下問題:

變式6若正數a,b,c,滿足那么=____.

解即解得.

自然,如果將k,t都取成1,推廣5 便可回歸到推廣1.

我們再回憶以上過程,推廣式層層遞進,有了如此的變式思考與推廣探究,那么想要命制與賽題相類似的題目,就有了比較開闊的思維空間,從而在解題的時候也可以觸類旁通,舉一反三.