一道自主招生試題引發的探究

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

一、題目呈現與解答

題目(2016年北京大學博雅計劃第7 題)的值為( ).

解答

因為T20,從而.所以

故選D.

本題主要是利用二倍角公式及誘導公式進行解答,難度不大.令人感興趣的是:試題能不能推廣? 即的值是什么? 是否還有其它類似的連乘三角求值式子?

筆者經過一番探究,得到一系列優美的連乘三角恒等式,特意成文,與大家分享.

二、一個引理

引理.

證明記,n ∈N?,其中i 為虛數單位,則方程xn?1=0 有n個互不相等的根ω,ω2,···,ωn(ωn=1).所以

xn?1=(x?1)(x?ω)(x?ω2)···(x?ωn?1),

又因為

從而可得

1+x+x2+···+xn?1=(x?ω)(x?ω2)···(x?ωn?1),

令x=1,則(1?ω)(1?ω2)···(1?ωn?1)=n.取模,得|1?ω|·|1?ω2|···|1?ωn?1|=n.

當1 ≤k≤n?1,且k ∈N?時,可得,即有.從而

故

三、部分連乘的三角恒等式及證明

證明記,則

由引理,得

證明由引理,可得

兩式相除,得

證明記,則

由引理,得

證明由(3),得

證明記,得

即

由(2),可得

證明由(5),得

評注顯然,當n=5 時,,這正是原題的情形了.

證明由(5),得

證明由(1),得

證明由,得

證明由引理,可得,由(6),有.兩式相除,得

證明由,得

證明由,得

利用上述方法及恒等式,還可得到更多相關的三角恒等式,有興趣的讀者不妨繼續探究.