體會(huì)本質(zhì),以不變應(yīng)萬變
——理解裂項(xiàng)求和的基本方法

天津市南開中學(xué)(300100) 張廣民

裂項(xiàng)求和是學(xué)生們非常熟悉的一種數(shù)列求和的基本方法,但是很多學(xué)生都是以記住了一些能夠裂項(xiàng)的數(shù)列的結(jié)論,在解題的過程中套用這樣的結(jié)論.但是遇到一些新的情景,就會(huì)出現(xiàn)問題.而實(shí)際上,裂項(xiàng)求和有著及其重要和豐富的內(nèi)涵,對(duì)于理解數(shù)列的變化規(guī)律也有著重要的作用.本文通過對(duì)這個(gè)問題背景的探索,幫助學(xué)生理解裂項(xiàng)求和的本質(zhì),從根源理解裂項(xiàng)求和,淡化特殊技巧和結(jié)論.

在裂項(xiàng)求和的教學(xué)過程中,教師往往會(huì)強(qiáng)調(diào)一個(gè)常見的模型:若{an}是等差數(shù)列,且公差d ?=0,則形如的數(shù)列求和可用裂項(xiàng)這種方法,具體做法為

雖然這個(gè)數(shù)列的結(jié)構(gòu)與常見的模型不太一樣,但是仍然也可以用裂項(xiàng)相消來進(jìn)行求和.所以從教學(xué)角度來說,并不能讓學(xué)生形成只有{bn}這種結(jié)構(gòu)才可以裂項(xiàng)的想法,而是能夠主動(dòng)的根據(jù)數(shù)列結(jié)構(gòu)來進(jìn)行裂項(xiàng)相消.

比較常見的,能夠用裂項(xiàng)相消來求和的數(shù)列大部分是一個(gè)“分式型”的數(shù)列,分式的分母能夠進(jìn)行因式分解,而裂項(xiàng)的目的在于“相消”,所以關(guān)鍵在于作為這個(gè)分式的分子能否用分母因式分解后的因式用求差的方式來表示分子,比如

這是學(xué)生判斷這個(gè)數(shù)列能否“裂項(xiàng)相消”的主要特征,而掌握了這個(gè)特征,就使得學(xué)生可以主動(dòng)地運(yùn)用裂項(xiàng)來處理求和問題.比如2018年高考天津卷理科第18 題:

題目設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n ∈N?),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

(I)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n ∈N?),

(i)求Tn;

此題的前幾問不再贅述,我們只看最后一問,經(jīng)過前幾問我們得到an=2n?1,bn=n,Tn=2n+1?n?2,則當(dāng)然這一問我們可以從要證明等式的右邊來推斷出左邊如何裂項(xiàng),但是如果主動(dòng)的運(yùn)用裂項(xiàng)來處理這個(gè)數(shù)列,我們可以發(fā)現(xiàn)分母是兩個(gè)因式乘積的結(jié)構(gòu),而分子還有2 的指數(shù)冪的結(jié)構(gòu),所以考慮用分母的因式結(jié)合2 的冪的結(jié)構(gòu)來構(gòu)成求差的形式,從而

從而達(dá)到了證明目的.

上述方法對(duì)于裂項(xiàng)來說可以說是一種“大方向”上的處理手段.具體操作需要根據(jù)題目條件進(jìn)行“湊”一下,從而找到結(jié)果.但是對(duì)于學(xué)生而言,這種主動(dòng)的找到裂項(xiàng)的方法更多是一種技巧性的使用,對(duì)于學(xué)生技巧的運(yùn)用似乎要求更高,就像天津這道高考題,如果沒有右邊結(jié)論的提示,能不能有一種理論上的可以找到裂項(xiàng)的方法,而不僅僅是只知道“大方向”,然后采用“湊”的方式來找到具體如何裂項(xiàng)呢?

一、差分?jǐn)?shù)列

定義對(duì)于數(shù)列{an},記?an=an+1?an,我們稱數(shù)列{?an}為{an}的(一階)差分?jǐn)?shù)列.

比如:數(shù)列1,3,5,7,···的差分?jǐn)?shù)列為2,2,2,···;數(shù)列1,2,4,8,16,32,···的差分?jǐn)?shù)列仍為1,2,4,8,16,···;數(shù)列1,2,3,5,8,13,21,···的差分?jǐn)?shù)列為1,1,2,3,5,8,13,··· .實(shí)際上,差分?jǐn)?shù)列體現(xiàn)出數(shù)列的遞增(減)的幅度,即每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值.這個(gè)想法也是研究一個(gè)數(shù)列變化規(guī)律的基本想法.從另一個(gè)角度來看,這也正好體現(xiàn)出數(shù)列{an}的變化率,類似于函數(shù)的平均變化率數(shù)列是一個(gè)自變量取值為正整數(shù)的函數(shù),因此數(shù)列的變化率會(huì)類似于函數(shù)的導(dǎo)數(shù).只不過因?yàn)閿?shù)列項(xiàng)數(shù)變化是離散的,而導(dǎo)數(shù)中的增量會(huì)趨向于零.我們可以看出,一個(gè)等差數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)常數(shù)列,一個(gè)等比數(shù)列(公比不為1)的差分?jǐn)?shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列,恰對(duì)應(yīng)著一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù),指數(shù)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是指數(shù)型.前面的第三個(gè)例子(斐波那契數(shù)列),可以看出它的差分?jǐn)?shù)列還是它自身,因此我們可以猜想它的通項(xiàng)也應(yīng)該是一個(gè)指數(shù)型的.實(shí)際上,斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)為它實(shí)際是兩個(gè)等比數(shù)列的和.

二、裂項(xiàng)求和與定積分

從差分?jǐn)?shù)列的概念可以看出,an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+···+(an?an?1),即為an=a1+?a1+?a2+···+?an?1.也就是說,an是由a1和其差分?jǐn)?shù)列{?an}的前n?1 項(xiàng)之和構(gòu)成,從幾何的角度,可以理解為an是在a1的基礎(chǔ)上加上后面所有相鄰項(xiàng)的增量.實(shí)際上,我們?cè)谘芯康炔顢?shù)列通項(xiàng)公式的時(shí)候,就是應(yīng)用的這個(gè)方法.由于等差數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列是以公差d為項(xiàng)的常數(shù)列,故an=a1+d+d+···+d=a1+(n?1)d.

對(duì)于數(shù)列求和,恰是把上面的過程反之.即,我們要研究一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,那么我們應(yīng)該把{an}看成是某一個(gè)數(shù)列{bn}的差分?jǐn)?shù)列,即要滿足an=bn+1?bn.這樣的話,就有bn+1=b1+a1+a2+···+an,從而有Sn=a1+a2+···+an=bn+1?b1.因此,我們只需要找到滿足要求的bn即可.這個(gè)過程就是裂項(xiàng)求和的基本思想.

比如,若an=kn+b,可取這時(shí)再如,若an=qn?1(其中q ?=1),可取這時(shí).

與函數(shù)的積分做一個(gè)對(duì)比,若an對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)f(x),則bn對(duì)應(yīng)于f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x),于是上面的關(guān)系對(duì)應(yīng)∫但是要注意,對(duì)于定積分,它是將f(x)中變量x進(jìn)行無窮小的分割,但是對(duì)于數(shù)列其自變量取值總是離散的.因此,這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系只是結(jié)構(gòu)上的關(guān)系,數(shù)值上還是不同的.

三、如何尋找一個(gè)差分?jǐn)?shù)列的原數(shù)列

這個(gè)想法正是由函數(shù)積分的關(guān)系得到.比如,當(dāng)an=kn+b時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù)為f(x)=kx+b,其原函數(shù)為其中c ∈R.由于前面提到的,數(shù)列離散的特點(diǎn),因此但是其單調(diào)變化的模式應(yīng)該與F(x)是一致的,因此我們可以考慮bn=αn2+βn+γ,甚至注意到離散關(guān)系不會(huì)影響二次項(xiàng)的系數(shù),而常數(shù)項(xiàng)γ在利用時(shí)總會(huì)被消去,故直接取即可.利用bn+1?bn=an可以解得即可求得.

類似的,當(dāng)an=qn?1時(shí),其對(duì)應(yīng)函數(shù)為f(x)=qx?1,原函數(shù)為與前面同樣的原因,我們可以設(shè)bn=αqn,利用待定系數(shù)法求得故由此可得.

再來看看我們熟知的等差乘以等比的數(shù)列求和.

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公差為d等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1,公比為q的等比數(shù)列,cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

傳統(tǒng)的方法是錯(cuò)位相減法,這里我們嘗試尋找一下以{cn}為差分?jǐn)?shù)列的原數(shù)列.容易得到cn=(dn+a1?d)·b1qn?1,不妨記其為cn=k(n+s)qn,其中其對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=k(x+s)qx.我們?nèi)菀椎玫胶瘮?shù)g(x)=(x+s)ex的原函數(shù)是G(x)=(x+s?1)ex+c,類似的,可以求出f(x)的原函數(shù)為實(shí)際上,我們沒有必要求得F(x),只要知道F(x)的構(gòu)成形式,就可以設(shè)出其原數(shù)列tn.因此由G(x)的形式,我們?cè)O(shè)tn=(αn+β)qn,由tn+1?tn=[(αq?α)n+(α+β)q?β]qn=cn=k(n+s)qn,進(jìn)而得到帶入即可求得.在具體問題的求解過程中,我們只需要掌握這個(gè)方法即可.比如:

例題1已知數(shù)列{an}滿足an=(4n+1)3n?1,求其前n項(xiàng)和Sn.

分析設(shè)bn滿足an=bn+1?bn,由前面知,可設(shè)bn=(αn+β)3n?1.再由bn+1?bn=(4n+1)3n?1,可得即.

解由3n?1,記則an=bn+1?bn,故有

通過這樣的方法,我們就回避了錯(cuò)位相減法,直接裂項(xiàng)求得結(jié)果.一般的,an=(An+B)qn?1的原數(shù)列形式為bn=(αn+β)qn?1,故{an}的前n項(xiàng)和為Sn=bn+1?b1=(αn+α+β)qn?(α+β),其中α和β可以通過待定系數(shù)法確定.

我們?cè)倏磦€(gè)例子.

例題2求Sn=1×n+2×(n?1)+3×(n?2)+···+n×1.

分析其對(duì)應(yīng)通項(xiàng)為ak=k(n?k+1)=?k2+(n+1)k,其中k=1,2,···,n.注意到它是一個(gè)關(guān)于k的二次式,二次項(xiàng)系數(shù)為?1,故可設(shè)其原數(shù)列為bk=由bk+1?bk=ak,可以解得.

解設(shè)則有ak=k(n?k+1)=?k2+(n+1)k=bk+1?bk.又因?yàn)?/p>

故可得

當(dāng)然,這里提到的觀點(diǎn)是裂項(xiàng)處理的本質(zhì).在具體的問題中,如果不知道如何裂項(xiàng)的話可以使用這個(gè)方法嘗試.在實(shí)際的操作過程中,往往還是根據(jù)已知數(shù)列通項(xiàng)的特征進(jìn)行嘗試,處理起來可能會(huì)更加方便.

例題3(2020年高考天津卷第19 題)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5(a4?a3),b5=4(b4?b3).

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:(n ∈N?);

(Ⅲ)對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)

求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和.

本題前兩問比較簡(jiǎn)單,這里不再贅述,可得an=n,bn=2n?1.進(jìn)而可得

對(duì)于c2k?1的求和,很明顯可以看出要將其裂項(xiàng)為的形式,經(jīng)整理可得故有對(duì)c2k求和,我們可以將c2k裂項(xiàng)為其中k ∈N?.

四、小結(jié)

實(shí)際上,任何一個(gè)數(shù)列{an}都有以其為差分?jǐn)?shù)列的原數(shù)列.至少其前n項(xiàng)和Sn即滿足an=Sn?Sn?1(n ∈N?且n≥2),因此,bn=Sn?1(n≥2),b1=0 就是{an}的一個(gè)原數(shù)列.所以,從理論上來講,裂項(xiàng)求和是可以解決我們遇見的所有的求和問題.但是,其難點(diǎn)就是找到這個(gè)數(shù)列的原數(shù)列,本質(zhì)上就是要找到其前n項(xiàng)和的形式.我們將數(shù)列求和與函數(shù)的定積分類比,通過函數(shù)的原函數(shù)形式判斷數(shù)列原數(shù)列的形式,然后用待定系數(shù)法確定之.