求解不等式恒成立問題的嫌疑點法

重慶市璧山區教師進修學校(402760) 秦文波 劉志成

重慶市璧山中學校(402760) 蒙春雪

一、問題的提出

含參不等式恒成立問題是高考命題的熱點,也是教學的重點和難點.對該類問題的簡化求解激發了廣大師生和研究者的研究興趣,從相關文獻來看,確實形成了不少有效成果.這些成果從方法的角度大致可以分為三類:直接法、分離函數法和必要性探路法.

從我們的教學和解題實踐來看,這三類方法雖然各有優劣,但相較而言必要性探路法更易切入和更具可操作性,但此類方法也有難點,那就是如何尋找“最合適”的必要條件.如果選取的必要條件“不夠精確”,那就不能達到降低難度的目的.怎樣讓必要性探路探得更精確些? 有學者提出了“端點效應法”、“零點效應法”、“切點法”和“極值點法”等等,這幾類方法對某些問題的解決確有奇效,但它們都未能將必要性探路探得“最精確”,未能探出充要條件.什么樣的必要條件才能探出充要條件? 本文對此作一些探討.

二、基本問題與思路

基本問題:已知f(x)是含參數a的可導函數,若?x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求實數a的取值范圍.

基本思路:類比可導函數在閉區間上最值的求法,將所有可能影響函數圖象走勢的關鍵點找出來,通過控制函數在這些點處的局部圖象走勢,去控制函數圖象在整個區間上的整體走勢,從而保證函數圖象全部不在x軸下方,確保所有函數值非負.

三、引例與約定

引例1(2020年高考全國Ⅰ卷理科第21 題節選)已知函數f(x)=ex+ax2?x.當x≥0 時,求實數a的取值范圍.

說明依題意,(x≥0)恒成立.g(0)=0,g′(0)=0.

引例2(2017年高考全國Ⅲ卷理科第21 題改編)已知函數f(x)=x?1?alnx.若求a的取值范圍.

說明,

引例3(2015年高考山東卷理科第22 題改編)設函數f(x)=ln(x+1)+a(x2?x).若?x≥0,f(x)≥0,求實數a的取值范圍.

說明f(0)=0,f′(0)=1?a,

為了敘述方便,本文作如下約定:

(1)真零點與嫌疑零點:對于含參數a的可導函數f(x),若f(t)=0 對a ∈R 恒成立,就稱t為f(x)的真零點;若f(t)=0 成立但t與參數a有關,則稱t是f(x)的嫌疑零點.

如例1 中的0 是g(x)的真零點,2 是g(x)的嫌疑零點;例2 中的是f(x)的嫌疑零點,1 是f(x)的真零點;例3中的0 是f(x)的真零點.

(2)真零切點與嫌疑零切點:對于含參數a的方程組若其解為則x0叫做f(x)的真零切點,若其解為則x0叫做f(x)的嫌疑零切點,將這兩種點x0統稱為零切點.

如例1 中的0 是g(x)的真零切點,2 是g(x)的嫌疑零切點;例2 中的1 是f(x)的嫌疑零切點;例3 中的0 是f(x)的嫌疑零切點.

四、三類關鍵點

一般地,影響函數圖象走勢進而影響函數值符號的關鍵點有三類:區間左端點、區間右端點和區間內部的零切點.下面逐一分析.

(一)區間左端點

要使f(x)≥0,就必須有f(m)≥0,但要確保從左端點m出來后的函數值非負,僅有f(m)≥0 是不夠的,需要對x=m處的函數值或導數值分情形限定.

情形1m是真零點

當m是f(x)的嫌疑零切點時,根據函數的連續性及導數的幾何意義知,只有f′(m)≥0 時,才能確保f(x)在x=m處的右鄰域[m,m+δ)(區間很小,δ是個充分小的量)內函數值為正;當m是f(x)的真零切點時,若f′′(m)?≡0 則必須要求f′′(m)≥0,若f′′′(m)?≡0 則必須要求f′′′(m)≥0,如此繼續,直到找到不恒為零的導數值并令其非負,才能確保f(x)在x=m處的右鄰域[m,m+δ)(區間很小,δ是個充分小的量)內的圖象不會位于x軸的下方.

情形2m是嫌疑零點

由于m是f(x)的嫌疑零點,所以f(m)的符號不確定(依賴于參數a的取值).f(x)在x=m處的圖象只有位于x軸的上方或者與x軸相切才可能滿足條件,而且與x軸相切后圖象必須上升.因此,若m不是f(x)的零切點則需要滿足f(m)>0,若m是f(x)的嫌疑零切點則需要滿足f(m)≥0.

(二)區間內部零切點

從左端點出來的f(x)的圖象已經在x軸的的上方,但其接下來可能往上走也可能向下走,若要確保其一定不穿過x軸,只要將其可能與x軸相交的點的橫坐標變為零切點,并且該零切點為極小值點即可.因此,區間內若存在零切點x0則需要分情形限定.

情形1x0是真零切點

若f′′(x0)?≡0,則需要f′′(x0)≥0;若f′′(x0)≡0,f′′′(x0)0,則需要f′′′(x0)≥0;如此繼續,直到得到不恒為零的導數值,并令其非負即可.

情形2x0是嫌疑零切點

若x0是f(x)的真零點且f′(x0)?≡0,則需要f′(x0)=0,f′′(x0)>0;若x0是f(x)的嫌疑零點,則需要f(x0)≥0.

(三)區間右端點

由于區間右端點是+∞,要確?！皒 →+∞時,f(x)≥0”,我們只需要借助函數f(x)的極限,或者將f(x)拆分成兩個函數的差之后,通過比較它們的大小去控制參數a的范圍即可.

(四)一種特例

若f(x)在整個定義域上無零切點,則說明f(x)的所有圖象都在x軸上方,或者都經過x軸下方的某個(或多個)定點.前者只需f(m)≥0 且x →+∞時f(x)≥0 即可.對于后者,若有定點在區間(m,+∞)內,則原問題無解(一般不出現);若沒有定點在區間(m,+∞)內,則只需要f(m)≥0且x →+∞時f(x)≥0 即可.

五、嫌疑點法

對于“f(x)是含有參數a的一元函數,若?x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求實數a的取值范圍.”問題,用三類關鍵點去求解該問題的方法我們稱為“嫌疑點法”,其具體步驟如下:

第一步,計算零切點

(1)當x0不存在時,若f(x)經過x軸下面的某個(或多個)定點,且該定點在區間(m,+∞)內,則a ∈?;其余x0不存在的情形均令f(m)≥0 且x →+∞時f(x)≥0,由此解出a的范圍,記作集合Q.

(2)當x0存在時,若x0/∈[m,+∞),令f(m)≥0 且x →+∞時f(x)≥0,由此解出a的范圍,記作集合Q;若x0∈[m,+∞)時,則進入第二步.

第二步,由左端點求出參數的大致取值范圍

(1)m是f(x)的真零點

若m是真零切點(m=x0),若f′′(m)?≡0,則令f′′(m)≥0;若f′′′(m)?≡0,則令f′′′(m)≥0;如此繼續,直到得到不恒為零的導數值,并令其非負,解出a的范圍,記作集合A;

若m是嫌疑零切點(m=x0),則令f′(m)≥0,由此解出a的范圍,記作集合A.

(2)m是f(x)的嫌疑零點

若m是嫌疑零切點(m=x0),則令f(m)≥0,由此解出a的范圍,記作集合A;

若m不是零切點,則令f(m)>0,由此解出a的范圍,記作集合A.

第三步,由內部零切點求出參數的大致取值范圍

(1)x0是f(x)的真零切點

若f′′(x0)?≡0,則令f′′(x0)≥0;若f′′(x0)≡0,f′′′(x0)?≡0,則令f′′′(x0)≥0;如此繼續,直到得到不恒為零的導數值,并令其非負,解出a的范圍,記作集合B.

(2)x0是f(x)的嫌疑零切點

若x0是真零點(f(x0)≡0),f′(x0)?≡0,則令f′(x0)=0,f′′(x0)>0,由此解出a的值,記作集合B;

若x0是嫌疑零點(f(x0)?≡0),則令f(x0)≥0,由此求出a的范圍,記作集合B.

(注:如果有多個零點x0則取參數a的公共范圍,記作集合B.)

第四步,由右端點求出參數的大致取值范圍

通過考查x →+∞時f(x)的符號,求得a的范圍,記作集合C.

第五步,求出參數a的準確取值范圍

記D=A ∩B ∩C,則D或Q或?為參數a的最終取值集合.

六、模型應用

引例1 解答依題意,(x≥0)恒成立.ex?3x+2a.

由g′′(0)≥0 得由g(2)≥0 得要使得x →+∞時,g(x)≥0,只須a ∈R.由得.

引例2 解答由得由得因為f(1)=0,所以即a=1.要使得x →+∞時,f(x)≥0,只須a ∈R.由得a=1.

引例 3解:由由f′(0)≥0 得a≤1.若要x →+∞時f(x)≥0,則a≥0.由得0 ≤a≤1.

說明對于x →+∞時的兩個正無窮大量的比較,可以參考下面的方法:

設x →+∞時,f(x)→+∞,g(x)→+∞,且若t=+∞,則f(x)?g(x),x →+∞時f(x)?g(x)>0;若t=0,則f(x)?g(x),x →+∞時f(x)?g(x)<0.特別地,當x →+∞時,有ax?xb?logax(a>1,b>0).

對于引例2,因為當a >0,x →+∞時,alnx →+∞,所以x?1?alnx,f(x)=x?1?alnx >0 成立;當a <0,x →+∞時,alnx →?∞,x+1→+∞,f(x)=x?1?alnx >0成立.所以x →+∞時,f(x)=x?1?alnx>0 對a ∈R均成立.

對于引例3,由于當a <0,x →+∞時,ln(x+1)→+∞,?a(x2?x)→+∞,

所以a<0,x →+∞時f(x)=ln(x+1)+a(x2?x)<0,從而a <0 不合題意;當a >0,x →+∞時,ln(x+1)→+∞,a(x2?x)→+∞,所以a >0,x →+∞時f(x)=ln(x+1)+a(x2?x)>0,從而a>0 滿足題意.

七、結語

“嫌疑點法”是通過類比可導函數在閉區間上最值的求法,借助必要條件(關鍵點處函數值的符號)探路探出“充要條件”的一種方法,是對“必要性探路法”的進一步完備.該方法的使用有兩大難點,一是在求解零切點時可能會遇到超越方程,二是在考查右端點+∞時需要用到極限或者兩個無窮大量的比較.如果超越方程解不出來或者無法用隱零點代換,右端點時的極限無法確定或者兩個無窮大量無法比較大小,都會導致用該方法陷入困境.此時需要選擇其它方法求解.限于篇幅,本文只介紹了區間形式為[m,+∞)的“嫌疑點法”,其它區間情形留給讀者朋友自行探討.