基于平鋪剛度法的弧形加筋板的輕量化設計

劉宸宇, 駱烜赫, 劉康翔, 孟 增, 肖 山

(1. 合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院, 合肥 230009;2. 中國航空工業(yè)集團有限公司 沈陽飛機設計研究所, 沈陽 110034)

0 引 言

加筋板具有較高的比強度和剛度,因此在航空航天工業(yè)中得到了廣泛應用．結構屈曲是加筋薄板的主要破壞形式,所以如何準確地預測屈曲承載力具有十分重要的工程意義．截至目前,加筋板的穩(wěn)定性問題已經得到了較多理論和試驗上的研究．面向四邊簡支的加筋薄板,王偉和吳梵[1-2]通過線彈性理論求解了其整體屈曲臨界應力．李彥娜和董科[3]深入研究了鋁合金加筋板的軸壓極限強度．伴隨計算機性能的快速發(fā)展,有限元方法由于其方便和精度高的優(yōu)勢迅速得到普及．與此同時,面向加筋板結構的有限元力學性能分析方法也受到了工程界的青睞．張振興等[4]對矩形薄板脫層約束的屈曲現象進行了數值模擬,通過建立精細化有限元模型獲得了相應結構的屈曲承載極限．朱菊芬等[5]為進一步分析層合板殼脫層問題,建立了一個新的參考面單元,并就脫層尺寸對屈曲載荷的影響規(guī)律進行了深入探討．葉廣寧等[6]對有限元與工程計算結果進行了詳細對比,并發(fā)現兩者結果較為吻合．江瑋等[7]研究了結構參數對加筋板性能的影響,同時總結了加筋板類型和結構參數對承載力的敏感程度．但需要注意的是,航空航天實際工程結構常由非線性塑性材料組成,因此需要考慮加筋板的后屈曲承載力．黃丕帥和陳昆[8]利用有限元分析軟件ANSYS對均勻受壓下的加筋板進行了后屈曲承載能力研究,討論了加筋肋的剛性與柔性問題以及加筋板的極限承載能力,并從試驗分析、理論計算以及有限元仿真三個方面進行了詳細對比．黃麗華等[9]進一步研究了層合加筋板,對在承受壓縮、剪切或壓剪復合荷載下加筋板的彈性屈曲及后屈曲行為進行了分析研究．近年來,隨著復合材料的快速發(fā)展,其在航天領域展現出巨大的實用價值,引起了學者們對復合材料加筋板的廣泛關注．劉毅等[10]推導了考慮鋪層復合材料加筋板屈曲和后屈曲極限承載力的解析解．高偉等[11]在對變厚度復合材料加筋板軸壓作用下的變厚度加筋板進行試驗時發(fā)現,其屈曲后仍然具備一定的后屈曲承載能力．石峰等[12]采用高階剪切變形理論分析了復合材料層合板的屈曲問題,然后根據虛功原理推導出了復合材料層合板在面內載荷作用下臨界屈曲的控制微分方程．吳菁等[13]推導了復合材料帽型加筋層合板的縱向和橫向彎曲剛度．王平遠等[14]基于非局部應變梯度理論,研究了功能梯度納米板結構的彎曲和屈曲問題．此外,工程結構在服役過程中不僅需要考慮其服役環(huán)境,其極限承載力也會受到制造工藝的限制．面向受熱力耦合作用下的加筋薄板,李若愚和王天宏[15]推導了其具體的屈曲臨界載荷表達式．任慧龍等[16]指出加筋薄壁結構在工程中往往通過焊縫連接,其焊縫的承載力對結構具有顯著影響．萬育龍和朱旭光[17]進一步考慮了多種應力組合模式和多種初始缺陷組合模式下加筋板的極限強度．上述研究工作表明,加筋板由于其良好的力學性能,在工程中具有重要的應用價值．但是,隨著科學技術的快速發(fā)展,航空航天結構愈加復雜,相應地,對結構的力學性能和經濟性要求越來越高,而傳統(tǒng)的加筋板在使用過程中存在材料利用率低、承載力不夠和制造成本過高等問題,因此如何深入挖掘材料潛能、提高結構承載力和降低制造成本至關重要．

為了解決上述問題,結構優(yōu)化設計理論應運而生．其核心思想是在保證結構安全性的前提下,大幅減小制造成本,從而實現結構安全性和經濟性的完美平衡．樸春雨和章怡寧[18]對飛機結構中加筋板的幾何尺寸進行了優(yōu)化設計．滿林濤和楊嬋[19]考慮了工藝可實施性,大幅提升了矩形加筋板的承載能力．施利娟等[20]進一步兼顧了強度及穩(wěn)定性,使鋁合金加筋板在不同的載荷范圍內都能滿足安全性與經濟性需求．然而,由于傳統(tǒng)的尺寸設計方法可設計的空間有限,因此如何拓展薄壁加筋板的可設計性、給出加筋肋的最優(yōu)形狀和布局,對于進一步提高材料利用率至關重要．王博等[21]提出了宏觀和微觀協(xié)同設計方法,通過對主層級稀疏加筋和次層級密集點陣同步設計,有效地提升了材料利用率．崔榮華等[22]采用了拓撲優(yōu)化理論對加強筋優(yōu)化布局進行了相關探索．Meng等[23]通過調整加筋肋的形狀提出了弧形加筋圓柱殼,大幅擴大了設計空間,從而獲得了比經典設計更優(yōu)的設計結果．常楠等[24]和趙群等[25]對復合材料加筋構件的布局和形狀進行了協(xié)同優(yōu)化．王棟和李正浩[26]將布局設計方法拓展至頻率優(yōu)化問題．此外,加筋薄板在屈曲約束的非線性程度極高,優(yōu)化模型往往存在多個局部最優(yōu)解,且基于有限元分析的優(yōu)化問題求解需要反復迭代,計算量巨大,所以需要建立高效、穩(wěn)定的全局優(yōu)化策略．郝鵬等[27]針對軸壓作用下的加筋柱殼后屈曲性能優(yōu)化計算量較大的問題,提出了一種基于代理模型和等效剛度模型的混合優(yōu)化策略,并運用基于等效剛度的平鋪加筋模型進行優(yōu)化設計,以代替試驗設計中大量的精細有限元分析．李剛和孟增[28]通過拉丁超立方策略構造了代理模型,并基于自適應更新代理模型,直至滿足需求．張洪波[29]采用多目標優(yōu)化設計方法,在降低了材料使用率的同時提高了結構可靠性．鄭俊鋒等[30]針對均布平壓載荷下四邊簡支的矩形加筋板,通過解析推導大幅提高了拓撲優(yōu)化的計算效率．截止目前,在面向加筋板殼結構的優(yōu)化設計方面已取得了豐碩的成果．然而隨著航空航天結構的大型化和設計的精細化需求,其強度與輕量化設計之間的矛盾日益突出．所以,如何深層次挖掘材料潛能和降低結構承載能力具有重要的工程意義．

因此,本文基于同步失效的概念,提出了一種新型的弧形加筋板,旨在有效地利用其軸向承載力的潛力,使其在滿足設計要求的條件下,結構質量更輕、結構效率更高．同時,基于平鋪剛度法,準確預測了弧形加筋板的臨界屈曲載荷．隨后,采用粒子群優(yōu)化算法對其進行了輕量化設計．算例結果表明,弧型加筋板承載能力優(yōu)異,輕量化設計效果顯著,具有良好的優(yōu)化效率．

1 弧形加筋板

1.1 背景

正交網格加筋板結構由蒙皮和等直筋肋組成,如圖1所示．對于加筋板結構,其主要屈曲形式包括蒙皮局部屈曲、筋條局部屈曲和整體屈曲等．工程中常用的加筋板結構多為中等長度的加筋板結構,若筋條先于蒙皮發(fā)生局部屈曲將會大幅降低加筋板的承載能力,相比而言,蒙皮的局部屈曲能夠提供更高的承載能力．

本文采用的加筋板模型如圖1所示,板長L=1 200 mm,板寬W=800 mm,板厚H=1 mm,筋肋高h=24 mm．結構單軸加載,四邊簡支．

圖1 正交網格加筋板示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the orthogonal grid stiffened plate

注為了解釋圖中的顏色,讀者可以參考本文的電子網頁版本,后同．

對于傳統(tǒng)的正交網格加筋板結構,考慮其受雙向均布荷載,如圖1(b)所示,該模型采用二重Fourier級數作為位移函數,滿足簡支邊界條件．設沿坐標三個方向滿足位移邊界條件的位移函數分別為

u=Amncos(mαx)sin(nβy),

(1)

v=Bmnsin(mαx)cos(nβy),

(2)

w=Cmnsin(mαx)sin(nβy),

(3)

其中,α=π/L,β=π/W,L,W分別為板在x,y方向的幾何尺寸;Amn,Bmn,Cmn為待定系數,m和n分別表示x和y方向的半波數．利用蒙皮和筋條剛度的疊加原理可以計算加筋板的等效剛度．整體等效剛度表示如下:

A=Ask+Ast,

(4)

B=Bsk+Bst,

(5)

D=Dsk+Dst,

(6)

式中,A,B和D分別表示拉伸剛度系數、耦合剛度系數和彎曲剛度系數,上標sk和st分別代表蒙皮和筋條．根據改進的大撓度理論,加筋板任意點的應變分量可以由中間表面的應變和曲率得到:

(7)

其中

(8)

矩形板內力和內力矩表示如下:

(9)

對于筋肋,考慮筋肋和蒙皮位移的連續(xù)性,其幾何方程依然采用式(7)．其本構方程可以用均勻化原理表示為

(10)

b=W/Na,d=L/Nc,

(11)

其中,Na為縱向(x軸方向)筋條數,Nc為橫向(y軸方向)筋條數．筋肋截面單位長度內力和內力矩為

(12)

As=Ar=th,zs=zr=(h+H)/2,Is=Ir=th3/12,

(13)

(14)

對于拉彎耦合,考慮到

(15)

所以,對于筋肋有

(16)

1.2 模型描述

正交網格加筋板作為一種經典的加筋板結構,其加筋肋在每個位置的高度都相同．這就導致板體的屈曲破壞沿徑向分布不均勻．如圖2所示,傳統(tǒng)正交網格加筋板中部屈曲變形小于上下兩側受力側的屈曲變形,大于左右兩側的屈曲變形．由此可知,失效發(fā)生在板上下兩側的局部區(qū)域,板中部并未達到失效狀態(tài)．因此,加筋板的承載能力還有進一步提高的空間．

圖2 傳統(tǒng)網格加筋板Fig. 2 The traditional grid stiffened plate

根據優(yōu)化理論中的同步失效準則,當加筋板各個位置的材料同時失效時,材料利用率最大,質量最小．此時,加筋板的屈曲變形和破壞沿板體高度均勻分布,可以顯著提高結構的承載力．為此,本文設計了一種新型的弧形加筋板,其軸向和橫向筋肋高度分別沿x和y方向呈弧形曲線．如圖3所示,當徑向筋肋中間部分高度大于兩側高度時,剛度也會隨之變化．可以推斷,弧形設計的加強筋能改變結構的剛度分布,進而使軸向半波均勻分布．因此,沿軸向加筋板體可以實現同步失效,其材料利用率也得到了明顯提高．為了建立該模型,本文采用了二次函數來描述弧形加強筋高度的變化,弧形加強筋高度z與縱坐標x之間的關系如下:

z=ax2+bx+c．

(17)

上式邊界條件為

(18)

將式(18)代入式(17),可得到

(19)

式中,he表示加強筋末端高度,hm表示加強筋中部高度．如圖4所示,當hm>he時,加強筋具有凸弧形形狀;當hm

圖3 弧形網格加筋板Fig. 3 The arc grid stiffened plate

圖4 帶凸筋和凹筋的弧形加筋板示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the stiffened plate with convex and concave arc ribs

1.3 平鋪剛度法

對于非均勻分布的加筋肋,傳統(tǒng)的內力等效法無法得到精確的剛度系數．因此,可以采用能量等效的方法,將非均勻高度加筋肋等效為均勻高度加筋肋,其等效剛度系數可通過應變能公式獲得．弧形加強筋可分為凸型和凹型兩種,當加強筋為凸型(hm>he)時,其應變能為

(20)

外力的功可以表示為

(21)

根據能量守恒定律,可得如下公式:

(22)

其剛度系數為

(23)

(24)

當加強筋處于彎曲狀態(tài)時,凸加強筋的應變能為

(25)

外力做的功為

(26)

根據能量守恒定律,由方程求出剛度系數如下:

(27)

當加強筋處于扭轉狀態(tài)時,應變能可表示為

(28)

外力的功可以表示為

(29)

根據能量守恒定律,可求出剛度系數為

(30)

當加勁肋為凹形時(hm

(31)

其中

(32)

同樣,根據能量守恒定律,剛度系數為

(33)

(34)

加強筋處于彎曲狀態(tài)時,應變能表示為

(35)

同理,剛度系數為

(36)

當加強筋處于扭轉狀態(tài)時,其應變能可表示為

(37)

同樣,可以得到剛度系數為

(38)

同樣地,橫向筋條的剛度系數也可按上述方法推導．根據平鋪剛度法求解弧形加筋板,加筋板的整體結構剛度可由蒙皮和筋肋疊加而成,即

(39)

(40)

(41)

矩形板的平衡方程為

(42)

當矩形板發(fā)生屈曲時,其撓度、內力和內彎矩均會產生一個極小的線性增量,可寫成初始量+增量的形式．因此當屈曲發(fā)生時,撓度、內力和內彎矩可表示為

(43)

則相應的應變分量增量可以寫為

(44)

將上式代入平衡方程中,并將方程線性化,消去滿足初始平衡方程的項,并忽略高階小項和包含殼初始轉角(w0,x和w0,y)的項,則平衡方程變?yōu)?/p>

(45)

對位移進行偏導計算,并將物理方程和幾何方程代入平衡方程最終可解得臨界屈曲荷載表達如下:

(46)

其中

(47)

2 弧形加筋板的輕量化設計

臨界屈曲載荷作為加筋板等結構的一項重要的設計指標,常被用于結構的初始設計階段．因此,本節(jié)將基于平鋪剛度法并結合粒子群優(yōu)化算法對弧形加筋板進行輕量化設計——即在滿足承載力約束條件下,使結構質量M最小,其相應的輕量化公式如下:

(48)

其中,d=[H,t,he1,hm1,he2,hm2,Na,Nc],H為板厚,t為筋條寬度,he1和hm1為縱向筋條端部和中部高度,he2和hm2為橫向筋條端部和中部高度,Na和Nc為縱筋數和橫筋數,P0為設計臨界荷載,大小為14 kN/m．

弧形加筋板的相關設計參數及其設計范圍如表1所示．此外,為驗證該模型的準確性,以有限元法為參考,應用商業(yè)軟件ABAQUS進行分析驗證．

本文采用了粒子群優(yōu)化算法進行優(yōu)化設計,粒子群優(yōu)化算法的種群數取為100,優(yōu)化迭代次數取為50．在每次迭代過程中根據平鋪剛度法預測臨界屈曲荷載值,同時將優(yōu)化結果代入ABAQUS進行驗算．考慮到效率和精度,網格大小取8 mm,計算出的結果精度和計算時間均能夠滿足要求．當優(yōu)化迭代結果滿足收斂條件后即可認為最優(yōu)設計滿足設計要求,否則將繼續(xù)進行迭代搜索,直到滿足迭代終止條件后停止搜索,最終輸出最優(yōu)解．

表1 弧形加筋板參數的驗證與設計空間

表2 傳統(tǒng)加筋板和弧形加筋板優(yōu)化

加筋板優(yōu)化結果如表2所示．從表2中可以看出, 優(yōu)化后的弧形加筋板質量為5.42 kg, 比初始設計的7.91 kg降低了31.5%,比傳統(tǒng)非弧形加筋板質量降低了20.5%．由此可以推斷,弧形加筋板的優(yōu)化效果優(yōu)于傳統(tǒng)加筋板,其材料的潛力得到進一步深入挖掘．此外,采用平鋪剛度法計算出弧型加筋板的臨界屈曲載荷為14.05 kN/m,而采用有限單元法計算出弧形加筋板的臨界屈曲載荷為14.27 kN/m,二者相對誤差僅為1.5%,滿足精度要求．這說明使用本文所推導的平鋪剛度法可以準確預測弧形加筋板的臨界屈曲荷載．

圖5 優(yōu)化歷程Fig. 5 The optimization process

圖5給出了傳統(tǒng)加筋板與弧形加筋板的優(yōu)化迭代歷程及其對應的屈曲模態(tài)．可以看出,結合平鋪等效剛度法的優(yōu)化迭代收斂速度較快,且較為穩(wěn)定,計算效率較高．通過對兩種加筋板的屈曲變形云圖的比較,可以看出傳統(tǒng)加筋板的屈曲變形主要發(fā)生在板邊的中間部分,而弧形加筋板的屈曲波形沿板邊分布更為均勻．因此,弧形加筋板更容易實現同步破壞,其材料利用率更高．

3 總 結

伴隨著航天裝備大型化、承載重型化的發(fā)展趨勢,薄壁承載結構的強度與輕量化設計之間的矛盾逐漸突出．因此,本文從同步失效的概念出發(fā),設計了一種新型的弧形加筋板結構．新型弧形加筋板的主要目的是提高其承載能力,實現輕量化設計．同時給出了基于彈性大撓度理論的平鋪剛度法,通過與ABAQUS的結果進行對比,驗證了平鋪剛度法的可靠性．在此基礎上,結合平鋪剛度法和粒子群優(yōu)化算法,對線性屈曲狀態(tài)下的弧狀加筋板進行了輕量化設計．

算例表明,所提出的弧型加筋板比傳統(tǒng)加筋板具有更高的性能,同時基于平鋪剛度法能準確預測臨界屈曲載荷．結果表明,與傳統(tǒng)的優(yōu)化設計相比,弧形加筋板優(yōu)化后的質量比傳統(tǒng)加筋板優(yōu)化后的質量降低了20.5%,具有更好的優(yōu)化效果．弧形加筋板可以更好地提高材料利用率和結構承載能力, 獲得更大的實際效益．