深耕生本課堂，厚植學生素養

唐婷婷

摘要：基于學生素養，本文以“等差數列第一節課”為例，通過“設疑激趣、主動探究、遷移內化、互動評說”的環節，對生本課堂的提質增效進行了嘗試，以期為教育工作者提供借鑒與參考.

關鍵詞：等差數列；生本課堂；學生素養

1教學背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在課程教學實施中指出：“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的.”生本課堂的本質特征是“知識為基、能力為重、素養為向”.下面筆者以人教A版《選擇性必修第二冊》第四章“數列”中“等差數列”第一課時的內容為例，闡釋聚焦學生核心素養的生本課堂的教學.

知識層面上，學生已經學習了數列的概念，通過類比函數的表示方法，掌握了數列的表示方法：通項公式（遞推公式）法、列表法、圖象法.學生經歷了歸納推理的過程，具備了歸納總結和類比遷移的能力.方法層面上，通過一系列情境化問題，讓學生感受到數學來源于生活又應用于生活.在等差數列通項公式的推導中，滲透了歸納、迭代、累加等數學思想方法，為學生的后續學習助力.

2教學目標

（1） 通過情境化教學，學生能在具體的問題情境中找出等差關系，初步掌握等差數列的證明方法.

（2） 經歷等差數列概念的揭示過程，探究等差數列通項公式的多種推導方式，學生通過觀察、分析、探索、歸納和推理等數學思想方法，提升數學抽象和數學建模等核心素養.

（3） 學生通過小組合作，會利用等差數列的定義及通項公式解決相關問題，養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣.

3教學重點、難點

教學重點：等差數列的概念和等差數列通項公式的推導.

教學難點：等差數列的“等差”特點及等差數列的證明.

4教學實錄

4.1設疑激趣，強化概念

引入：上節課我們研究了數列的概念，知道數列是一種特殊的函數.我們在學習函數時先研究了函數的概念、性質，接著研究了一些基本初等函數，如冪函數、指數函數、對數函數等.那么，類比函數的研究方法，接下來應該研究基本初等數列了，那先研究哪一種基本初等數列呢？請同學們先看以下四個問題情境.

情境1：北京圜丘壇為古代祭天的場所，圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的9圈扇形石板從內到外各圈的石板數依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81.

情境2：S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應的尺碼分別是38，40，42，44，46，48.

情境3：測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位：℃）依次為25.0，24.4，23.8，23.2，22.6.

情境4：某人向銀行貸款x萬元，貸款時間為n年，如果個人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應還本金b萬元，其中b=x/12n，每月支付給銀行的利息（單位：萬元）依次為xr，xr-br，xr-2br，xr-3br，……

問題1：觀察上述情境中的數列，你能用數學語言描述它們的共同特征嗎？

問題2：在數學學習過程中，我們經常運用“特殊到一般”“已知推未知”的思想方法，如在指數函數的學習過程中，我們可以通過運算發現問題情境中數值的變化規律.類似地，你能通過運算發現以上問題情境中數列的取值規律嗎？

問題3：公元前1650年左右的埃及數學著作《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus）中就有等差數列的相關記載，楚國銅環權的重量也是按等差數列來劃分的.在我們日常生活中，人們也常常用到等差數列，你能舉出一些身邊的例子嗎？

設計意圖：因為數列是特殊的函數，在了解了數列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規律的數列，建立它們的通項公式，并運用它們解決實際問題和數學問題，從中感受數學模型的現實意義.教學時，教師可適當加入等差數列的數學史，激發學生的學習興趣，進一步讓學生體會到等差數列就在身邊.

為了說明等差數列廣泛存在于現實生活中，舉了4個實際例子，其中前兩個例子是關于建筑和服裝設計的，說明人們在設計中會主動使用“相等間隔”的數，后兩個例子則說明人們通過測量、計算等從自然界或經濟生活中可能得到“間隔相等”的數.通過對具體的等差數列例子的歸納概括，我們獲得等差數列的定義.等差數列的研究既起到了承上啟下的作用，又為研究等比數列作出了示范.

教師：（由“差都相等”引出課題，交由學生討論得出定義）我們來看這個定義，符號語言：an-an-1=d，n≥2（n∈N*），為什么是從第二項起？從第一項起行不行？

學生1：第一項不存在前一項，所以如果從第一項起那就沒有辦法作差了.

教師：如果從第三項起作差行不行？

學生2：如果從第三項起作差，那么第一個差就是a3-a2，所有差中就不包含a2-a1了，所以數列從第二項起是等差數列.

教師：看來，等差數列的定義中必須滿足從第二項起，那為什么每一項與其前一項的差都等于同一個常數？能不能把“同”字去掉？

學生3：那就不一定是等差數列了，反例：0，2，6，8.

教師：很好！“同一個”具有任意性，所有的差都得相等，所以才叫公差.如此看來，這個定義真是反映了這類數列的特征了.

問題4：一個等差數列最少需要幾項？

學生4：至少三項（引出等差中項的概念）.

4.2主動探究，應用概念

4.3遷移內化，變通概念

例1（1） 已知數列{a_n}的通項公式為a_n=9-2_n，求{a_n}的公差和首項.

（2） 求等差數列18，15，12，……的第30項.

（3） -401是不是等差數列-5，-9，-13，……的項？如果是，是第幾項？

設計意圖：通過對等差數列的通項公式的簡單應用，幫助學生理解公式所涉及的幾個基本量a₁，d，n，a_n之間的關系.使學生逐步形成利用等差數列的“基本量”建立代數關系式（方程、方程組）以解決問題的思想方法.

例2獅子座流星雨在每年的11月14日至21日左右出現.一般來說，流星的數目大約為每小時10顆至15顆，但平均每33年獅子座流星雨會出現一次高峰期，流星數目可超過每小時數千顆.這個現象與坦普爾·塔特爾彗星的周期有關.由于獅子座流星雨的輻射點位于獅子座，因而得名.據氣象臺檢測，2013年11月17日曾出現一次獅子座流星雨高峰期.請你預測2124年是否會出現獅子座流星雨高峰期？

設計意圖：例2旨在對現實情境進行數學抽象，鼓勵學生不畏困難，在錯綜復雜的現實背景中抽象出最為本質和核心的數量關系，建立等差數列的模型，并運用數學語言進行表達.通過解決數學問題，進而解決實際問題，讓學生感受數學來源于生活，同時又服務于生活，不斷提高其數學建模和數學抽象的能力，積累活動經驗，形成素養.

4.4互動評說，深化概念問題10：本節課你學到了哪些？

學生8：類比函數的研究過程，通過學習等差數列，可以總結出對一個數學對象的一般的研究路徑.

函數的事實→函數的概念→函數的表示→函數的性質→基本初等函數→函數的應用.

數列的事實→數列的概念→數列的表示→數列的性質→特殊規律數列→數列的應用.

設計意圖：通過本節課的學習，引導學生總結出對一個數學對象的一般研究路徑，將之前學習的零散的、片段的、割裂的知識，生成相互關聯的、成系統的、綜合性強的知識體系，使學生不僅對本節課知識，更是對一類研究對象的研究路徑有完整清晰的認識，從而通過生本課堂提升學生數學素養.

5聚焦學生素養的生本課堂教學啟示

5.1知識為基，導航生本課堂

“養其根侍其實，加其膏希其光”“以學定教”是生本課堂的重要特征.本節課依托等差數列概念的形成和通項公式的推導，把握數學知識的本質，設計并實施合理的教學活動，把教學目標滲透到問題串中，符合學生的最近發展區，讓學生在質疑問難和討論交流中提高學習興趣，獲取知識，從理解知識到遷移知識，最后到創新知識，不斷感受成功的愉悅，提升能力.

5.2能力為重，踐行生本課堂

新課程強調在教與學的過程中不僅要關注學生的學習結果，更要重視學生的學習過程，注重課堂觀察，以學生的有效參與為前提，積極倡導自主學習、合作學習、探究性學習等學習方式.在本課堂學習中，學生是主體，教師通過多種方法設計探究渠道，引導學生思考、歸納、探究等差數列的相關內容，理解知識本質，進而培養學生數學抽象、數學建模等核心素養.

5.3素養為向，優化生本課堂

盧梭曾說：“問題不在于告訴他一個真理，而在于教他怎么發現真理.”通過上節課的學習，學生發現數列是特殊的函數.本節課通過讓學生回顧函數的研究過程，梳理出等差數列的研究內容、路徑和方法.學生在明確“要學什么”“怎么學”的基礎上，一步步展開探究.教師在教給學生等差數列知識的同時，還教會學生研究一個新的數學問題的路徑，要求學生應用遷移學習的方法認識問題，應用抽象事物的思維分析問題，應用宏觀體系的角度解決問題，為后續學習等比數列積累數學活動經驗.參考文獻：

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