從知識序列到模型建構，讓數學學習有序發生

【摘要】數學知識的系統性決定了知識結構的建構必須基于學科自身的發展序列。只有經歷完整的、有序的數學學習感知和體驗，學生才能掃清障礙，更好地遷移應用知識。以長度單位推算教學為例，學生需真正經歷完整的、直觀的操作過程，才能逐步形成有效的技能模型，在實際運用中借助模型進行有序思考，從而正確推算。

【關鍵詞】單位推算；知識序列；模型建構

作者簡介：朱秋虹（1978—），女，江蘇省蘇州市吳江區盛澤實驗小學。

一、源起：由單元練習引發的思考

結束“分米和毫米”這一單元的教學，學生單元練習的結果不容樂觀。筆者反思：這個單元的教學問題出在哪里？怎樣才能利用好教材和補充習題，讓學生的數學學習實現質的飛躍？

筆者整理錯題，發現以下習題錯誤率較高。

1.70米=（）分米

2.把下面各長度按從長到短的順序排列：95厘米

6分米 10厘米 19毫米 10分米

3.某地區2012～2020年的年平均降水量是590（）（填合適的長度單位）

4.17粒大米接排在一起，量得長度大約是1分米。170粒這樣的大米接排在一起的長度大約是（）米，1700粒這樣的大米接排在一起的長度大約是（）米。

學生能較好地完成基礎習題，而面對上述難度不算大的習題時，為什么錯誤率就顯著提升了呢？分析學生做錯題的原因，有助于改進教學，幫助學生提升解題能力，發展數學思維。

二、追因：推算意識和能力的缺失

（一）重復練習下的思維定式困擾

前述第1題，70米=7分米，這樣的錯誤答案，源于學生習慣用添0或去0的方法來做題。不論是教材還是配套的補充習題，遇到類似于“7分米=（）厘米”“40毫米=（）厘米”這樣的題時，學生很容易在做題中形成添0或去0的慣性思維，因而導致學生在解答“70米=（）分米”時，習慣性地去0。

重復性的練習導致學生在方法和技能上的固化，造成思維定式，解題時的推算過程不再完整。思維定式的產生偏離了知識形成的正確發展軌道，以固定的方式方法替代了應有的分析，使推算變成一種機械的數字操作活動。

（二）以數字替代直觀體驗的認知偏差

前述第2題，在從長到短的排列中，10分米、6分米、95厘米的排列正確率很高。學生主要錯在19毫米和10厘米的比較，厘米和毫米在學生的印象中都是比較短的長度單位，19明顯大于10，所以學生忽略了加上單位后長度的實際大小。

這樣的認知偏差產生的根本原因在于學生沒有形成對長度單位的正確認知和換算的意識。對長度單位形成正確認知，依賴于學習過程中有序的操作體驗活動，當學生將操作活動的結果而不是操作中的直觀感知建構到自己的知識體系中時，才能形成正確的換算意識，發展邏輯思維能力。

（三）已有知識經驗或生活經驗的不足

關于第3題，年平均降水量這一術語離學生的生活經驗較遠，加上二年級學生的推算能力有限，不善于進行比較分析，因此解起題來存在一定困難。關于第4題，由于學生還沒有接觸關于“倍”的知識，因此理解起來也存在一定困難。

學生能比較好地完成教材或補充習題上的基礎習題，而面對上述習題時，為什么錯誤率就顯著提升了呢？關鍵在于學生缺乏相關的知識經驗和生活經驗，個人知識體系的建構不夠完善，無論是對單位長度的推算還是對相關知識點的理解，學生都只停留在數字換算階段，推算過程缺乏有序性。

三、行動：推算能力培養的實踐策略

（一）完善認知序列，讓推算有序展開

學生建構認知的過程，也是思維發展的過程，這是一個從外部的物質活動向內部的智力活動轉化的過程。從建立表象到借助實物進行實際操作活動，再到不依賴實物而借助出聲言語進行活動，直至能自動化地進行內部言語活動［1］，在此過程中，教師應結合學生的認知規律，讓學生經歷操作測量活動，再到能夠進行結構化的語言表達，使學生的推算過程有序展開。

1.借助直觀，明晰方法

低年級學生以直觀、形象思維為主。長度單位的學習以操作體驗活動為主，旨在讓學生形成直觀感知。教師要將教材中的直觀圖用到位，挖掘題目的最大價值，借助直觀圖，幫助學生將實物與長度概念建立聯系，并能加以準確運用。

在“認識毫米”的教學中，教材配套練習安排如圖（見圖1）。針對第1題，教師應該結合直尺，讓學生經歷數的過程，通過清晰的表達，理解長度單位的換算。同時，教師還可以當場出題，讓學生看著直尺進行即時的單位換算，幫助學生建立單名數和復名數之間的關聯，了解在描述某一物體的長度時可以有不同的表述方法。

2.操作測量，鞏固技能

動手實踐是學習數學的重要方式之一。實際測量，動手操作，是學生將習得的知識方法進行輸出的活動，方法技能掌握到位的學生就能順利地實現知識的有效運用。

教材配套練習的第2題（見圖1）要求學生通過測量寫出每條邊的長，這是對前一個活動的延伸，旨在讓學生從看著圖片讀出長度，過渡到自己測量后得出數據。教學時，教師同樣應該讓學生分享思考和換算的過程，其中既有厘米和毫米之間的換算，如3厘米就是30毫米，4厘米就是40毫米；又有單名數和復名數之間的換算，如2厘米5毫米就是25毫米。學生在測量和讀取數據的過程中，能夠逐漸從具象思維發展到抽象思維。

3.思考表達，抽象模型

2022年版數學新課標指出，要重視數學內容的直觀表述，處理好直觀與抽象的關系?！皶脭祵W的語言表達現實世界”的主要表現之一是“模型意識”。經歷實際測量的操作活動，學生積累了大量的數學活動經驗，能夠準確運用長度單位來表述測量結果。通過對這些活動經驗進行結構化的語言表達，學生便可逐步完成知識抽象化的過程，建立思考模型。

教材中的例3（見圖2）是單位換算教學，是知識直觀后的再抽象。從利用直尺進行分析，到不借助直尺進行推算，教材有意讓學生的推算能力再提高一個層次。此時的推算是一個完整的思維演練過程，比如，要得出70米等于多少分米，要先想到1米=10分米，70米是70個10分米，也就是700分米。學生表達換算的過程，本質上就是建構思維模型的過程。建構好這一思維模型，是學生將來以不變應萬變的能力根基。

從利用直尺經歷數的過程讀出長度，感受厘米和毫米之間的換算關系，到沒有直尺的幫助，直接利用單位之間的進率進行換算，教材從直觀的“扶”逐漸走向抽象的“放”，教師的教學也要讓學生推算能力的發展經歷從“扶”到“放”的過程，從數數走向推理。

（二）充實教學內容，讓推算有廣度和深度

1.基于教材改編，打破思維定式

教學不能只依托教材，而應該用教材來教。教學內容必須是在教學過程中師生共同創造的作品，教師應結合學生的生活實際，對教材進行適當的改編，以充實教學內容［2］，讓學生在不斷變化的問題解決情境中自主地進行單位換算，把握推算的本質，感悟推算過程，學以致用，從而突破重復性練習中出現的思維定式。

比如，教師可在例3的基礎上，將筆芯長度調整為6厘米5毫米，讓學生重新測量。再如，將測量的起點改為2，讓學生回答出鉛筆的長度。教師還可以讓學生開展測量活動，如測量數學教材的寬度，讓學生從模糊表達“18厘米多一些”或“大約19厘米”，到精準表達“18厘米5毫米”或“185毫米”。這些測量練習，都能讓學生感受到不同計量單位之間的轉換關系。

2.結合實物推算，突破思維難點

教師要培養學生的量感，幫助學生學會選擇合適的度量單位進行不同單位的換算。教師可利用學生熟悉的參照物，引導學生進行對比分析［3］。當學生擁有了自覺推算、靈活轉化的能力，學習的難點也將得以突破。

比如，關于“年平均降水量是590（）”這道題目，讓學生直接推想590毫米有多長有一定難度。教師可以先引導學生將590毫米看成600毫米，600毫米=60厘米，只有大約課桌那么高；再讓學生將單位換成厘米，將590毫米看成590厘米，約等于600厘米，也就是6米，一間教室那么寬。教師再引導學生想象，一年降水量的高度達6米，那么河水就會淹過馬路進入教室。

這種聯系實際參照物的推想，可以幫助學生從熟悉的事物入手，從虛到實，從陌生走向熟悉，從而使抽象的概念在腦海中清晰起來。

3.借用整理對比，實現思維進階

教師要做好引導者，幫助學生學會整理對比。學生通過畫一畫，寫一寫，結合整理的結果進行對比分析，可以更快地理清數量之間的關系，有助于進行概括、推理等更高層次的思維活動。

對于前述提到的學生易錯題的第4題，教師可借助教材上的練習題引導學生思考：“10張紙摞起來大約厚1毫米，100張這樣的紙摞起來大約厚多少厘米？1000張、10000張呢？”接著，用同樣的思路引導學生整理錯題信息，如圖3所示。

通過整理，學生可以發現紙張數量與厚度之間的關系，以及米粒數量與長度之間的關系。從簡單推出復雜，深奧的題變得清晰起來，數學學習的奇妙就在于此。這個過程能讓學生體驗到建立思維模型之于解決實際問題的價值，也能讓學生對長度單位的認識及其之間的換算產生深刻的理解與感悟。

（三）傾聽同伴思考，讓推算更靈動

在課堂教學中，學生應該成為發言的主體，通過有條理地表達，學生能夠提升思維的有序性［4］，初步養成良好 的思維品質，逐步形成理性精神。同時，教師要引導學生學會傾聽，學習他人的學習方法，不斷拓寬自己的思路，從而提升自主學習能力。

比如，教師在課堂上提問：“3厘米小于3分米，你是怎么推算的？”有的學生回答，因為3厘米不到1分米，所以小于3分米；有的則是根據3分米是30厘米來進行比較；還有的是通過測量3分米和3厘米的實際長度來進行比較。

學生的思考方式不同，但都蘊含著價值。漸漸地，在學生的交流中，在思維的碰撞中，通過分享、傾聽、學習，學生能夠感受多樣化的推算方法，會從只關注數字或是單位轉向關注整體，找到適合自己的思維方式，思維也變得更靈活，推算也變得更靈動。

結語

數學知識的運用依賴于數學學科固有的知識序列邏輯，因此，單位推算非常講究知識、技能及活動經驗的綜合運用。教師要基于數學知識結構及學生的認知序列，組織開展扎實有效的探索活動，幫助學生形成一定的思維模型，打破學生固有的思維定式，提升其思維的有序性、靈活性以及數學推算能力。

【參考文獻】

［1］葉奕乾，何存道，梁寧建.普通心理學［M］.上海：華東師范大學出版社，2000.

［2］李政濤.教育常識［M］.上海：華東師范大學出版社，2016.

［3］潘小福.小學數學教材的專業化解讀［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

［4］吳正憲.劉勁苓.劉克臣.小學數學教學基本概念解讀［M］.北京：教育科學出版社，2014.