L型陣列內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展波束形成

梅笑冰 馬社祥

(天津理工大學(xué)電氣電子工程學(xué)院 天津 300384)

0 引 言

在陣列天線波束形成技術(shù)的發(fā)展中,陣列內(nèi)插變換技術(shù)[1]可實(shí)現(xiàn)一定數(shù)量陣元的功能僅通過更少的實(shí)際陣元,并保持良好的波束形成和輸出SINR性能。對于陣列天線的內(nèi)插變換技術(shù),最早在1990年由Friedlander提出[2],然后將其應(yīng)用于DOA估計(jì),用較少的陣元實(shí)現(xiàn)了更多陣元的DOA估計(jì)的功能[3]。但經(jīng)典內(nèi)插變換存在角度敏感的問題,即當(dāng)信號落在內(nèi)插區(qū)域外或內(nèi)插區(qū)域過大時(shí)擴(kuò)展陣列的性能變差。Li等[4]在角度敏感的問題上進(jìn)行了基于陣列流形長度的虛擬天線波束形成的研究,但較大的插值步長也會(huì)使得變換誤差有所增加。針對內(nèi)插變換誤差的問題,胡丹婷等[5]對虛擬陣列的變換誤差進(jìn)行權(quán)值約束處理,增加了內(nèi)插變換波束形成的插值角度范圍。Blomberg等[6]在圓弧陣列采用了內(nèi)插變換技術(shù),實(shí)現(xiàn)了實(shí)際弧形陣列轉(zhuǎn)換為虛擬線性陣列的波束形成研究,但其方位角分辨率較低。Lee等[7]提出一種插值接收信號的功率校準(zhǔn)方法,并將其應(yīng)用到汽車?yán)走_(dá)DOA估計(jì),改善了內(nèi)插精度和DOA估計(jì)性能。同年,竇慧晶等[8]基于L型陣列內(nèi)插變換進(jìn)行PM算法的改進(jìn),實(shí)現(xiàn)了較好的二維DOA估計(jì)。但關(guān)于二維陣列的內(nèi)插變換波束形成的研究目前較少。

對角加載技術(shù)可一定程度地改善波束形成的穩(wěn)健性,最早由Cox等[9]提出,但也會(huì)引起主瓣展寬和零陷變淺。周龍等[10]將改進(jìn)的對角加載算法應(yīng)用于線型內(nèi)插擴(kuò)展陣列,有效地?cái)U(kuò)展了陣列孔徑并加深零陷。可變對角加載在對角加載的基礎(chǔ)上,自適應(yīng)地改變對角加載的值。Gu等[11]便提出一種可變對角加載的方法,其自適應(yīng)的加載量較固定對角加載有效改善波束形成。Li等[12]將可變對角加載技術(shù)與協(xié)方差矩陣銳化技術(shù)進(jìn)行結(jié)合,實(shí)現(xiàn)了波束形成的零陷展寬,且Song等[13]在可變對角加載的研究中,在權(quán)向量中加入了一個(gè)可變的對角加載項(xiàng),獲得較好的波束形成性能。Zhuang等[14]以及金桐之等[15]先后采用低復(fù)雜度可變對角加載技術(shù),都是對協(xié)方差矩陣的特征值進(jìn)行替換,獲得較好的波束形成性能,但此方法僅應(yīng)用在了實(shí)際陣列中。

本文基于L型陣列虛擬擴(kuò)展,針對經(jīng)典內(nèi)插變換的角度敏感問題,提出一種內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化的波束形成算法。該算法將陣列流形矩陣關(guān)于內(nèi)插區(qū)域坐標(biāo)軸作對稱處理,并在低復(fù)雜度可變對角加載的基礎(chǔ)上改進(jìn),構(gòu)造新的加載值,然后對可變對角加載改進(jìn)后的權(quán)矢量做Taylor錐化,擴(kuò)大了可用內(nèi)插角度的范圍,有效改善了角度敏感問題,并且經(jīng)過優(yōu)化,提高了L型擴(kuò)展陣列的波束形成及輸出SINR性能。

1 L型陣列內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展模型

一個(gè)均勻L型實(shí)際陣列,其x軸上陣元數(shù)為M,y軸上陣元數(shù)為N,陣元間距為1波長,陣列模型如圖1所示。

圖1 L型陣列模型

不相關(guān)的K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號分別從(θ0,φ0),(θ1,φ1),…,(θK-1,φK-1)方向到達(dá)此陣列,信號與噪聲之間互不相關(guān),噪聲為獨(dú)立的高斯白噪聲,t時(shí)刻該陣列接收的數(shù)據(jù)設(shè)為:

X(t)=AS(t)+n(t)

(1)

陣列的輸出數(shù)據(jù)是所有陣元的加權(quán)和:

y(t)=WX(t)

(2)

式中:W=(w1,w2,…,wM+N-1)為加權(quán)矢量,前M個(gè)元素對應(yīng)x軸上M個(gè)陣元的權(quán)系數(shù),因坐標(biāo)原點(diǎn)處陣元由x軸與y軸共有,W的后N-1個(gè)元素對應(yīng)y軸上第2到第N個(gè)陣元的權(quán)系數(shù)。

對應(yīng)于傳統(tǒng)內(nèi)插變換虛擬擴(kuò)展方法,本文的內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展過程為:將掃描區(qū)域根據(jù)象限分為四個(gè)區(qū)域i、ii、iii和iv,如圖2所示,對區(qū)域i做對稱處理分別得到區(qū)域ii、iii和iv內(nèi)的陣列流形矩陣,并對四個(gè)區(qū)域采用經(jīng)典內(nèi)插變換分別進(jìn)行虛擬擴(kuò)展,最后采用多區(qū)域內(nèi)插[16]的思想實(shí)現(xiàn)總區(qū)域的虛擬擴(kuò)展。

圖2 內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ

圖2中,區(qū)域i的俯仰角的插值范圍表示為[θa,θb],方位角的插值范圍表示為[φa,φb],則區(qū)域i內(nèi)的實(shí)際陣列流形矩陣表示為:

Ai=[ai(θa,φa),ai(θa,φa+Δφ),…,ai(θa,φb),

ai(θa+Δθ,φa),…,ai(θa+Δθ,φb),…

ai(θb,φa),ai(θb,φa+Δφ),…,ai(θb,φb)]

(3)

其中,對應(yīng)角度(θk,φk)的矢量元素表示為:

(4)

在區(qū)域ii內(nèi),式(4)關(guān)于縱坐標(biāo)對稱的矢量表示為:

(5)

可見,區(qū)域ii和區(qū)域i內(nèi)實(shí)際陣列流形矩陣的前M行元素互為共軛,后N-1行元素相同,將Ai的前M行元素表示為Ai_M,后N-1行元素表示為Ai_N-1,則區(qū)域ii與i內(nèi)實(shí)際陣列流形矩陣的關(guān)系可表示為:

(6)

式中:*表示共軛。同樣的方法可求得區(qū)域iii和區(qū)域iv內(nèi)的實(shí)際陣列流形矩陣分別為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

分別計(jì)算四個(gè)內(nèi)插區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)換矩陣為:

(12)

則可將總區(qū)域內(nèi)的變換誤差矩陣表示為:

(13)

變換誤差為:

(14)

用RX表示X(t)的協(xié)方差矩陣,RSS表示期望和干擾信號的協(xié)方差矩陣,RN表示高斯白噪聲的協(xié)方差矩陣,則區(qū)域i內(nèi)虛擬協(xié)方差矩陣為:

(15)

對式(15)進(jìn)行預(yù)白化色噪聲處理:

(16)

根據(jù)多區(qū)域內(nèi)插,對四個(gè)區(qū)域虛擬協(xié)方差矩陣做平均計(jì)算,則總區(qū)域內(nèi)的虛擬協(xié)方差矩陣為:

(17)

(18)

2 可變對角加載改進(jìn)及Taylor錐化

(19)

式(19)對應(yīng)虛擬波束形成權(quán)矢量為:

(20)

(21)

對式(21)特征值進(jìn)行修正處理:

(22)

(23)

(24)

(25)

式中:°表示Hadamard積。

3 仿真分析

對本文算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真分析。仿真條件為:L型實(shí)際陣列陣元數(shù)M=N=8,陣元間距為1波長,虛擬擴(kuò)展陣列的陣元數(shù)M′=N′=16,陣元間距半波長,各陣元間相互獨(dú)立無互耦。設(shè)期望信號DOA為θ0=φ0=0°,輸入信噪比SNR=10 dB,一個(gè)獨(dú)立干擾信號的角度為θ1=φ1=30°,輸入干噪比INR=10 dB,快拍數(shù)為200。內(nèi)插變換的插值步長為0.1°,俯仰角與方位角的內(nèi)插角度范圍始終相同。

1) 仿真實(shí)驗(yàn)1:內(nèi)插變換誤差分析。根據(jù)式(14),內(nèi)插角度從0°～100°,每隔10°進(jìn)行一次誤差計(jì)算,本文內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展與經(jīng)典內(nèi)插的插值誤差對比如圖3所示。

圖3 變換誤差對比曲線

如圖3所示,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展與經(jīng)典內(nèi)插的插值誤差均隨內(nèi)插角度的增大而增大,內(nèi)插角度在10°左右時(shí),內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展的插值誤差較大,但仍處于允許范圍內(nèi),在其他角度上,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展的誤差均小于經(jīng)典內(nèi)插。系統(tǒng)可允許的虛擬擴(kuò)展陣列要求誤差不大于10-3,在要求范圍內(nèi),經(jīng)典內(nèi)插的角度可達(dá)到20°,但內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展的角度可達(dá)到40°,在滿足內(nèi)插誤差的要求下擴(kuò)大了允許的插值角度。

2) 仿真實(shí)驗(yàn)2:驗(yàn)證本文算法的波束形成性能。在允許的插值角度下,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展與經(jīng)典內(nèi)插的波束形成對比如圖4和圖5所示。

圖4 內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展波束形成

圖5 經(jīng)典內(nèi)插波束形成

從圖4和圖5可知,在保證內(nèi)插角度處于允許最大范圍的情況下,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展與經(jīng)典內(nèi)插波束形成主瓣均能對準(zhǔn)期望信號方向,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展的旁瓣略低,峰值更接近于-30 dB,可見,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展方法在改善角度敏感問題的基礎(chǔ)上,對噪聲抑制也有一定的改善。

對經(jīng)典內(nèi)插做同樣的可變對角加載改進(jìn)與Taylor加權(quán)優(yōu)化,本文內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化算法與經(jīng)典內(nèi)插優(yōu)化的波束形成對比如圖6和圖7所示。

圖6 內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化波束形成

圖7 經(jīng)典內(nèi)插優(yōu)化波束形成

在圖6和圖7中,兩者主瓣均能夠?qū)?zhǔn)期望信號方向,且副瓣與零陷均得到降低;內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化波束形成的旁瓣峰值更接近于-40 dB,低于經(jīng)典內(nèi)插優(yōu)化。可見,可變對角加載改進(jìn)與Taylor錐化處理對內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展的優(yōu)化效果更好。

在實(shí)際L型陣列中采用文獻(xiàn)[17]中導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展的虛擬天線算法,波束形成如圖8所示。

圖8 導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展波束形成

可以看出,主瓣能夠?qū)?zhǔn)期望信號方向,但旁瓣較高。圖6與其相比,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化波束形成的旁瓣抑制更為明顯,但零陷深度較淺。可見,本文內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化算法對噪聲的抑制性能優(yōu)于導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展。

3) 仿真實(shí)驗(yàn)3:驗(yàn)證本文算法的輸出SINR性能。將輸入SNR進(jìn)行變化,范圍由-15 dB到25 dB,上述其他仿真條件不變,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展、經(jīng)典內(nèi)插、內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化、經(jīng)典內(nèi)插優(yōu)化以及導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展的輸出SINR隨輸入SNR變化曲線如圖9所示。

圖9 輸出SINR隨輸入SNR變化曲線

可以看出,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展與經(jīng)典內(nèi)插及二者優(yōu)化的輸出SINR均隨輸入SNR的增加而增加;導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展的輸出SINR呈先增大后減小的趨勢,當(dāng)輸入SNR達(dá)到21 dB時(shí),其輸出SINR開始下降。與經(jīng)典內(nèi)插相比,內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展的輸出SINR略大,且優(yōu)化輸出的SINR更大,優(yōu)化效果更明顯;與導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展對比,本文內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化的輸出SINR始終呈增大趨勢,未出現(xiàn)衰減,更適用于高輸入SNR。

4 結(jié) 語

本文提出一種內(nèi)插區(qū)域?qū)ΨQ擴(kuò)展優(yōu)化的波束形成算法,實(shí)現(xiàn)了內(nèi)插區(qū)域的對稱擴(kuò)展,和經(jīng)典內(nèi)插變換相比,一定程度上降低了內(nèi)插變換的誤差,擴(kuò)大了虛擬擴(kuò)展陣列的可用內(nèi)插區(qū)域,改善了內(nèi)插變換過程中的角度敏感問題。在波束形成上,相較經(jīng)典內(nèi)插及其優(yōu)化,本文算法對旁瓣和零陷的抑制較好;相較導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展,本文算法的旁瓣約束更好。在輸出SINR上,相較經(jīng)典內(nèi)插及其優(yōu)化,本文算法具有更高的輸出SINR;相較導(dǎo)向矢量對稱擴(kuò)展算法,本文算法的輸出SINR無衰減,更為穩(wěn)定。