探索運算本質 提高學生簡便運算能力

☉金小英

“數與運算”作為“數與代數”最基本的一項內容，貫穿于小學數學學習的整個階段。在中高年級中，又加入了加法和乘法的運算定律。教育部發布的《數學課程標準（2022 版）》將運算能力定義為：能根據法則和運算律進行正確運算的能力［1］。這里包含了兩個不同的層次需求：一是根據法則正確地運算；二是根據運算律正確運算。第二個層次不應簡單地理解為按簡便運算的運算律進行計算，而是自覺地根據數據特征選擇方法進行計算，解決相關的簡單實際問題，形成運算能力。這反映出的是關于運算方法選擇的策略水平［2］。但在實際教學中，一方面教師往往主要關注學生的計算過程、計算結果以及計算技巧的熟練程度，忽視了對運算模型的建構；另一方面，學生思維簡單化，只是機械重復，出現了“三亂”，即亂用、亂造、亂搭配。

一、理解本質 關注學生高階思維的培養

（一）培養符號意識，注重學生對算理的理解

怎么看待2 ＋3 ＝5 這個算式?“在數學上，這是一個完美的句子，有名詞、連詞和動詞。”［3］教育部發布的《數學課程標準2022 年版》將符號意識的培養與數感、量感三者共同歸為“會用數學的眼光觀察世界”，有利于培養學生的抽象思維和邏輯推理能力。符號意識可以分為符號理解、符號表示、符號運算、符號推理四個維度［4］。教師在教學中，應引導學生正確認識符號，理解符號語言。

以四年級下冊《乘法分配律》為例。

1.結合具體情境，加深對符號的理解

教材通過生活情境和學生已有經驗，采取情境呈現、解答列式、比較發現、舉例驗證、概括總結這幾個環節進行教學，引導學生通過邏輯推理得到規律，培養學生的問題意識和應用意識。

2.重視語言文字與符號語言之間的聯系

在這個環節教學中，教師除了要注重運算律的推導、總結以及符號化展示外，還要把著力點放在幫助學生理解運算符號表示的意義上，推進學生對符號運算和符號推理的思考。要在學生充分體驗、深刻感知的基礎上，抽象和概括出乘法分配律，將淺層學習認知水平推進到深層學習認知水平。如褚明月老師在講座“‘以學習為中心’的數學課堂改進”中就提到，可以在之后加入一個環節：讓學生說說為什么（即對算理的理解）。引導學生從不同方面闡述——從生活現象中，實際舉例說明；從原有學習經驗中，用幾何意義解釋；從列式解答上，用算理推導解釋……從簡單的討論發現上升到高階的邏輯演繹推理。

（二）加強認知，注重學生對運算規則本質的建模

張苾菁老師在《加法運算律》這節課上，為了讓學生理解加法交換律和加法結合律的數學本質，在完成例題教學之后，并沒有匆匆進入探究規律環節，而是采用不同形式繼續探究，讓人耳目一新。

環節一：根據例題條件提出問題，解決問題。初步感知兩個算式的特點。

環節二：模型支撐 溝通建構

①舉例子。“先買3 元的尺，再買1 元的橡皮”和“先買1 元的橡皮，再買3 元的尺”付的錢是一樣，讓學生理解加法交換律的意義。

②數小棒。例如12 ＋8 和8 ＋12，讓學生通過數小棒后發現，這兩個算式的結果是相同的，加深對加法交換律的理解。

③畫圖。讓學生畫圖解釋這種等量關系。例如：

在不斷推導下，得到等式a＋b ＝b ＋a，等號兩邊兩個算式的相同點是：兩個加數沒有變，都是加法運算，得數一樣；不同點是：左右兩邊的算式中兩個加數的位置交換了位置。因此，加法交換律可以表述為：兩個數相加，交換兩個加數的位置，和不變。

1.結合經驗去理解

在這個環節中，張老師先通過展示情境，利用學生已有經驗列出兩種算式，從計算結果去進行觀察歸納，讓學生從算式層面理解，初步感知了算理。

“學習是指學習者因經驗而引起的行為、能力和心理傾向比較持久的變化。”［5］學習是始于經驗，要求經驗的。數學知識是有承接性的，一個知識的學習必定會有相應的前期知識的鋪墊。教師在教學中，要充分發掘學生的舊有知識儲備，然后去引導學生完成知識的正遷移、深拓展以及資源再整合。

2.結合數形去理解

“數”是抽象的，“形”是具體的，數形結合就可以把抽象思維和具體化內容相轉化。培養學生模型意識、建立模型觀念可以加強學生對運算律的理解，從而促進學生數感的發展。在這個環節的第3 步中，張老師通過畫圖的形式，引導學生建模，加深對加法交換律算理的理解。在接下來教學中，學生運用了這種思維方式得到并理解了加法結合律過程：

加法結合律就是三個數相加可以用兩種不同的運算順序計算，且得數保持不變。如：計算23 ＋36 ＋45 的兩種方法的原理是這樣的：

所以，可以寫成23 ＋36 ＋45 ＝23 ＋（36 ＋45），比較這個等式兩邊的算式，相同點是：三個加數沒有變化，都是連加運算，得數一樣；不同點是：左邊是先把前兩個數23 和36 相加，再加第三個數45，右邊是先把后兩個數36 和45 相加，再與第一個數23 相加。因此，加法結合律的定義是：三個數相加，先把前兩個數相加，再加第三個數，或者先把后兩個數相加，再與第一個數相加，和不變。

二、多樣化形式與過程，提高學生在實際問題中的簡便運算能力

（一）呈現形式多樣化

運算能力重點在于理解算理、掌握算法，經歷探索過程，它是運算技能和數學思維能力的共同產物。為進一步提高運算技能，簡便運算形式應提倡多樣化，幫助學生認識簡便運算的實際意義。教學中，一方面可以適當增加口算和估算，另一方面可以引導學生將簡便運算運用到實際生活，使之生活化、主動化、內涵化。

（二）思維過程多樣化

單向思維是低端思維的外在，多向思維才是高質量思維。在進行數學簡便運算時，要盡可能引導學生發掘多樣化算法，以培養其數學運算和數學思維。以下面的學生解答為例：

首先，教師應讓學生準確地描述想法，然后讓學生比較，通過“觀察、多樣化解決、擇優、意識”幾個環節，進一步分析算法的區別和聯系，達到簡算擇優化和算理的理解。

（三）評價形式多樣化

在關注“四基”“四能”同時，教師要注意對學生核心素養的評價。在簡便運算教學中，一方面要注重運算技能和運算結果的評價，了解學生基礎知識和基本技能的掌握情況；另一方面，要注重學生對自身思維方式、思維水平的評價和反思，培養學生用數學思想分析、解決實際問題的能力，以促進學生的長遠發展。

三、掌握規律，鞏固意識，讓各種形式的運算有機融合

（一）通過對比，梳理溝通。例如125×8÷125×8 這種算式，很多學生會第一時間認為答案是1。究其原因，可能是與（125×8）÷（125×8）、125×8÷125÷8這些類型混淆。教師可以將多種類型放在一起，讓學生通過對比后知道它們的異同之處，理解這些算式的意義，進而得到正確的運算順序。

（二）透過現象，嘗試感悟。在四則運算中，減和除、加和乘的計算是存在聯系的。在小學數學中，對加法的描述是“兩個數合在一起是加法”，對乘法的描述是“兩個自然數A×B，表示A 個B 相加，自然數乘法可以看作相同加數求和的簡便運算”。例如103×5，可以看成103 個5相加。

（三）通過聯結，構建知識網。在教材中，數的運算被平鋪到每個年級段。例如乘法：

按口訣表計算兩、三位數乘一位數兩位數乘兩位數三位數乘兩位數小數乘法分數乘法二年級下冊三年級上冊三年級下冊四年級（整數的簡便運算）五年級上冊（小數的簡便運算）六年級上冊（分數的簡便運算）

可以看出，各個年級段的乘法螺旋遞進上升，知識點之間的聯系非常緊密。只有讓學生理解乘法的意義、計算的方法、過程中每一步計算的意義，才能在原有基礎上拓展提高，真正地掌握乘法計算，構建完整的知識體系。

例如103×5，從形式上看，學生大部分會作為三位數乘一位數口算或者筆算。但是從算理上理解，可以引導學生把算式理解成103 個相加5，進一步理解為（100 ＋3）個5，即100×5 ＋3×5。既體現了簡算的運用，也進一步解釋了乘法筆算的算理。

四、注重學生計算習慣的養成

葉圣陶先生說：“教育就是培養習慣，把良好的學習習慣轉化為學生內在的需要或傾向，那就是教育的成功。”良好的運算能力有助于學生形成嚴謹規范的思考意識。

（一）注重觀察（審題）。審題作為數學解題中的第一步，是培養學生解決問題的基礎和關鍵。如何“審”？是否有一個共性的流程與標準？學生在簡便運算中，既要審具體情境和數量關系，又要觀察運算符號和數字符號，審時度勢地選擇最優解答思維和正確的運算定律。

（二）注重驗算。驗算作為數學運算中最后一步，近年來教材逐步加強了學生驗算意識方面的引導。在實際操作中，應要求學生做到“四查”——查運算符號、查數字、查順序、查結果。

（三）注重錯誤反思。在實際教學中，書面作業作為衡量學生掌握情況和鞏固知識點的重要工具，處于比較尷尬的地位，有足夠高的關注度，但也存在放大化的評價作用。教師在面對作業中的錯誤時，不要簡單地以“批改、講解、訂正”為整個過程，而應讓學生自我反思錯誤原因：算理不清、技能不熟、基礎不牢還是不良習慣？找到了問題所在，才能有針對性地進行糾錯。

對小學數學而言，數學運算是最核心、最關鍵的內容之一。簡便運算意識作為一種優化意識，反映出學生深層次的學習水平。教學中，教師應認識到學生對數的簡便運算的感悟是一個循序漸進的過程，要注重溝通聯結，引發深度思維，促進學生數學關鍵能力與核心素養的發展。