關注知識本質 構建有效課堂

☉陳秀清 吳云敏

田忌賽馬的故事在中國流傳了2000 多年，但想要深刻理解它的意義，卻要借助一個不到100年歷史的數學分支——博弈論，又稱對策論來加以解釋。

現實生活是數學學習的起點。傳統的《數學廣角——田忌賽馬》的教學，教師通常更關注故事情節上的教學，強調獲勝方法的指導，卻忽視體會解決問題策略的多樣性，忽視從多樣性的策略中尋找最優策略、發展優化意識，缺乏引導學生從數學知識的本質去分析、解答問題，把《數學廣角——田忌賽馬》當成故事游戲活動課，偏離了教材滲透統籌優化數學思想方法的編寫意圖，從而影響了課堂教學的質量。因此，應該從關注知識的本質出發，從而建構有效課堂。

一、溯本求源，探索知識起點

傳統的《數學廣角——田忌賽馬》的教學，側重的是獲勝方法的指導與總結。反映到“田忌賽馬”獲勝的方法上，就是“調換順序”“用田忌最弱馬去消耗齊王最強的馬”等方法的概括指導。但是，在練習后發現，學生只會生搬硬套所學方法，并不理解其中原委。究其原因有兩點：一是學生不理解解決問題策略的多樣性；二是不習慣運用從多樣性的策略中尋找最優策略。因此，要提高課堂教學的有效性，教學必須從學生已有的知識經驗出發，溯本求源，探索對策論的知識起點。

（一）重溫排列方法，鏈接學生思維的起點

教學導入時，可在回憶排列的方法上著手。對學生來說，他們是第一次接觸對策論，需要理解：要想找出最優策略需要找出解決問題的所有方法，具有一定的排列組合的思想是很重要的。教師可以這樣處理：（1）提問：3，5，8 這3 個數字有哪些排列方法呢？（2）引導：按照一定的順序進行排列真好，能找得又快又對，既不重復也不遺漏。（3）思考：這六組數字哪一組最好呢？（沒有對手體現不出最好）。這樣，通過回憶排列的方法，在學生心中埋下運用排列的方法找出解決問題所有策略的種子，引導學生用數學的眼光看問題。

（二）抓住知識聯系，找準學生思維的生長點

學生思維在特定環境中對獲得的信息進行加工，形成了認知活動。教學時，教師可以設計情景再現、互動游戲等一系列具有針對性、含有一定內在邏輯的數學思維活動，為學生在特定的情境中形成特定的記憶，獲得數學活動經驗，積累數學思維素材，使思維活動有連接點和生長點。

“田忌賽馬”被公認為是最為經典的對策選擇案例。策略性環境在社會生活中是很常見的。學生要學會了解在策略性環境下，應該怎樣采取行動。讓學生經歷自主探究的過程，體驗解決問題策略的多樣化，理解為了確定采取的行動是最優方案，必須考慮對方會怎樣選擇行動方案［1］。

二、高屋建瓴，挖掘知識本質

“田忌賽馬”是應用對策論，最古老最典型的案例，故教材選這個故事作為例題，它研究的是競爭，雙方采取什么對策，才能戰勝對手。教學必須符合學生的心理特征和年齡特點，引導學生從故事中發現和提出數學問題，并運用數學思想方法分析問題和解決問題。其實，讓學生感受統籌優化數學思想方法并不簡單。在實際教學中，學生會出現“沉浸在比賽的興奮當中，很難冷靜思考，導致不能得出必勝策略”“不能按一定的順序去做，結果導致匯報時思路也不清晰”等各種問題。因此，要從追尋對策論數學文化的“源”和“流”，探究“反敗為勝”的概率等方面入手，引導學生去體驗，挖掘對策論的知識本質。

（一）深入教學策略

語文有同題課文，語文課教學時常常把這些策略、故事蘊含的哲理分析得非常透徹。因此，教學時我們應當著重引導學生用數學的眼光看待故事，找尋故事背后的數學知識本質。但是，在實際教學中，教師常常因為學生了解這些策略從而簡單對待，反而會導致教學失誤或不到位。

以“以弱勝強”為例，要讓學生明白策略不是憑空想象，是需要通過討論交流、推理驗證等方式獲得解決問題的策略。“以弱勝強”策略的教學是否到位，有兩個衡量指標。第一，是否引導學生通過有序思考找出各種應對策略。策略是要基于全局考慮，這是學生生活和學習中比較缺乏的。因此，教學必須引導學生有序思考，一一排列，找全田忌的6 種不同應對策略。第二，必須讓學生明白，孫臏找到的這種可贏的策略是在齊王不改變自己的出馬順序為前提的。學生在運用田忌的6 種不同策略與齊王的馬一一比對中，找到唯一能贏的策略，從而更深刻地體會“謀略在先、以弱勝強”的不易，感悟“統籌”的魅力。學生在獨立思考、合作交流中，獲得數學活動經驗［2］。

（二）啟發提問深入探究

不少教師在教學中常常只關注得出的結論的正確性，缺乏深入探究結論背后的數學知識的本質。例如，學習《田忌賽馬》時，得出田忌的6 種不同應對策略只有1 種是能贏的策略后，教師會小結：“我們就把這種策略叫做最優策略。”草草結束新課的教學。但是，這樣的方式沒有讓學生的思維得到拓展，參與教學活動沒有達到一定的深度。教師可以這樣處理：（1）提問：田忌的馬的出場順序一共有多少種方法？（2）引導：按照一定的順序進行填表，既不重復又不遺漏。（3）觀察：這六種排列方法中只有一種能贏齊王。（4）思考：齊王每更換一次馬的出場順序，田忌有多少種排列方法來應對？（6 種）。（5）追問：不管齊王的馬怎么出場，田忌都有贏的可能，贏得可能性是多少？（1/6）。不是說齊王的馬的實力更強一些嗎？（所以齊王贏的可能性是5/6）。這樣，在研究田忌有哪幾種應對齊王的策略時，通過一一排列，找全田忌的6 種不同對策，發現田忌獲勝的可能性只有1/6。這樣的教學活動給學生留下深刻的理解和長久的思維激動，進一步挖掘了數學知識的本質。

這樣，在豐富的活動中不僅讓學生感悟出用列舉法解決問題的策略，滲透一一對應的數學思想，而且培養了學生的自主參與意識和自主探究能力，使學生體會到數學的豐富內涵，感受到數學知識就在生活中。

三、兒童視角，體悟數學價值

觀察能力的培養是小學數學活動的重要組成部分。觀察是兒童有意識地對事物的數與形的特點進行感知的活動。在數學中，不論是對基本規律的發現、數與形的結合、數據關系的掌握，還是對圖形的識別，都離不開細致的觀察。在小學數學課堂的觀察活動中，要細致，要有目的、有方向，才能更好地找出規律，提高教學的有效性。

《田忌賽馬》是學生熟悉的故事，可以通過再現兩次比賽，結合這兩次比賽的不同結果，借助信息技術手段將視頻分成兩部分，分別導入進電子書包中，在學生觀看完比賽后，提問：在每次比賽中，田忌是怎樣派馬迎戰齊王的？其意圖有兩個：一是判斷雙方馬的實力，二是幫助學生積累觀察經驗——觀察中學會把握變換的關鍵性因素。電子書包環境下的視頻演示使得整個變換過程清楚明了，學生在觀看視頻的過程中很快對知識有了直觀認識。同時，也為決策的作用及在比賽中可能產生的不同結果有一個整體的理解。

兒童的天性就是好“玩”。“玩”數學的特別之處就在于學習者在輕松愉悅的心理狀態下，有意識地去“做”。對策問題作為現代應用數學的一個重要研究對象，它在日常生活以及社會科學研究中都有廣泛的應用。［3］對于四年級學生來說，他們的注意力、理解力以及認知能力有限，領會對策論這種高深的數學知識和方法相對是不容易的。因此，要借助學生喜歡的故事和游戲等手段，進行教學，營造生動活潑的教學氛圍，在輕松愉快的活動中，使教學由難變易。

游戲激趣，體會從多樣性的策略中尋找最優策略。博弈，是參與者使用一定的策略進行互動，來使自己利益最大化的一個過程。對學生來說，怎么尋找最優策略是一個難點。因此，必須在學生已有的知識經驗和最優策略中間，找到一個連接點，這可以用“比大小游戲”這樣生動的例子來實現。（1）明確游戲規則：用3，5，8（紅牌）這幾張數字牌和4，6，9（黑牌）進行比大小，三局兩勝。（2）觀察：紅牌（3，5，8）有且只有2 張大于黑牌（4，6，9）2 張牌，明顯4，6，9 的實力強。（3）思考：3，5，8（紅牌）這幾張數字牌的6 組排列中，有能戰勝4，6，9 的排列嗎？（4）操作：運用貼牌的方式讓紅牌（3，5，8）的6 種排列一一與黑牌（4，6，9）進行比賽。尋找能獲勝的排列。（5）追問：紅牌（3，5，8）的這6 種排列中，能戰勝4，6，9 的有幾種？（1 種）

通過比大小游戲，讓學生體會運用不同的排列方法進行比賽有不同的結果。在操作中，讓學生感受到獲得實力稍弱的紅牌獲勝的方法不是碰運氣的，而是通過有序思考，一一排列獲得的，引導學生從數學的角度分析問題，體悟數學價值［4］。這樣，不僅把適當的內容設計成兒童喜愛的游戲學習活動，而且使課堂變得更有生命力，更有活力。

四、關注知識本質、構建有效課堂策略

（一）創設生活情境，合理引入數學概念知識

數學課堂導入練習，對激發學生深入學習數學知識有很大幫助，也是整個數學概念理解教學中的一個重要環節。一個優秀有效的數學課堂導入練習，可以迅速激發學生對未來所學新知識的強烈好奇心，讓他們迅速與繼續學習相關新知識的能力聯系起來，有一個相對清晰的系統認識，并在心里有一定深度的學習期待，使他們未來的后續學習達到事半功倍的效果。目前，國內的教育工作者也越來越重視對學生的課堂學習導入進行相關研究，并由此提出和設計了許多關于課堂知識導入的教學方法，包括從培養學生興趣的實際生活情況出發，創設生活情境，有效、快速吸引學生的主觀注意力；引導學生從數學課堂學習開始就自覺跟隨數學教師的思路步伐，深入學習數學概念……

（二）培養學生的實踐能力，加強實踐操作

錢守望教授一直主張，在課堂教學內容中，要為學生提供更多的獨立觀察、思考和探索的時間，提供更多的實踐活動空間，為學生提供更多的展示才華的機會，提供更多的學習體驗，提供成功學習帶來的精神愉悅，讓所有學生自始至終參與和體驗自己知識形成和獲取的全過程。因此，教師在課堂上要進一步改變傳統的灌輸式課堂和教學管理方式，倡導創新的小組教學合作和教學研究方式，注重對學生實驗和動手綜合能力的系統培養，使低年級學生在各種小組實踐和合作環境中逐步發揮出最大的創造性和主觀能動性，并親身體驗一個數學概念最終形成體系的復雜過程，進一步加深對數學知識的全面認識，促進教師專業水平和能力的進一步提高，為教師今后更好地學習和實踐奠定良好的基礎［5］。

（三）回歸數學課本，正確解讀數學概念

培根曾提出，“數學是思維的體操”。因此，數學教師在數字化教學實施活動中，要真正有效實現數學課堂的實際教學任務目標，就必須正確解讀數學概念。每一個講解數學概念的課堂教學環節都需要有自己獨特的實踐教學思路。因此，廣大教師在實踐教學活動前要正確解讀這些數學概念，并投入到研究中去，從而更加正確、深入地解讀自己的數學概念，挖掘這些數學知識，進而構建高效的數學課堂。開展小學數學概念理解教學，最重要的內容是讓低年級學生深入理解抽象數學知識所包含的知識本質，引導學生逐步揭開抽象數學知識的厚重神秘面紗。這必然要求一線教師要有合適的方法正確引導學生，結合相關教材逐步為學生解讀概念的本質。

總之，數學知識本質是一種數學意識和數學思想精神，數學與生活的相互交融。在課堂中引導學生喜愛數學、理解數學、挖掘數學知識本質，不僅有利于學生思維能力與道德情感的綜合發展，而且有利于學生數學精神的培養。［6］