局部α次積分C半群的譜映射定理

秦喜梅

（巢湖學院數學與大數據學院 安徽合肥 238024）

算子半群是泛函分析的一個重要分支，其主要研究方向包括半群的生成元、半群的生成和表示、半群的擾動、半群的譜理論、穩定性等，它在抽象分析、偏微分方程、動力系統及控制理論等領域都有著廣泛地應用。其中，許跟起以控制論中一些鎮定等問題為研究背景，討論了Banach空間中線性系統可容許狀態反饋控制涉及的半群擾動問題，并在Lp系統框架下，對可容許狀態反饋算子不僅給出其定義，而且證明了可容許狀態反饋算子的存在性[1]。根據C0半群等理論，張慶華和朱月萍研究了半空間上Navier?Stokes 方程的加權時空估計以及正則解的存在性[2]。原文志和寇玉芳討論了冷貯備系統的算子性質，并證明了該系統算子是預解正算子，并根據C0半群理論得到系統動態解是存在唯一的[3]。何澤榮借助于強連續算子、壓縮算子、耗散算子的Lumer?Phillips 定理和算子擾動等算子半群工具，確定了具有捕食相互作用的兩種群模型正平衡態的存在性，并分別列出了其漸進穩定與不穩定條件[4]。李永祥和韋啟林根據C0半群理論和不動點定理，詳細證明了Banach 空間中時滯發展方程周期解的存在和唯一性，并利用此結論討論了兩個時滯偏微分方程解的存在性[5]。

在算子半群理論中，算子半群的譜是最基礎、最重要且具有廣泛應用的概念之一。在實際應用中，算子半群的譜不僅在研究算子半群的特性、結構、穩定性等方面都有著重要作用，而且可以用來分析線性和非線性動力系統的穩定性和漸近性質，解決偏微分方程以及處理優化問題等。其中郝智紅和崔家瑞借助譜理論、投影算子和線性算子半群無窮小生產元得到線性中立型延時系統的輸出反饋控制律，同時證明了反饋控制閉環系統的漸進穩定性[6]。袁鄧彬和駱雯琦等根據預解方法和半群方法得到遷移算子的譜性質[7]。孫麗麗等利用C0半群在有限維子空間上展開的相關性質，證明了當生成元的譜界等于半群的增長界時，譜界上特征值的代數重數和幾何重數相等[8]。基于馬爾科夫過程的燃氣電力可修系統的主算子問題，唐慧和楊翔宇利用預解正算子理論、共尾和C0半群理論證得系統主算子的譜算子等于系統主算子生成半群的譜增長界[9]。而為了更好地研究算子半群的特性，一個有效的工具就是用生成元的譜來刻畫其算子的譜，從而得到相應的譜映射定理。Day借助于內插和外插定理研究了積分半群的譜映射定理[10]，杜省權和劉清榮通過引入C半群的預解集，對C半群的譜與其生成元譜之間的關系展開研究[11]，宋曉秋討論了C半群的點譜、近似譜和剩余譜與其生成元的譜的包含關系[12]，趙華新給出了可微C0半群T(t)的生成元A的譜與AT(t)的譜之間的關系[13]，劉瑞和王小霞提出了譜集的一種構造方法，討論了C半群的高階微分算子的譜[14]。Boua等研究了可微C0半群T(t)的生成元A與可微C0半群T(t)的本質譜、Browder 譜和Kato 譜之間的關系，同時討論了生成元A與T(t)的n階導數T(t)(n)的譜映射定理[15]。

而作為積分半群和C半群的融合和延拓，α次積分C半群也被廣泛地研究[16?22]，其中α是任意的非負實數。受上述研究工作的影響和啟發，本文討論了局部α次積分C半群的譜的特性，介紹了局部α次積分C半群的譜與其生成元的譜之間的關系。

一、基本概念和性質

二、譜映射定理

三、結語

本文主要介紹了局部α積分C半群與其生成元之間的點譜、連續譜和剩余譜之間的關系，這些結果不僅有助于進一步研究局部α積分C半群的特性：算子半群的相容性、凸性和壓縮性、單參數或雙參數局部α積分C半群等相關領域的擾動、逼近等,而且對于相關系統的穩定性和漸進性、齊次抽象柯西問題及非齊次抽象柯西問題都起著一定的積極作用。