淺談“公切點偏移”問題

張志華 王 軍 武 曉

(重慶市第一中學校,重慶 400030)

著名數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔離分家萬事休.”而高中數學新課程標準強調六大核心素養,其中直觀想象和數學運算正契合于此,兩者相輔相成,缺一不可.以形助數,“直觀想象”好似指南針,用以指引方向,幫助發現結論;以數刻形,“數學運算”如同放大鏡,讓圖像更加精細,讓邏輯更加嚴謹.

1 問題展示與分析

1.1 問題展示

A.6是函數y=f(x)的一個周期

1.2 初步分析

本題是本校高2023屆期末考試多選題第12題,綜合考查分段函數、函數周期性、對稱性、單調性等知識,屬于難題范疇,我們主要對C選項展開探討.

因為f(x+2)+f(4-x)=f(3),用x+1替換x得f(x+3)+f(3-x)=f(3),令x=0,則f(3)+f(3)=f(3),所以f(3)=0,f(x+3)+f(3-x)=0,f(x)關于(3,0)中心對稱,又因為f(x)是奇函數,所以其周期T=2|3-0|=6,先畫出f(x)在(0,3)上的圖像,再利用對稱變換和周期變換得其整體圖形.

在試卷評講之前,筆者先讓學生在課下完成了深度重做,旨在給學生充分的時間對問題再思考,參悟題目的底層設計,發現“雷區”,揣摩命題人的出題意圖.

[學生甲匯報] 課堂上,學生甲首先進行匯報,如圖1、圖2所示:

圖1 4個交點的臨界情況

圖2 6個交點的臨界情況

由圖像分析,令g(x)=logax,為保證f(x)與g(x)有5個不同交點,需滿足

[學生甲點評] 命題人想考查數形結合的思想方法,C選項給出的答案只刻畫了左端點,沒有對右端點進行刻畫,考慮不全面.

[學生乙繼續匯報] 對學生甲的解答提出了質疑,并進行了補充.上述過程只考慮了a>1的情況,忽略了0

圖3 時4個交點的臨界情況

圖4 0

從代數上進行刻畫,需滿足:

[教師點評] 非常好!甲同學數形結合時考慮到了右端點,乙同學全面考慮了圖形存在的多種狀態,分類討論對問題進行完善.數形結合和分類討論是處理復雜函數問題的兩種常見策略[1],望同學們多多參悟.

2 問題提出與探究

2.1 問題提出

經過兩位學生的深入剖析,此問題的解答似乎無懈可擊,但事實真的是這樣的嗎?

首先通過甲乙兩位同學的匯報,題目中C選項的正誤早已明了.但我們如果鍥而不舍地深究下去,對題目中兩函數曲線“精雕細琢”,將會打開一副更加波瀾壯闊的畫面.

觀察如下兩個示意圖,當我們面對兩個“上凸”函數時,其“唯一公共點”有兩種狀態.

受定勢思維的影響,加之我們手繪畫圖的不準確性和視覺誤差,如圖5,我們往往默認兩曲線的“唯一公共點”在下方函數的頂點(對稱軸)處產生.但仔細推敲我們不難發現,如圖6,當兩個函數同時“上凸”時,其“唯一公共點”應當落在極值點的左側!這一點發人深思:上述解題過程中兩位同學選用極值點處兩函數的大小關系刻畫圖像的交點個數是否正確?

圖5 “公切點”在對稱軸處 圖6 “公切點”在對稱軸左邊

“唯一公共點”可以轉化為兩函數的公切線的切點重合,我們不妨用“公切點”來闡述.這樣我們就有兩個探究任務:(1)f(x)與g(x)的公切點是否在f(x)的極值點(對稱軸)的左側;(2)如何解出這個公切點以及對應的a的值.以下我們進行深入分析.

2.2 問題探究

探究任務1 以a>1的情況為例,由圖像需刻畫區間(12,15)上f(x)與g(x)的公切線是否存在.

3 問題猜想

著名數學教育家波利亞說過:“好問題同某些蘑菇有些相像,他們總是成堆地生長,找到一個以后,你應當在周圍找找,很可能在附近就有好幾個.”所以,我們應當去尋找更多的好問題,解決與之相關的一般數學問題,并從中去發現這個問題的背后所隱藏的奧秘.

如圖7、圖8,我們提出如下兩個猜想.

圖7 “公切點”左偏 圖8 “公切點”右偏

猜想1:在區間[a,b]上,f(x)是“上凸”函數,有極值點m,g(x)是“上凸”函數,沒有極值點,f(a)

猜想2:在區間[a,b]上,f(x)是“下凸”函數,有極值點m,g(x)是“下凸”函數,沒有極值點,f(b)>g(b),如果f(x)與g(x)存在公切點x0,則x0>m.

4 教學啟發與建議

數學中“草圖”的重要性不言而喻,其好處主要是直觀形象、在于觀察和發現結論,屬于“合情推理”的范疇,但“草圖”畢竟不屬于“演繹推理”,由筆繪偏差和視覺誤差容易引起似是而非的錯誤結論,所以代數的嚴格推理與運算必不可少.這也與新課程標準中強調“直觀想象”與“數學運算”兩大核心素養密切相關,所以我們不能孤立片面地理解這兩者的關系,兩者是一個有機結合的整體.