化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

郭瓊梅

(泉州第十七中學(xué),福建 泉州 362000)

高中教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)每個(gè)學(xué)生的不同情況,為學(xué)生詳細(xì)講解各種數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通、融會(huì)貫通的能力,借助化歸思想,學(xué)生會(huì)養(yǎng)成不斷反思、善于總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣,且教師也會(huì)在該思想的引導(dǎo)下持續(xù)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,有助于調(diào)整教學(xué)模式.

1 化歸思想的原則

1.1 熟悉化原則

在實(shí)際的解題中,運(yùn)用化歸思想,應(yīng)該是根據(jù)以往解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),與同種類型的數(shù)學(xué)題相結(jié)合,將其轉(zhuǎn)化成已知量,找到問題的解答思路,教師都應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過總結(jié)和反思找到應(yīng)用的優(yōu)勢(shì),并讓學(xué)生將這些優(yōu)勢(shì)內(nèi)化于心,外化于行.

1.2 簡(jiǎn)單化原則

在高中數(shù)學(xué)解題過程中,應(yīng)用化歸思想,其目的是簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)題目,將數(shù)學(xué)題目相關(guān)的信息進(jìn)行提煉,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目的簡(jiǎn)化,將無價(jià)值或者干擾信息剔除,避免解題環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

1.3 逆反性原則

化歸思想的應(yīng)用不僅可以單獨(dú)進(jìn)行,也可以與其他方法融合使用,如逆向思維,教師讓學(xué)生根據(jù)問題向前推導(dǎo),總結(jié)已知信息之間的關(guān)系,也可以達(dá)到快速解答問題的目的.

2 化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用措施

2.1 實(shí)現(xiàn)動(dòng)和靜之間的轉(zhuǎn)化

化歸思想的主要內(nèi)容就是動(dòng)和靜之間的關(guān)系,通常在函數(shù)解題中就要借助化歸思想,找到各種變量之間的關(guān)系,并構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)模型.在該數(shù)學(xué)模型中,學(xué)生也會(huì)對(duì)某一數(shù)值的運(yùn)動(dòng)以及變化規(guī)律進(jìn)行深度探究,再借助相關(guān)的函數(shù)知識(shí),提煉出各種變量之間的關(guān)系,最終把各種靜態(tài)問題直接轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)關(guān)系,站在不同的角度,找到函數(shù)問題的解答方法[1].

2.2 實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)通常會(huì)涉及到數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)化,化歸思想中的特別形式也是指代數(shù)和圖形之間的巧妙轉(zhuǎn)化和結(jié)合,這樣能夠讓學(xué)生把各種抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀形象的問題,便于學(xué)生的理解和掌握[2].

分析該題可發(fā)現(xiàn),該題需要求出兩個(gè)函數(shù)在特定區(qū)間的交點(diǎn).教師也會(huì)發(fā)現(xiàn),如果只采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式,如利用兩個(gè)函數(shù)相等構(gòu)建相應(yīng)的方程、分式和三角函數(shù)形式,會(huì)加大學(xué)生的運(yùn)算量,甚至還會(huì)讓部分學(xué)生出現(xiàn)難以正確解答的問題.此時(shí),教師可以發(fā)揮化歸思想的優(yōu)勢(shì),再融合數(shù)形結(jié)合思想,借助圖形分析數(shù)量關(guān)系,并畫出具體的函數(shù)圖象,如下圖1所示.學(xué)生通過觀察區(qū)間[-1,5]上的圖象會(huì)發(fā)現(xiàn),兩個(gè)函數(shù)圖象一共有6個(gè)交點(diǎn),并關(guān)于(2,0)成三組對(duì)稱關(guān)系,因此可得出,(2,0)是每組對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn),學(xué)生就可輕松求出橫坐標(biāo).

圖1 畫圖

2.3 實(shí)現(xiàn)等價(jià)和非等價(jià)之間的轉(zhuǎn)化

化歸思想中等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化也屬于常見的形式,使用等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí),需要對(duì)題目中的各種因素進(jìn)行了解,這樣才能夠保證轉(zhuǎn)化的正確性.通常情況下,學(xué)生在解決翻折、對(duì)稱的題型時(shí),需要借助曲直轉(zhuǎn)化思想,通過將立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形,降低解題難度.

例如,在以下例題中,在直三角柱ABC-A1B1C1中,∠BCA是直角,M是A1B1的中點(diǎn),N是A1C1的中點(diǎn),若CC1=CA=BC,求BM和AN所成角的余弦值是____.

圖2 建系

需要注意的是,整個(gè)過程中雖然有教師的引領(lǐng),學(xué)生順利利用化歸思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,但教師依舊要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)邏輯準(zhǔn)確的重要性,必要的時(shí)候結(jié)合相關(guān)概念,將其轉(zhuǎn)化并順利求解.

2.4 實(shí)現(xiàn)一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)解題過程中,通常會(huì)遇到很多有難度的題,在這樣的題目解答中,學(xué)生需要使用化歸思想,從特殊向一般轉(zhuǎn)化,如特殊值,特殊情況等,再根據(jù)題目中的各種已知條件找到特殊值存在的情境[3].

在解答該題目的過程中,學(xué)生要仔細(xì)分析題目中所包含的已知條件,然后可得出,坐標(biāo)系所圍成的圖形面積是確定的,因此該圖形的面積和點(diǎn)P位置沒有任何關(guān)系,這樣就可以在解題過程中把P點(diǎn)看做是任意值,然后確定P點(diǎn)的特殊位置,最后根據(jù)函數(shù)式中a和b的值,求出圖形的面積.

2.5 化虛為實(shí),強(qiáng)化學(xué)生的化歸思想

化歸思想的正確運(yùn)用離不開學(xué)生的正確解讀,如果學(xué)生對(duì)化歸思想的內(nèi)涵無法做到深度了解,在具體使用中,也會(huì)出現(xiàn)各種問題.為此,課堂上教師就應(yīng)當(dāng)為學(xué)生多多展示使用化歸思想的各種案例,讓學(xué)生通過不斷訓(xùn)練,達(dá)到強(qiáng)化理解的目的.

例如,在解答以下例題中

第一題,若關(guān)于x的方程9x2+(4+a)3x+4=0,有正解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

第二題,設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù),若f(1-ax-x2)≤(2-a),對(duì)任意a[-1,1]恒成立,那么x的取值范圍為____.

在解答這個(gè)題目時(shí),首先,學(xué)生會(huì)觀察到原方程有一定的復(fù)雜性,此時(shí)可以采用化歸思想進(jìn)行簡(jiǎn)單處理,設(shè)t=3x,則原命題可以等價(jià)換成關(guān)于t的方程,即

t2=(4+a)t+4=0,

又因?yàn)轭}目中關(guān)于x的方程有正解,那么可得出x>0,因此t>0,

所以a+4≤-4,

a≤-8,實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)當(dāng)在(-∞,-8).

在解答第二題時(shí),也可以由題目得出f(x)在R上是增函數(shù),因此f(1-ax-x2)≤(2-a)

得知1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]

所以a(x-1)+x2+1≥0,即a∈[-1,1]恒成立.

若g(-1)=x2-x+2≥0,g(1)=x2+1≥0恒成立.

最終得出x≥0或者x≤-1.

2.6 化繁為簡(jiǎn),有效借助各種數(shù)學(xué)定理

在解答立體幾何或者不等式以及數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容題目時(shí),學(xué)生都可以使用化歸思想.尤其是幾何題目,教師應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)自己對(duì)數(shù)學(xué)教材知識(shí)的理解,并學(xué)會(huì)舉一反三,通過對(duì)問題進(jìn)行仔細(xì)對(duì)比和篩選,逐漸理清解題思路,這樣才能夠?qū)⒔忸}過程不斷優(yōu)化.

例如,在講解以下例題中,學(xué)生就可以借助化歸思想進(jìn)行如下作答.

圖3 例題解析

又由點(diǎn)M處于圓C上

得(2x+3-3)2+(-2y+3-3)2=4,即x2+y2=1.

綜上所述,在教育改革力度不斷加大的當(dāng)下,培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本目標(biāo).高中數(shù)學(xué)教師首先應(yīng)當(dāng)意識(shí)到課堂上為學(xué)生講授化歸思想的重要性,然后要借助各種各樣的例題,使學(xué)生在不斷變化的訓(xùn)練中,強(qiáng)化對(duì)化歸思想的理解,實(shí)現(xiàn)綜合能力的發(fā)展.