矩形水平通道內液體Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的數值模擬

＊趙佳悅 侯紅 梁啟煜 郭永紅

（山西能源學院 能源與動力工程系 山西 030600）

將封閉矩形通道內的水平液層從底部加熱，表面冷卻，再與層流強制對流疊加，這樣的流動叫做Poiseuille-Rayleigh-Bénard（P-R-B）對流。Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流廣泛存在于自然界和工業領域中，例如化學氣相沉積，電子設備冷卻，海水淡化裝置和板式換熱器等。對Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的研究，有利于對換熱器和材料制備過程進行合理設計和改良[1]。

流體在通道流動的過程中，由于浮升力的作用，會出現二次流。在一定范圍的Re數下，液體的浮力引起縱向流卷（即流卷的軸線平行于流動方向）的發展。一些文獻中通過理論計算，數值模擬或實驗分析的方法研究了水平通道中的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流。Rahli[2]指出，Poiseuille-Rayleigh-Benard對流中，流動由兩個對流源疊加而成：水平壓力梯度引起的通道內主流和垂直溫度梯度引起的二次流。文獻[3-5]研究了底部加熱，上面冷卻的通道二次流的發生機制。縱向流卷在流動入口區域的側壁附近觸發，然后逐漸向中心移動，側壁處的擾動是對流不穩定性形成的重要因素。Zhang[6]對底部和側壁加熱通道的流動和傳熱特性進行了實驗研究，通道寬深比為6，其底部和側壁被加熱且通道頂部被冷卻。實驗結果表明，通道底部的熱流密度一定時，液膜內部首先出現兩個較大的流卷，并且占據整個橫截面，之后增加到四個。Gau等[7]觀察了兩平行板之間空氣的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流，運用流動可視化方法得出了Gr/Re2=20，Re=500條件下空氣內部的流動狀態。

研究發現，Poiseuille-Rayleigh-Bénard流動的流型和熱傳遞取決于Ra數、Re數等參數[8]。Benderradji[9]對寬深比為10，底部均勻熱流加熱的水平通道內流體流動和傳熱特性進行了數值計算，得出當Ra/Re2＞18時縱向流卷產生的機理發生改變，而且有流卷產生時，整體的傳熱系數明顯大于僅有強制流動的通道。Ostrach和Kamotani等[10]對等溫板之間充分發展的氣流進行了實驗，指出渦卷在Re=38，Ra＞8000時變得不規則。Nicolas[11]通過實驗方法做出了無限大寬深比和有限寬深比通道內Poiseuille層流流動中Ra-Re平面的穩定性圖，確定了流動的臨界Re數和Ra數。Ostrach和Kamotani發現在大寬深比的通道中，縱向流卷的波長大約等于液體高度的兩倍，即使對于大Ra數的情況也是如此。

本文采用數值模擬的方法研究底部定溫加熱、表面定溫冷卻的矩形水平通道內液體的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流，分析不同Re數和Ra數對流型和換熱的影響，為工程實踐提供一定的理論依據。

1.物理數學模型

本課題采用的物理模型為矩形水平通道，如圖1所示。其幾何尺寸長為L=50cm，寬為W=10cm，深為d=1cm。上表面為冷卻表面，溫度為Tc，下表面為加熱面，溫度為Th，左右側壁為絕熱豎壁，流體以速度v流過通道，入口溫度為T=Tc，環境溫度T0=Tc。為簡化起見，假定：（1）液體為不可壓縮牛頓流體，密度滿足Boussinesq近似；（2）所有固體壁面均為無滑移邊界條件；（3）流動速度低，為層流。

圖1 物理模型

2.結果分析與討論

（1）縱向流卷形成的機理。圖2為當Re=10，Ra=5000時，不同的X-Z截面上的縱向流卷圖。這種縱向流卷形成的機制，被稱為經典機制。從圖中可以看到，縱向流卷起初形成于兩側壁處（Y=5），并逐漸沿著流體流動方向往通道的中心區域擴展（Y=8，Y=15）。從Y=22之后，縱向流卷完全發展。這是因為在側壁絕熱情況下，由于速度邊界層的存在，流體流動的速度沿通道中心向兩側壁逐漸減小。因此強制對流在側壁附近較弱，在通道中心附近較強，可以認為流體在側壁附近是自然對流，所以絕熱側壁附近的熱量不容易散失，導致熱量在側壁面附近聚集，溫度升高。因此，在通道內部形成了X方向溫度梯度，由于流體密度隨溫度升高而降低，該處的溫度梯度使流體產生了密度梯度。在側壁附近的流體密度低于通道中心區域流體的密度，在浮升力和重力的作用下，側壁附近流體向上方流動，而稍遠離側壁的流體向底部流動。同時，由于此處Z方向上亦存在溫度梯度，因此，在通道兩側壁處的流體便會產生流卷。再加上流體內部,黏性力的作用，兩側壁處的流卷逐漸在其后方激發出新的流卷，直至流卷布滿整個通道的X-Z截面。縱向流卷形成時在通道內成對出現，且相鄰的兩個流卷旋轉方向相反。流卷直徑約等于通道高度。在充分發展區，在X-Z截面上共有12個縱向流卷。

圖2 Re=10, Ra=5000時不同X-Z截面上縱向流卷的溫度場和速度場

（2）Re數對Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的影響。圖3為Ra=5000時，Z=0.5截面上的無量綱溫度場在不同Re數下的變化。可以看出，隨著Re數的增加，充分發展區的縱向流卷出現位置逐漸向后移。這是因為在通道特征尺寸保持不變且流體黏度值基本穩定的情況下，Re數的增加意味著流體流速增加，從而在入口段相同Y坐標位置處的絕熱側壁附近的對流增強，熱量不容易在側壁聚集，因此縱向流卷在充分發展區的出現位置不斷向后移動，但縱向流卷的個數不隨Re數的改變而改變。

圖3 Ra=5000時不同Re數下Z=0.5截面的溫度云圖

（3）Ra數對Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的影響。在流體力學中，Ra數是用來表征浮力驅動流體的無量綱數。當Ra數低于某個臨界值時，流體內部的傳熱主要以導熱的形式；當Ra數超過該臨界值時，流體內部的傳熱主要是以對流形式。對于水平通道內液體的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流來說，研究Ra數對流體流動的影響是至關重要的。正如前文所提到的，水平矩形通道內的縱向流卷與流體內部溫度梯度引起的浮升力有關。當封閉矩形通道內流體的Ra數小于使流卷出現的臨界Ra數時，由該溫度梯度產生的浮升力不足以克服流體內部的黏性力，從而無法觸發縱向流卷，此時通道內為單純的Poiseuille流動。在一定Re數下，當Ra數超過這個臨界值，浮升力的影響逐漸增加，并能夠克服流體黏性力的影響，使流體內部的熱對流變得不穩定而激發出橫向流卷。若Ra數繼續增加，直到大于某值（即Ra*），同時使Re數大于Re*，這時通道內流動由橫向流卷轉變為縱向流卷。

圖4為在Re=10時，不同Ra數下Z=0.5截面處的溫度云圖。可以看到，隨著Ra數的增加，初始縱向流卷在側壁附近形成的位置逐漸靠近入口區。在Ra=5000的時候，初始縱向流卷大致在Y=2.2處出現；當Ra數增加到12760時，初始縱向流卷大致在Y=1.7處出現；當Ra=22700的時候，初始縱向流卷大致在Y=0.8處出現。這主要是因為隨著Ra數的增加，流體內部對流換熱逐漸增強，從而使得側壁附近能夠激發出縱向流卷的溫度梯度出現的位置逐漸靠前。從圖中還可以看到，在Ra=5000的時候，充分發展區出現位置大致在Y=23處；而當Ra數增加到12760時，充分發展區的出現位置向前移到了Y=11處；當Ra=22700時，充分發展區的出現位置大致在Y=6.8處。這也就是說，隨著Ra數的增加，矩形通道內流體的充分發展區出現位置距流卷開始形成位置的長度也逐漸變短。這是因為隨著Ra數的增加，浮升力對流體的影響逐漸增強，從而使得縱向流卷向中心區域擴展的速度增加。當Ra=5000時，充分發展區通道截面上的縱向流卷數量為12個；當Ra=12760時，該區域的縱向流卷數量增加到14個；當Ra=22700時，縱向流卷數量為16個。而且可以看出，截面處的流體溫度隨著Ra數的增加升高得更快。這說明Ra數的增加對提高流體對流換熱效果有著積極的作用。

圖4 Re=10時不同Ra數下Z=0.5截面的溫度云圖

3.結論

本文通過三維流體力學基本方程組的數值模擬，借助FLUENT軟件研究了底部定溫加熱，上表面定溫冷卻的矩形通道內液膜的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流，分析了縱向流卷的演變過程和Re數和Ra數對流動的影響。主要結論如下：（1）在所取的參數范圍內，由于封閉通道上下表面存在溫差，通道中出現縱向流卷形式的二次流。縱向流卷由側壁效應引起。流卷首先發生在側壁附近，然后逐漸向中間移動。（2）Re數的增加對縱向流卷的個數沒有影響，但會延長充分發展段出現的位置。（3）Ra數的增加會使縱向流卷的個數增加，使入口段長度減小。