徐 芳

(江蘇省徐州市大屯礦區第二中學,江蘇 徐州 221611)

進入二十一世紀以來,隨著新課程標準的出臺及實施,國家對基礎教育教學工作提出了更高的要求,尤其對數學而言.由于數學是與科學發展息息相關的學科,在初中數學的解題教學中,不僅要教給學生解題的方法與技巧,更要教給學生問題的解決思路,從而習得推理思維以及能力[1].在這樣的學習環境下,強化對基于分類探討思想的初中數學解題教學研究尤為重要且迫切.

1 分類探討思想應用于初中數學解題教學的必要性及原則

1.1 分類探討思想應用于初中數學解題教學的必要性

分類探討思想是初中階段最重要的數學思維方法之一,也是近年來中考的重點以及熱點.它要求教師循序漸進地引導教學,認真總結、啟發以及揭示分類探討的本質.目前,分類探討的思想已經成為一種非常重要的數學思想,它不僅是一種獨特的數理邏輯方法,而且是一種有效的解題策略.由于分類探討具有綜合考慮各種問題的邏輯優勢,對培養學生的學習能力,提升學生的思維嚴謹性起到了很好的作用[2].在回答一道數學題時,假設題意存在一系列不確定因素,無法解出,則可以將問題分解為幾個小問題,進行分類探討.因此,在初中數學教學實踐中,教師應基于分類探討思想,逐步深入培養學生的數學思維,以進一步提升學生的思維能力,使學生養成良好習慣,這符合新課標的要求.

1.2 分類探討思想應用于初中數學解題教學的原則

在解決初中數學問題時,分類探討思想的運用必須符合相關原則,才能充分發揮分類探討思想的作用,提升學生學習的有效性.在運用分類探討思想進行初中數學教學過程中,教師應該有必要詳細了解學生的學習狀況,引導學生將思路運用到問題的解決中.此外,還要充分關注學生的學習過程,將日常生活與數學問題巧妙地結合起來,幫助學生理解數學知識.用栩栩如生的內容提出數學問題更有可能影響學生[3].另外,在運用分類探討思想時,教師要能夠以教學內容為主要媒介,將其與各個教學環節的特點聯系起來,進而將分類探討思想融入各個環節[4].以科學的方式,學生可以理解及吸收這種解決問題的思想.教師還應能有效地引導學生,使學生充分關注與自問相關的問題,使學生在分類探討思想中真正掌握解決問題的方法.在新時期,在將分類探討思想應用于初中數學教學實踐中,教師應當對這些原則給予充分的重視,確保教學實施的效率與效益.

2 分類探討思想應用于初中數學解題教學的步驟

為了在初中數學教學中有效運用分類探討思想,必須按照科學的步驟來實施.在教學中,必須根據相同的度量來分析每個類別,并且必須避免重復和遺漏.在分類探討過程中,探討要系統、全面,每一步主要是根據研究目標,分類分析探討詳細結果.在初中數學解題教學過程中,分類探討的實施要與主題要求一致,能夠有效界定探討的目的,然后進行實施探討.在探討一系列相對復雜的數學問題的過程中,需要對問題進行詳細的分析,并具備將狀況融入任何探討的能力.然后,總結探討的結果,以便從探討中得出結論.

3 基于分類探討思想的初中數學解題教學實踐

3.1 初中數學解題中的分類探討思想方法

在解決中學數學問題的過程中運用分類探討的思想時,教師要能夠根據實際教學狀況進行指導,充分發揮這種方法的優點,使復雜的問題得以簡化.通過有效運用分類探討思維方法,可以有效提升學生學習數學知識的有效性,有效發展學生的數學思維及邏輯能力.其中,需要特別注意的是,分類探討思路的運用要側重于方法的科學性,使學生對數學定理、公式以及概念有一個全面的了解,以得到一個有效解決方法.教師要能夠考慮不同的教學情境,用分類探討思想是學生緊張的心理活動的過程,這就要求能夠找到可能的情境來一一證明,而不是解決問題.管理中的頭腦風暴法可以使學生在有限的時間內找到實際問題的解決方案,教師可以提出具體而多樣的數學題目以及頭腦風暴,使學生能夠有效地將分類思想應用到解題中.總而言之,在應用這種方法的過程中,要側重于學生的主體性,在此基礎上開展教學活動,旨在獲得良好的教學效果.

3.2 基于分類探討思想的初中數學解題教學實踐

3.2.1 在解方程中運用分類討論思想

由于數學概念的限制引起的分類探討.例如,方程是中學數學中常見的內容,不少學生在學習一元二次方程后往往會存在思維定勢的問題,懶于思考,從而降低了學習成績.運用分類探討的思路,可以很好地判斷解方程的狀況.因此,教師應著重教學生如何利用分類探討來解決練習難題.

例1 已知關于x的方程kx2-2x-1=0有實數根,求k的取值范圍是____.

解析為了更好地引導學生,使學生養成用分類探討思想的習慣.將中學學過的方程總結為:一元一次方程、二元一次方程、分式方程和一元二次方程.從形式上看出它不是二元一次方程也不是分式方程,應該對k進行分類探討.當k=0時,原方程是一元一次方程,方程有解;當k≠0時,是一個關于x的一元二次方程,若方程有實數解,則必須滿足△=22+4k≥0所以k≥-1.分兩種狀況探討,最終答案是k≥-1.諸多學生在解題過程只考慮他們最近學習的一元二次方程的情況,而忽略了探討當k=0時方程是一元一次方程的情況,導致失分.

3.2.2 在幾何問題中應用分類討論思想

由于幾何概念的性質,分類探討思想在幾何中有廣泛的應用.

例2在等腰三角形中,有一個內角是50°,求其余內角的度數.

解析這是在教學中運用分類探討思想解決幾何問題的典型例子.其中50°既可以用作等腰三角形的頂角,也可以用作等腰三角形的底角.

在講解求三角形邊長的時候,使用分類探討的思想也是有用的.

例3當一個直角三角形有兩條邊長分別為3和4,求第三邊的長.

另外,分類探討也可以解決由于圖的不確定性引發的問題.

例4 已知△ABC中,AB=AC,CD是AB邊上的高,且AB=2CD,則∠ABC=____.

圖1 例4題圖

圖2 例4題圖

3.2.3 克服初中生對分類討論思想的學習障礙

對于諸多初中生而言,數學是初中課程中比較薄弱的一門學科,很容易對分類探討的思想理解不透徹,導致解題時出現不必要的失分.這也導致學生對數學學習缺乏信心.為了更好地應對這種狀況,教師應在課堂上營造良好的氛圍,充分發揮學生的主觀能動性,將所學知識系統地總結出來,使學生能學會運用分類探討思想,并有效加以應用.

在中學數學中,幾乎所有的知識點都與分類探討的思想有關.基于此,應用時要讓學生知道為什么分類,制定明確的分類標準,分析中學數學中可能出現的一系列因素,仔細分類,一一探討,最后得出正確答案.在初中數學解題教學中,分類探討是一個非常重要的數學思想,通過強化訓練,可以培養學生嚴謹的思維,也可以增加學生學習數學的興趣,提高學習效率.

綜上所述,在初中數學教學中運用分類探討思想,需要考慮不同的情況,才能成功解決問題.本研究系統性地分析了分類探討思想應用于初中數學解題教學的必要性及原則,分類探討思想應用于初中數學解題教學的步驟,并開展了基于分類探討思想的初中數學解題教學實踐.希望通過具體的理論研究以及案例分析,對提升初中數學解題教學水平起到積極的作用.