論旋轉思想在初中數學解題中的妙用

林艷娜

(福建省福州英才中學,福建 福州 350026)

在初中數學解題教學中,教師需指引學生結合具體題目巧妙應用旋轉思想,使其盡快找到解題的切入點,簡化解題過程,使學生高效解答試題.

1 合理運用旋轉思想,解決線段長度問題

教師在平常的解題教學中應當指引學生合理運用旋轉思想,對題目中的圖形進行旋轉和變形,使其明確旋轉后的變化情況,讓他們快速確定解題方案,解決線段長度問題[1].

例1如圖1所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD

圖1 例1題圖

分析利用旋轉思想,把△BCE圍繞點B進行順時針旋轉90°,剛好可以得到一個正方形,如圖2所示,然后根據三角形全等的性質找到邊與邊之間的關系,即可求出CE的長度.

圖2 例1題圖

解將△BCE圍繞點B順時針旋轉90°得到△BGM,這兩個直角三角形是全等關系,C、E兩點分別旋轉至G、M點處,BC、CE、BE分別旋轉至BG、GM、BM,∠CBG=∠BGD=90°,由此得到正方形BCDG,∠ABE=∠ABM=45°,△ABE≌△ABM,那么AM=AE=10,設CE是x,則有AG=10-x,AD=12-(10-x)=2+x,DE=12-x在直角三角形ADE中,AE2=AD2+DE2,代入相關數據后得到102=(2+x)2+(12-x)2,解之得x1=4,x2=6,故CE的長度是4或6.

2 利用旋轉思想,解決線段最值問題

通過對初中數學計算線段最值類問題的研究與梳理,發現利用旋轉思想往往能夠起到意想不到的效果,學生運用旋轉思想以后找到點的特殊位置,根據圖形形式與勾股定理進行求解,讓他們順利解決線段最值問題[2].

例2如圖3所示,以邊長是4的正方形ABCD的C點為圓心,半徑是2畫圓,點P是圓C上面的任意一點,讓點P圍繞點D逆時針旋轉90°得到點Q,把BQ連接起來,那么BQ的最大值是什么?

圖3 例2題圖

分析在本題中,線段圍繞一個點進行逆時針旋轉90°,根據圖形可知∠CDP=∠ADQ,可得出△AQD≌△CPD,把CP與AQ連接起來,可得AQ的長是定值2,點Q的軌跡是一個圓,即可求出BQ的最大值.

解將CP與AQ連接起來,根據旋轉可知∠QDP=∠QDC+∠CDP=90°,根據正方形的性質可得AD=DC,∠ADQ+∠QDC=90°,則∠CDP=∠ADQ,△AQD≌△CPD,AQ=CP=2,點P在圓C上運動時,Q點也會隨之運動,不過AQ保持2的定值始終不變,據此可知點Q的運動軌跡是以點A為圓心的圓,當BQ有最大值時,點Q、A、B共線,且點A位于點B與Q之間,這時BQ=AB+AQ=4+2=6.

3 利用旋轉思想,解決線段比值問題

處理一些涉及圖形旋轉類的初中數學題目時,教師可引導學生利用旋轉思想,找到旋轉前后圖形線段、角度之間的內在聯系,以此確定解題思路,從而求出線段比值[3].

例3 如圖4所示,四邊形ABCD是一個邊長為2的菱形,已知一個內角是72°,該菱形圍繞點D旋轉得到菱形A′B′C′D′,AB與B′C′相交于點P,把BB′連接起來,當五邊形A′B′BCD′是正五邊形時,求BP:AP的值.

圖4 例3題圖

分析因為旋轉以后得到的是一個正五邊形,可知內角是108°,旋轉后線段長度與首尾順序均不發生變化,結合菱形、等腰三角形以及相似三角形的性質進行解題.

4 利用旋轉思想,解決角度計算問題

針對角度計算類試題,初中數學教師應指導學生巧用旋轉思想,通過對原圖形的旋轉與變化把一些條件整合到一起,分析圖形的特殊角度及位置,使學生結合有關公式進行計算,從而把復雜、陌生的問題變得簡單與熟悉[4].

例4 如圖5所示,點P是等邊三角形ABC內的一點,已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的值.

圖5 例4題圖

分析當學生看到題目中出現3、4、5的數據時,很容易想到勾股定理,是同一個直角三角形的三條邊,但是在本題中并沒有位于同一個直角三角形內,此時他們可想到應用旋轉思想,把這三條邊集中到同一個直角三角形里面.

解先讓△APB圍繞點A按照逆時針方向旋轉60°后得到△ADC,連接PD,如圖6所示,則有AD=PA=3,DC=PB=4,∠PAD=60°,得到一個等邊三角形PAD,則PD=PA=3,∠ADP=60°,在△PDC中有PD2+DC2=PC2,這表明△PDC是一個直角三角形,且∠PDC=90°,由此得到∠APB=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

圖6 例4題圖

5 利用旋轉思想,解決面積計算問題

在初中數學解題訓練中,求解圖形面積類的試題離不開旋轉思想的輔助與支持,可以把零散的圖形集中起來.處理這類試題的關鍵在于確定好旋轉對象與角度,教師在平常的解題訓練中需加強指導,讓學生準確把握旋轉對象和角度,幫助他們輕松解決面積計算問題[5].

圖7 例5題圖

分析本題可使用旋轉思想,將△AED圍繞點A順時針旋轉90°,然后把兩個三角形拼接起來,根據題意能夠判定出拼接的三角形又由兩個直角三角形構成,結合正方形的性質用勾股定理等即可完成解題.

圖8 例5題圖

旋轉思想在初中數學解題中可謂是有著極為廣泛的應用空間,是一種極為重要與常用的數學思想方法,教師應圍繞旋轉思想專門開設習題訓練活動,指導學生學會如何妙用旋轉思想解決數學問題,使其充分感受到旋轉思想在解題中的妙用,繼而提高他們的解題水平[6].