利用立體幾何體積問題，促使直觀想象素養提升

吳莖潔 吳子昊

［摘? 要］ 立體幾何教學是提升學生直觀想象素養的重要載體之一，高三復習往往涉及復雜的立體圖形的體積問題.文章以“割補法”為視角，分析三種類型的立體幾何體積問題，并通過設計、實踐教學，以有效提升學生的直觀想象素養.

［關鍵詞］ 割補法；立體幾何；體積問題；直觀想象

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》將直觀想象列為數學六大核心素養之一，并指出其重要作用：直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎［1］. 直觀想象是一種重要的思維方式，也是數學認知的重要環節［2］，教學中如何培養學生的直觀想象素養是值得教師研究和關注的問題.

有研究指出，直觀想象素養的本質是基于幾何圖形進行想象的思維能力［3］，立體幾何教學則是提升學生直觀想象素養的重要載體之一，學生借助幾何直觀、空間想象能感受物體形狀的多樣性，利用幾何圖形能解決數學問題. 因此，利用立體幾何問題，在課堂教學中可有效發展和提高學生的直觀想象素養.

教學內容解析

在高中數學中，立體幾何在發展學生的直觀想象素養方面發揮著不可替代的作用. 在教學中，教師要結合立體幾何內容的內在邏輯和學生的認知特點，讓學生體會一般到特殊研究立體圖形及其位置關系的過程［4］.而高三復習往往涉及如棱錐等立體圖形的體積問題，如何巧妙地將復雜圖形分割或補全為較簡單的圖形或特殊圖形，把復雜問題簡單化是立體幾何教學的難點之一.

割補法在高三第一學期推導錐體體積公式時起到了重要作用，是實現空間幾何體之間相互轉化的一條有效途徑. “割”能把復雜或不熟悉的幾何體分割成簡單的或熟悉的幾何體，“補”能把不熟悉的幾何體補全為熟悉的幾何體，將復雜問題通過幾何體之間的相互轉化變得簡潔明了.掌握割補法能使學生發現未知幾何體與已知幾何體之間的內在聯系，其蘊含了辯證統一的唯物主義思想，從這個意義上來說，割補法符合立體幾何內容的內在邏輯與學生的認知特點，對培養學生的直觀想象素養有重要意義.

本節高三專題復習課以“割補法”為主題，使學生感悟教材推導錐體體積公式所用的數學思想方法，引導學生對三種類型的立體幾何體積問題進行分析、求解，使學生掌握解決此類與棱錐有關的立體幾何問題的一種常用方法——割補法，體會割補法蘊含的數學化歸思想. 除此之外，通過三種類型的立體幾何體積問題的解決，歸納其共同點，分辨其差異性，總結出解決此類問題的一般方法和規律，加深學生對此類問題的理解程度，增強學生運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，有效提升學生的直觀想象素養.

教學設計與實施

1. 教學目標

（1）分析棱錐有關問題，使學生掌握解決此類問題的一種常用方法——割補法.

（2）通過幾何體的轉化，體會割補法蘊含的化歸思想，提升學生的直觀想象素養.

2. 教學重點與難點

（1）重點：棱錐有關問題中割補法的應用.

（2）難點：通過割補法發現未知幾何體與已知幾何體之間的內在聯系.

教學過程

1. 課堂引入

割補法在滬教版高中教材中推導錐體的體積公式時起到了重要作用（實際上，在2020年出版并投入使用的滬教版高中數學新教材必修第三冊中也有類似內容，但由于筆者執教的高三年級的入學時間為2019年，當時尚未使用新教材，故選取滬教版舊教材中的相應內容作為教學載體），我們先將n棱錐分割成n－2個三棱錐，將求n棱錐的體積問題轉化為求三棱錐的體積問題.

設計意圖 出示本題旨在考查學生是否真正掌握了割補法并且能靈活使用. 求解本題不僅可以采用“割”的方法，還可以采用“補”的方法，方法較多，學生能夠從不同角度進行探究，體會割補法蘊含的化歸思想，從而提升直觀想象素養.

教學實踐反思

在解決立體幾何體積問題時，部分學生往往感到圖形不規則，難以使用常規方法進行計算. 實際上，空間圖形中有一些簡單的“基本圖形”，如正方體（長方體）、正四面體、球，它們類似于平面圖形中的直角三角形、等邊（等腰）三角形、圓. 正方體（長方體）作為最基本的空間圖形，其原型在生活中隨處可見.這節課講解的割補法正是運用了這一點，把與棱錐有關的圖形轉化成正方體（長方體），將不熟悉的復雜圖形化歸為熟悉的圖形，使復雜問題簡單化. 另外，在運用割補法對空間圖形進行“割”“補”的操作過程中，也鍛煉了學生的空間想象能力，能有效提升學生的直觀想象素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關于高中數學教育中的數學核心素養：史寧中教授訪談之七［J］. 課程·教材·教法，2017，37（04）：8-14.

［3］ Kozhevnikov M，Hegarty M，Mayer R E. Revising the Visualizer-vervalizer Dimension： Evidence for Two Types of Visualizers［J］. Cognition and Instruction，2002，20（1）：47-77.

［4］ 李海東. 基于核心素養的“立體幾何初步”教材設計與教學思考［J］. 數學教育學報，2019，28（01）：8-11.