基本初等函數問題化教學之課例探究

蔡一帛

［摘? 要］ 文章擬運用課堂教學行為大數據的分析方法，輔以問題化教學原理課模型，展開基本初等函數問題化教學課例分析. 通過問題支架搭建，幫助學生探索研究路徑，提升師生深度對話，促進學生對知識的理解，實現課堂深層學習.

［關鍵詞］ 基本初等函數；問題化教學；課堂深層學習

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數學教學以發展學生學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，啟發學生思考，引導學生把握教學內容的本質. ”［1］基于課標理念，在課時設計過程中，把握本課時重難點以及核心素養培養，積極探索引導學生思維銜接點的問題系統是教育工作者關心的重要問題. 在當前有關數學問題化教學的研究中，研究者普遍認為，發現和提出問題，相較于解決問題更能集中體現學生的數學思維水平，是培養學生創新思維和創造力的主推力；但是，關于函數教學的研究，目前主要集中在函數圖象與性質及其應用等方面，對高中課堂教學問題鏈的有效性設計研究相對不足. 因此，作者就“如何實現函數問題化教學，培養學生的高階思維”這一問題，以“函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”為案例展開研究，基于“課例研究起點、課例研究過程、課例研究改進”的思路，探究高中數學問題化教學的有效路徑.

課例研究起點：研讀課標，以問題教學推動課堂轉變

基本初等函數的學習旨在用函數觀點和方法分析具體問題的函數模型，發現事物的運動變化規律. 這對數學抽象素養的要求較高. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀》指出：“概念形成過程的實質是抽象出某一類對象或者事物的共同本質特征的過程.”［2］章建躍博士在《“單元一課時教學設計”體例與要求》中建議：“從‘問題串中歸結出一節課的流程.”［3］故本文擬采用問題化教學模式，借用首都師范大學王陸教授團隊對課堂教學行為大數據采集分析方法［4］，圍繞函數課例核心問題的研究與解決，激發學生對核心問題進行深度探究和思考，力求通過教師問題化的“教”，培養學生學會問題化“學”的思維技能.

課例研究過程：以“函數f（x）= Asin（ωx+φ）的圖象”為例

依據課例研究起點，現以“函數f（x）=Asin（ωx+φ）”為例，探尋問題鏈教學模式在課堂實際中的運用.

1. 教學設計分析：運用追問式教學，預設教學目標、重難點與策略

（1）“函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學目標與重難點.

本節課的教學目標包含兩方面內容：①從現象看本質：通過質點勻速圓周運動變化過程的觀察，抽象出數學本質問題，即函數f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數對圖象變化的影響，并進一步理解由質點變化到曲線變化的遷移過程；②通過對正弦曲線的平移、伸縮變換過程的實操，明確函數f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數的內在聯系. 引導學生達成教學目標，提升學生的直觀想象、數學抽象和數學表達素養.

基于上述教學目標，筆者認為本節課的教學重難點如下：①筒車運動的背景條件綜合性強，對學生數學建模能力的要求較高；②研究參數對函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖象的影響，其分析順序以及關聯研究對學生邏輯思維能力的要求較高；③在正弦曲線經變換得到函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象的過程中，對平移、伸縮等變換的準確表述.

（2）“函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學策略.

針對上述教學目標與重難點，提出教學策略如下. ①采用問題化教學：圍繞教學目標展開問題系統設計；層進式突破問題猜想：探索參數φ對函數f（x）=sin（x+φ）圖象的影響，然后通過類比探究，逐步解決參數A，ω對函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖象的影響. ②采用信息技術手段實現對筒車現實情境的動態幾何呈現，逐步代數化，引導學生分析各參變量之間的內在聯系，以直觀感受函數f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數的作用，突破重難點.

2. 教學過程設計：厘清問題鏈條，明晰主線環節

通過上述分析，可得教學設計重點為表1所示的5個環節（表1呈現了各個環節的教師活動、學生活動、活動說明及設計意圖）.

課例設計有效問題鏈，通過引導、觀察、討論等多個探究路徑，圍繞教學目標展開探究，努力營造一個師生共同參與的交互式探究過程，遵循問題化教學原理的基本流程：提出問題→形成猜想→枚舉、論證、歸納結論→運用結論. 課例設計以下問題進行分析.

（1）問題引入，激發思維.

數學核心素養關注的是學生的數學思維以及數學發展能力. 在數學學習時，提出有效問題是學生探求知識與發展科學思維的原動力. 本節課主要研究參數對函數圖象的影響，如何引導學生發現參數變化對圖象的影響是關鍵，以問題形式引導學生參與各環節的探究是重點.

以如下問題為例：半徑為A m的筒車逆時針做角速度為ω rad/min的勻速圓周運動. 如果筒車上的點P從P處開始計算時間：若P置于x軸的正半軸上，請在平面直角坐標系中確定時刻x min時的點P的縱坐標y. 若P置于圖1的位置時呢？

通過上述問題情境的設立，引發學生思考與探討參數φ，ω，A與變量x，y之間的關系，利用問題驅動激發學生的數學思維，進而展開探究實踐活動.

（2）圖象探究，提升認知.

教學目標之二是探索各參數對函數圖象的影響，此時，問題鏈系統設計是師生互動的行動方向，目標是提升學生的數學思維能力與數學素養，有效提高課堂學習深度. 本節課為研究參數φ對函數f（x）=sin（x+φ）圖象的影響設計如下問題.

問題1 觀察函數y=sinx與函數y=sinx+的圖象的關系，猜測函數解析式與圖象的關聯性（借助信息技術進行實驗探究：引導學生觀察圖2）.

圖4為課堂觀察維度評分等級圖. 本節課綜合運用了授導法、觀察法、同儕互助法、問題教學法等教學方法以及聯結、支架、重復、歸納總結、啟發等教學策略，指引學生通過實踐理解函數圖象的變換過程以及三個參數對正弦型函數圖象的影響. 教師設計了一系列類型豐富的問題，其中以推理性問題與是何問題為主，有利于學生理解函數圖象之間的變換過程以及參數對函數的影響；同時通過批判性問題以及如何問題等指向學生的高階思維，發展學生的策略性知識運用能力和遷移運用能力以及質疑反思能力；通過提升師生互動行為的轉換率，即增加肯定回應、追問以及對話深度等課堂行為的占比，可引發學生在回答問題時深度思考，讓學生親身感受解決問題常用的數學方法與思維；課堂實踐表明，在時間允許的條件下適時留白，能讓學生思考、表達得更加充分，更能體現學生的主體性.

4. 課例研究改進：完善總結，發展問題解決能力

學習基本初等函數是學習高中函數知識的重要環節. 讓學生從函數圖象和性質出發，通過問題化學習方式，研究參數對具體函數圖象變化的影響，是重點培養學生自主學習能力和研究方法的有效途徑，教學中教師應通過問題支架的建構，幫助學生搭建思維平臺，開拓研究路徑，發展學生研究問題和解決問題的能力，培養學生思維的嚴謹性.

課例對基本初等函數問題化教學的啟示

問題化“教”與“學”的系統設計，讓課堂教學過程體系化. 它通過教師預設的遞進式問題，架構合理的課堂問題鏈，給學生更多的思考空間，在學生自我探究與不斷比較、歸納、提升的過程中，內化新知，整合知識體系，使學生及時突破教學重難點. 它讓學生在知識理解的過程中，思維層次循序漸進，對問題的探究和思考不斷深入. 通過師生課堂深度對話，提升學生對知識理解的有效性，實現課堂深層學習，讓學生學會問題化“學”的思維技能，為終身學習奠基.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］ 章建躍. 《普通高中教科書·數學（人教A版）》“單元一課時教學設計”體例與要求［J］. 中學數學教學參考，2019（22）：14-16.

［4］ 王陸，張敏霞. 遠程校本研修：課堂觀察方法與技術［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.