基于貝葉斯概率評估的設備可靠性分析方法研究

楊 茁，李 博，姜本正，張樂威

（91550 部隊，遼寧 大連 116023）

0 引言

控制臺是人機交互的重要設備，其設計和性能直接影響操作員的作業效率和效果[1]。現代設備趨于高科技化和復雜化。若用人工對武器系統的可靠性進行分析研究不僅工作量巨大，而且容易出現錯誤[2]。因此可靠性分析軟件應運而生，借助計算機技術，構建可靠性模型，并對海量數據進行處理和分析，可以極大程度上的壓縮設備進行可靠性分析周期，提升試驗鑒定質效[3]。OpenBUGS 軟件是在WinBUGS 軟件的基礎上研制的一款實現貝葉斯統計推斷的工具軟件。擅長于對隨機變量概率模型進行隨機求解，可為可靠性分析工作提供技術支撐。

鑒于此，從設備故障樣本有限故障模型難以確定的問題出發，利用蒙特卡羅抽樣，以及概率分布表達不確定性的貝葉斯推斷框架的優勢，構建了隨機模型校驗方法，實現對可靠性模型的尋優。

1 可靠性特征量

1.1 可靠度函數

設備的可靠度的定義為：在規定的條件和時間內，設備能夠完成規定的功能的概率[4]。其隨時間的變化可由可靠度函數R（t）描述，即：

式中：T為設備壽命；t為規定的時間。

故障分布函數F（t），亦稱故障累計概率，可描述為：

由定義易知：

1.2 故障密度函數

設備的故障密度隨時間變化的關系稱為故障密度函數，體現為設備發生故障隨時間變化的速率，即：

假設設備的壽命分布服從對數正態分布，則：

1.3 故障率

已工作到時刻的設備，在t時刻之后的瞬時平均單位時間內發生故障的設備數成為瞬時故障率。，則故障率為：

式中：f（t）為故障密度函數；F（t）為故障分布函數。

2 理論分析方法

2.1 貝葉斯定理

貝葉斯定理通過融合信息和數據來更新先驗知識，利用先驗分布、故障模型和觀察數據，得到參數的后驗分布：

式中，P（H｜D），后驗分布，其與假設H相關的，以數據D為條件；P（H），先驗分布；P（D｜H），隨機模型，刻畫產生數據D的機理；P（D），歸一化常數。先驗分布代表與數據無關參數的已知信息。

先驗信息的真實性對于評估精度來說尤為關鍵[5]。廣義上，先驗分布分為有信息和無信息，有信息先驗包含H可能取值的真實信息，而無信息先驗使數據在后驗分布中占支配地位。在貝葉斯推斷的數學角度，共軛先驗分布為最簡單的先驗分布，它與后驗分布有相同的函數形式。

隨計算機技術的發展與應用，利用OpenBUGS 等工具軟件可實現非共軛先驗貝葉斯推斷，彌補了數值積分的計算瓶頸，使計算結果更準確。

2.2 OpenBUGS 軟件

OpenBUGS 采用菜單驅動的腳本語言，是一款易用、強大且開源的軟件。這種腳本語言包括三部分：模型描述、數據和初值[6]。其基本原理為通過Gibbs 抽樣和算法，從任意復雜模型的后驗分布中產生樣本[7]。采用MCMC 法來對后驗分布進行求解，通過計算機仿真轉換成隨機數來求解未知參數[8]提供了一個有效的方法估計貝葉斯統計模型，極大地推進了貝葉斯的應用。

3 應用示例

以某設備電氣系統的發生故障時間觀察數據為例，進行模型構建、校驗和應用的方法介紹。并根據某設備1 號至4 控制操作臺實測故障數據（表1），進行該設備隨機模型的校驗尋優，以及模型預測。

表1 試驗觀察數據

3.1 隨機模型的校驗與求解

利用某設備電氣系統的發生故障時間數據，進行基于貝葉斯概率評估方法的可靠性分析。首先，利用后驗預計分布的復現抽樣，采用Cramer-von Mises 統計量比較排序后的觀察數據和復現數據的累積經驗分布函數，并計算其重合概率，得到貝葉斯P值，值在0.5 左右是最為理想的模型，以此來檢驗幾種常見的壽命分布模型是否能夠合理的復現觀察數據。常見的壽命分布模型有指數分布、威布爾分布、對數正態分布等。

為使結論主要受數據影響，使服從Jefferys 先驗分布。Jefferys 先驗分布是一個非正常先驗分布，其初始抽樣存在困難，所以要將的初值設置為1。具體操作流程為：check model、load data、compile、load inits，點擊菜單中“Sample Monitor Tool”對話框，在beg 處輸入1001，表示拋去前1000 次抽樣以消除初始值對抽樣的影響，對模型的退火，再進行100000 次迭代，檢查模型收斂情況，得到指數模型的貝葉斯P值為0.2295。

依次對威布爾模型、對數正態模型進行計算，兩種模型都服從獨立擴散的Jefferys 先驗分布。得到結果為威布爾模型的P值為0.4041，對數正態模型的P值為0.5466. 可以看出對數正態模型明顯優于指數、威布爾模型，是最為理想的隨機模型，但稍微高估了故障時間，指數、威布爾模型則低估了故障時間。

只有貝葉斯P值評價模型的適用性是單一的，還需要檢驗模型是否過擬合。可以通過計算貝葉斯信息準則（BIC）來進一步評估。BIC 最小的模型是最優選。依托OpenBUGS 軟件，計算三種模型的BIC 估計值，指數模型的BIC 估計值是111.7，威布爾模型的BIC估計值是261.7，對數正態模型的BIC 估計值是109.2。通過計算三個隨機模型的BIC 估計值，可以得到對數正態模型能最好的覆蓋觀察到的故障時間。表2 為三種隨機模型的檢驗結果匯總。

表2 隨機模型的檢驗結果

綜合分析表2 數據，其中對數正態貝葉斯P 值最接近0.5，且BIC 估計值也最小，可以判斷對數正態分布的隨機模型擁有更好的預測能力，且沒有過度擬合觀察數據。選擇對數正態分布隨機模型進行設備可靠性分析。嘗試均勻分布為對數正態分布參數的先驗分布，得到貝葉斯P值為0.5125，懲罰信息準則（DIC）也可驗證過擬合程度。從經驗中發現，根據BIC 選擇的非層次模型也是根據DIC 選擇的模型[9]。DIC 估計值為106.5，證明其是具有更好預測能力的模型。

通過cumulative（）函數計算故障累積分布后，可得到可靠度計算結果，計算腳本為R.pred ＜-1-cumulative（time.pred，a），表示當工作了a 小時時，該設備的平均可靠度。利用此腳本可快速求出當設備工作50h、100h、300h 時，設備的平均可靠度，分別為0.6541、0.2902、0.03236，5%分位數分別為0.45、0.12、0.00056（表3）。腳本計算得到，即設備的均值為4.201，標準差為，則根據公式（3），得到故障分布函數為

表3 OpenBUGS 腳本進行貝葉斯推斷的結果

采用Bayes 概率評估方法對設備的故障時間進行模型檢驗，利用后驗預計分布的Cramer-von Mises統計量計算各模型的貝葉斯P 值，來衡量數據與模型的沖突程度。再通過計算貝葉斯信息準則（BIC）或懲罰信息準則（DIC）來檢驗模型過擬合現象，最后綜合對比得到數據的最佳隨機模型為對數正態模型，并求解模型、計算了該系統可靠度均值以及5%分位數。

3.2 隨機模型參數范圍估計

在對設備參數可靠性模型的建立求解過程中，同型的設備在主體結構性能不發生質的變化前提下，其他模塊的設計與使用上是具有延續性的。針對操作控制臺這一設備在四種型號的延續性設計中可靠性模型的檢驗，采用了三組實測數據（1～3 號控制操作臺數據）（表1），進行模型校驗，歸納總結了設備的可靠性模型參數范圍的經驗分布，并對4 號設備操作控制臺的實測數據驗證該參數模型。經對比分析，對數正態分布模型貝葉斯P值最接近0.5 且BIC 最小，為最優模型。上述結果表明，三種測試型號的模型得到的參數非常接近，參數范圍在μ：7.833 ～8.057，σ：0.685 ～0.73 之間。由此可以推斷該系列設備在主體結構不變的情況下，4 號新研產品的隨機模型為參數范圍在μ= 7.833 ～8.057，σ= 0.685 ～0.73 左右的對數正態分布。經計算驗證，4 號控制操作臺模型參數為μ= 8.105，σ= 0.7，在預測范圍內，且貝葉斯P值為0.5216，比較接近0.5，BIC 為188，根據BIC 估計值分析，隨機模型較理想且未出現過度擬合情況。

構建了三種OpenBUGS 模型校驗腳本，檢驗該型設備操作控制臺的最優模型，并求出了各型號設備的最優模型參數，歸納總結了模型參數范圍，經測試數據驗證，模型類型與參數值均在預測范圍內，可為后續延續性設備的可靠性分析提供參考。

4 結論

先采用Bayes 概率評估方法對設備的故障時間進行模型檢驗，利用后驗預計分布的Cramer-von Mises 統計量計算各模型的貝葉斯P值來衡量數據與模型的沖突程度。再通過計算貝葉斯信息準則（BIC）或懲罰信息準則（DIC）來檢驗模型過擬合現象。最后對比得到數據的最佳模型并求解模型。通過實例分析了某延續性設備的參數特性，歸類了延續性設備模型。依托OpenBUGS 軟件該方法可高效分析設備的故障數據，使其可靠性分析更快速準確。