三次函數圖像的基本特點初探

段春林

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）51-0122-01

我們把形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的函數稱為三次函數，對其圖像的考查在高考命題中常常出現，有鑒于此，本文將對三次函數圖像的一些特性作一初步探討。

我們先從一個例子談起：

下圖是y=x3-3x2-9x+5經過列表描點所畫出的三次曲線。

從圖中可以看出：曲線光滑且連續;

第一，從左向右看，曲線經由第Ⅲ象限而來，從第Ⅰ象限離去，這點從“優勢原則”可得，優勢原則可表述為：對于充分大的|x|，多項式的值取決于最高次項，即對于充分大的|x|，|x3|的值超過|-3x2-9x+5|，因此，對于充分大的|x|，由x>0推得y>0，由x<0推得y<0.

第二，此三次函數的定義域與值域均為R，是否一般三次函數都有這一結果？

第三，這個三次函數有兩個極值點，極大值點（-1，10），極小值點（3，-22），這一情況可通過討論y′得到，令y′=0，即x2-2x-3=0，得x=-1或x=3.

第四，曲線的縱截距為d=5.

第五，此三次曲線有三個零點，由零點存在性定理可知，三個根分別在（-3，-2），（0，1），和（4，5）之間，因為f（-3）=-22，f（-2）=3，f（0）=5，f（1）=-6，f（4）=-15，f（5）=10.

第六，此函數的單調區間∵y′=3（x2-2x-3）

令y′>0，得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），令y′<0，得x∈（-1，3），由此可知，x∈（-∞，-1）和x∈（3，+∞）時y=f（x）單調遞增，當x∈（-1，3）時，y=f（x）單調遞減。

第七，研究y″得到y″=6x-6，令y″>0，得x>1.

若x<1，y=f（x）為上凸函數，若x>1，y=f（x）為下凸函數，（1，f（1））是此函數圖像的拐點;

第八，有對稱中心，其對稱中心是（-，f（-））.證明如下：

設函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的對稱中心為（m，n）。

按向量=（-m，-n）將函數的圖像平移，則所得函數y=f（x+m）-n是奇函數，所以f（-x）=-f（x），即f（-x+m）-n=-（f（x+m）-n），于是f（-x+m）+f（x+m）-2n=0

化簡得：（3ma+b）x2+am3+bm2+cm+d-n=0

上式對x∈R恒成立，故

3am+b=0am3+bm2+cm+d-n=0

得m=-，

n=am3+bm2+cm+d=f（-）。

所以，函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的對稱中心是（-，f（-））。

那么這個對稱中心有無特殊性，即它是不是在圖像的特殊位置呢？我們有了如下結論：若三次函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）有極值點（有的話，必有兩個，一個極大，一個極?。▁1，f（x1））和（x2，f（x2）），則它的對稱中心是兩個極值點的中點（，f（））.

證明：不妨設3ax2+2bx+c=0為f（x）的導函數方程，其判別式△=4b2-12ac>2.，設f（x）兩極值點為A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））.

易知x=為y=3ax2+2bx+c的對稱軸，∴f（）=f（-）

故此時的對稱中心是兩個極值點的中點，同時也是函數 ? f（x）的拐點。

從以上結論可知，我們對三次函數圖像的討論主要集中在8個方面，即途經的象限、定義域、值域、有無極值、縱截距、零點個數、單調區間、拐點、對稱中心。下面針對以上問題做一粗略討論。

不妨設y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

∵y′=3ax2+2bx+c，y″=6ax+2b，

令y′=0（？鄢），其解的個數取決于△=4b2-12ac=4（b2-3ac）（？鄢？鄢）

令y″=0，解得x=-，此即為對稱中心談論的問題。

①若b2-3ac>0，（？鄢）式有兩根，不妨設為x1、x2，y=f（x）有兩個極值點A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2）），有一拐點（-，f（-）），單調性為先單增（-∞，x1）后單減（x1，x2）再單增（x2，+∞）;

②b2-3ac≤0，（？鄢）式有兩等根，圖像與x軸有一個交點，即有一個零點，無極值點，有一拐點，單調性為單調遞增。

綜上可知，三次函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）有：

①定義域和值域均為R;

②當a>0時，曲線（從左向右看）從第Ⅲ象限“進入”，經第Ⅰ象限“離開”;

③當a<0時，曲線（從左向右看）從第Ⅱ象限“進入”，經第Ⅳ象限“離開”;

④縱截距為d;

⑤曲線與x軸至少交一次（其交點個數由△和極值點的坐標綜合得出，前面已討論，不再贅述）。