量子場論教學的方法研究

龐錦毅

摘要 傳統的量子場論教學方法通常是從經典場論出發，首先介紹經典場的概念和方法，然后再引入量子力學的思想，推導出量子場論的基本概念和工具。這種教學方法對于已經掌握經典場論知識的學生來說是自然的，但是對于那些只掌握量子力學的學生來說，往往會產生巨大的跳躍感。因此，我們提出了一種新的量子場論教學方法，即直接從多體量子力學出發，在正則量子化體系中引入場論的拉格朗日量，并推導出相應的哈密頓量，以此來幫助學生更好地理解量子場論的基本概念和工具。

關鍵詞 量子場論；教學；研究

中圖分類號：G424文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.10.040

當今物理學領域中量子場論已經成為重要的理論框架之一，很多大學物理學專業都在積極推廣量子場論相關的課程教學。我們知道場論在統一量子力學和狹義相對論的過程中，首先會產生反粒子的概念。因此所有的論述都是在一個多粒子體系中完成的，這說明量子場論本質上是一個描述多粒子體系的有效的數學工具。從教學上講，我們可以充分利用這一特點，從大家熟知的單粒子量子力學出發發展出多粒子系統的量子理論，進而給出哈密頓公式體系下的二次量子化描述。然后我們將給出一個拉格朗日公式體系下的非相對論量子場論，它與之前的哈密頓公式體系下的二次量子化描述是完全等價的，因此也是一個描述多粒子系統的量子理論。之后的任務就是將這樣一個拉格朗日公式體系下的場論發展為相對論性的。最終，我們給學生寫出一個洛倫茲不變的拉格朗日公式體系下的量子場論，完成量子力學與狹義相對論的統一。

1從量子力學到量子場論的過渡

傳統的量子場論教學通常從經典場論開始，然后通過正則量子化方法得到對應的量子場論[1-4]。這種教學方式對于已經對場論有一定了解的學生來說是自然的，但是對于只學習了量子力學的學生來說卻很困難。因為學生需要理解經典場論中的概念和數學工具，這些內容與量子力學中的概念和工具是不同的，很多學生在量子力學的學習中，剛剛經歷了一個從經典物理的思維習慣到算符―態矢描述方式的蛻變，如果此時再次回到經典理論的框架中，這些學生會感覺到很強烈的知識斷層，進而失去解決問題的立足點。他們會無法分清自己究竟是在處理一個經典問題還是量子問題。

3多體量子力學和量子場論

與傳統教學方法相比，以多體量子力學為切入點是一種很自然且很容易讓學生接受的方式。場論與多體理論具有天然的鏈接，量子場論的基本任務是統一量子力學和狹義相對論，而狹義相對論的引入會直接導致反粒子的概念，這會打破量子力學中粒子數守恒的簡單模型，但單一的單粒子系統、兩粒子系統甚或是多粒子系統，發展為不同粒子數狀態的線性疊加，這就產生了Fock空間的概念。從本質上講，量子場論就是一個Fock空間上建立的多體量子力學系統。因此，場論的教學應當抓住這一本質，慢慢地從粒子數守恒的量子力學過渡到Fock空間中的多體量子理論，最終將學生引入場論的理論構造中。實際上對于前兩者具有高等量子力學基礎的同學是非常熟悉的，只是當我們在場論中不停地向他們灌輸經典場的觀念時，他們無法認識到量子場論與量子力學之間非常自然和清晰的演化脈絡。

4從哈密頓體系過渡到拉格朗日體系

盡管這一推導過程很難直接與物理圖像聯系，但是它卻自然地將場論的拉格朗日體系與一個多體量子系統的哈密頓量連接起來，這就給學生提供了從量子力學到量子場論的通道，向他們指明了如何將量子力學中學到的知識應用到量子場論中。如果沒有這樣一個過渡，場論中的很多計算會顯得非常零碎，量子場論看上去好像與量子力學毫無關聯，但有些地方又會突然用到一些量子力學的概念。這樣一個邏輯斷層是很多學生學習量子場論的障礙，我們所提出的這一新的教學思路可以有效克服這一弊病。

5相對論量子力學

我們引入相對論協變性的方式與傳統的相對論量子力學有所不同[5]。這里我們直接對非相對論場論進行改造，而非傳統教學中對薛定諤方程進行改造。雖然相對論量子力學是解決物理學中微觀現象的重要理論，但是其涉及負能量、負幾率等問題，在量子場論中并不需要使用這些概念。在量子場論中我們可以使用正能量、正幾率來描述物理現象，并且這種描述方法更加符合實驗結果。

在教授量子場論時應該避免使用相對論量子力學中的一些概念，以便讓學生更好地理解量子場論。例如，我們不必討論薛定諤方程或波粒二象性等概念，而應該直接介紹量子場論中的基本概念，如量子場、量子態、相互作用等。

此外，量子場論的數學形式和相對論量子力學也有很大的不同。在相對論量子力學中，我們使用四維矢量和洛倫茲變換來描述物理現象，而在量子場論中我們使用算符和對易關系來描述物理現象。因此，我們需要特別注重對算符和對易關系的講解，以便學生更好地理解量子場論的數學形式。在教授量子場論時，還應該特別注重實驗結果和物理概念的聯系。量子場論中的許多概念和公式都是基于實驗結果和物理概念推導出來的，因此我們需要通過實驗結果和物理概念來解釋量子場論中的概念和公式，讓學生更好地理解量子場論的物理意義。

總之，教授量子場論需要注意避免相對論量子力學的一些缺陷和不必要的內容，強調量子場論的基本概念和數學形式，并注重實驗結果和物理概念的聯系，以便讓學生更好地理解量子場論。

6總結

本文提出了對于量子場論教學的新思路。通過將多體量子力學中的哈密頓量轉化為場論中的拉格朗日量，我們可以直接從多體量子力學的基礎上引入量子場論的概念，從而幫助那些只掌握量子力學知識的學生更好地理解量子場論。通過對這種新的量子場論教學方法進行總結和展望，可以強調這種方法的優勢和局限性，同時也可以進一步討論改進和發展的方向。例如，我們可以探討如何將這種方法應用到更復雜的量子場論模型中，以及如何將這種方法與其他教學方法相結合，以提高教學效果。

參考文獻

[1]Steven Weinberg. The Quantum Theory of Fields[M]. Cambridge University Press， 1995.

[2]Michael Peskin， Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory[M].Westview Press， 1995.

[3]Mark Srednicki. Quantum Field Theory[M].Cambridge University Press， 2007.

[4]Anthony Zee. Quantum Field Theory in a Nutshell[M].Princeton University Press， 2003.

[5]J.D. Bjorken， S.D. Drell. Relativistic Quantum Mechanics[M]. McGraw-Hill， 1964.